起承轉合，知“書”達“理”

吳璐云

計算教學離不開算理和算法，算理簡單說是算的一種道理，主要解決“為什么這么算”的問題;算法是實施四則運算的基本程序與方法，主要解決“怎樣計算”的問題。提到“算理”和“算法”的關系，我們認為“法理”需要平衡，在實際教學中，學生只有理解算理，明確了具體的計算方法，才能合理、簡潔地進行計算，從而解決實際問題。

而現在的學生在學習新知識之前并不是一張白紙，他們已經學會了一些所謂的計算方法，但是對于方法背后的道理卻是知之甚少。三年級學生學習的“前狀態”到底如何呢？為此，筆者對本校三年級的50名學生進行了兩位數乘兩位數的學習前測。

通過上表可知，目前學生的“前狀態”表現為：1.能理解乘法的意義;2.基于《口算乘法》的經驗，能對乘法算式“先分后合”;3.提前預習或家長教學促使學生能正確利用“豎式”解決問題;4.學生已經具備了算法多樣化的基礎。那么，教學重點就在于梳理這些算法背后的算理了。于是，筆者利用教材提供的直觀模型“點子圖”，再次進行調查。

由此可見，大部分學生的計算方法完全與點子圖脫節，有些甚至無從下手。這說明放手讓學生自主使用“點子圖”來研究兩位數乘兩位數的算理，是不符合學生當前的認知水平，他們只是因為“老師要我在上面圈一圈、畫一畫，我才去圈畫”，而不是學生內在的需求。這樣的“潛狀態”給教學帶來的無盡的困惑：

1.怎樣引起學生對算理的關注和探究呢？

2.怎樣加讓點子圖成為學生學習中的輔助工具呢？

3.怎樣讓學生突破從一位數的“一層積”到兩位數的“兩層積”的思維？

4.怎樣加強點子圖、橫式及豎式計算每步之間的溝通，從具象到抽象，再從抽象到具象，加深算法和算理之間的聯結性理解呢？

通過梳理對比，我們解讀到三種版本教材編排的共性：1.各版本都注重三年級學生的心理特點，創設“購書”、“列隊表演”、“彩筆”這些熟悉的生活情境。2.教材編排都在小學中段。3.各版本都讓學生經歷“先分后合”，從而讓學生理解算理。

同時，這三個版本的教材又有差異：1.課時安排上的差異：人教版和冀教版都為一個課時，而北師大版為兩個課時。2.人教版和北師大版都借助“點子圖”直觀感悟計算的道理，而冀教版則是通過分步筆算和完整筆算相結合。

二、對“癥”出決策

基于各版本的共性，應該予以堅持，熟悉情境便于學生更好的融入和理解，“先分后合”是學生理解《兩位數乘兩位數的筆算（不進位）》算理的重點。基于各版本的差異，應該優化融合。本課借助“點子圖”，讓學生自主探究多種算法，實現算法多樣化。豎式計算，明確算理，每一步與情境中的具體意義聯系，讓學生明確每一步所表示的含義。幫助學生建構兩位數乘兩位數筆算豎式的模型，不僅能夠幫助學生理解算理，還能夠較好地掌握算法，并感悟和體驗算法的多樣化和解決問題的策略，同時也讓學生體會豎式的簡潔有效，滲透數學思想方法。

承——紙上得來終覺淺

一、表征架構算理

【片段一】

師：王老師去書店買書，一共買了12套，每套書有14本，一共買了多少本？

生1：14×12，算出來

師：還有別的方法嗎？

生：一本一本數出來。

在學生們的嘲笑聲中，我肯定了他的想法，師：真是個好方法，只是我們現在沒有書怎么辦？

生：用小棒或者一個圖形表示一本書。

師：是的，我們也可以用一個點表示一本書，那么一行畫14個點就是1套書，畫12行就是12套書。然后我們可以一本一本數出來。

有學生馬上舉手叫停，生：老師，太麻煩了，可以一套一套加起來。

在其他學生紛紛點頭認可時，又有學生舉手，生：我同意他的方法，但是一套一套加起來要加12個14，也很麻煩，可以把書分成3部分，4套為一部分，14×4=56（套）56×3=168（套）。

同學們思路打開，紛紛舉手，師：同學們，趕快把你們方法試著用“點子圖”表示出來。并用式子表示出你的算法。

【反思】

1.為避免出現前測時“老師讓我圈點子圖，我才圈”的尷尬，特意強調了“問題情境中的書與點子圖的對應”，讓學生經歷符號化的過程，為學生算法多樣化打開了思路，這是借助直觀模型的價值。

2.以師生互動的形式先反饋部分優等生的解題思路，再讓全體學生深入思考，獨立解決并用點子圖表示。優等生的示范作用打開了學生的思路，也節省了學生探究的時間，為后面教學豎式、理解算理留出足夠的時間。

二、對比優化算法

【片段二】

師：這些分法里哪種分法簡單呢，為什么？

生1：14×10+14×2最簡單。

生2：我不同意你的觀點，把12平均分成2個6也很簡單啊。

生3：如果不是買12套書，是買13套書呢？就不能用連乘了。

師：到底哪種方法最優呢？我們帶著這個問題開始接下來的探究，相信你會有新的發現。

【反思】學生的計算方法不完全相同，但都是用“先分后合”的思路，這點恰恰就是乘法豎式的基本思路。從這么多方法中，優化出“分十法”體現了直觀與抽象的關系，讓學生進一步理解計算的道理。

很多老師質疑，在教學時，學生利用點子圖進行圈、分、算要耗費較多的時間，壓縮了對豎式計算的教學，造成學生對豎式計算的理解及鞏固練習不到位，那整節課的教學效果就會打折扣。而人教版新教材中增加了“點子圖”， 這樣的編排符合三年級學生的認知規律：學生需要有較多的動手操作和直觀表象作為支撐，引導他們理解算理，掌握算法，有助于培養他們的推理能力。

轉——向思想更深處漫溯

【片段三】

師：有同學用豎式計算，我們一起來看一看。

師：趕快來介紹一下吧！

生：先算個位“2”×14：2×4=8，8寫在個位，2×10=20，2寫在十位。（板書：2×4=8，2×10=20）

師：算完個位，再算什么？

生：再用十位 “1”去乘14：十位的“1”表示10，10×4=40。寫在十位上，0起占位作用，為了簡便可以省略不寫。（板書：10×4=40）

師：然后再用十位“1”去乘十位“1”，也就是多少乘多少？

生：10×10=100。1寫在百位上。（板書：10×10=100）

生：最后把兩次乘得的積加起來。

師：根據購書來解釋，28是幾套數書的本數？140是幾套數的本數？

生：28是2套的本數，140是10套書的本數。

師：你的想法很獨特。這種方法真棒！

師：哪幅電子圖能恰當的體現豎式的計算過程？

生：14×2+14×10

師：觀察點子圖、橫式和豎式計算，它們之間有什么關系？

根據學生的回答，圖示出三者之間的溝通。

師：兩位數乘兩位數橫式計算和豎式計算有什么相同的地方？

生：它們都是把12分成10和2，分別與14相乘，再相加。

師：這就是為什么“分十法”最優的原因了。

【反思】形象地說，豎式就是站起來的“橫式”，但這樣的站應該建立在學生理解的基礎上。教學中，聯結點子圖、橫式及豎式計算每步之間的溝通，從具象到抽象，再從抽象到具象，加深算法和算理之間的理解，讓學生清楚“法中見理，理中得法”。

合——他山之石可以攻玉

【片段四】

師：在豎式計算時，將過程分成了這些算式。我們借助點子圖來演示一下過程。

【反思】此過程整合“北師大版”教材，借助點子圖尋找豎式中每一部的計算結果在圖中相應的位置，讓學生進一步把抽象的算理和外顯的算法進行勾連。用表格來說明“第二層積由于整十數與整十數相加，出現錯位的現象”，從而突破“乘數是一位數的一層積到乘數是兩位數的二層積”的思維障礙。

多爾教授說：“學習成為意義創造過程之中的探險”。在某種意義上，“起”“承”“轉”“合”正是對數學學習“過程”的一種豐富和具體化，經歷這樣的具體化，課堂將變得更加飽滿充實，更加曲折多變，更加智慧靈動。