考慮安裝誤差的弧齒錐齒輪接觸分析初始點計算方法

陸鳳霞，疏奇，戈文昌，靳廣虎

(1.南京航空航天大學 直升機傳動技術國防科技重點實驗室，江蘇 南京 210016；2.中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

弧齒錐齒輪有著傳動平穩、噪聲低、承載性能佳等優點，廣泛應用于航空、航天以及汽車等領域[1]。在對弧齒錐齒輪進行齒面接觸分析時，通常需要先確定初始點的位置，才能準確獲得齒面上的接觸跡線以及傳動誤差曲線。

文獻[2-3]介紹了“局部綜合法”，由于此方法預設了初始點的位置，所以可直接選取該點進行齒面接觸分析。LITVIN F L等[4]將大小輪齒面劃分成不同單元，基于齒面法向偏差最小及距離最小原則，計算加權系數，求得初始點的位置。但該方法加權系數不易確定且未考慮安裝誤差。唐進元等[5]提出含誤差螺旋錐齒輪齒面初始點的確定方法，需要先指定大輪齒面的初始點，再去求小輪齒面的初始點。李敬財等[6]將大小輪齒面離散成相同的單元，取齒面距離最短的單元作為初始點的位置，但該方法未考慮安裝誤差的影響。蘇宇龍等[7]分析了考慮安裝誤差的弧齒錐齒輪齒面接觸跡線的變化情況，但未介紹初始點的確定方法。DING Han等[8]針對螺旋錐齒輪齒面接觸誤差分析，提出一種確定初始點的方法，但需要提供齒形誤差。

為解決由于安裝誤差導致弧齒錐齒輪接觸分析初始點未知的問題，本文提出一種新的初始點計算方法。

1 弧齒錐齒輪齒面方程

圖1所示為加工弧齒錐齒輪的展成坐標系，包括刀具坐標系Mci、機床坐標系Mmi、輪坯坐標系Mi以及3個輔助坐標系Mni、Mei、Mfi。

圖1 加工弧齒錐齒輪的展成坐標系

模擬加工過程中刀具、機床以及輪坯之間的位置和運動關系，通過坐標系之間的轉換，得到在輪坯坐標系Mi中刀刃上任意一點的位矢和法矢如式(1)所示。

(1)

式中：rci、nci是刀具坐標系Mci中切削錐面的位矢和法矢；uci、θci是刀具切削面的坐標；φi是輪坯轉動的角度；M是4×4階矩陣；L是取M矩陣的前3行前3列；下標i=1，2分別表示加工小、大輪齒面，下同。

根據弧齒錐齒輪嚙合原理[9]：

f(uci,θci,φi)=nmi·voi=0

(2)

式中：nmi、voi分別是機床坐標系Mmi中刀具切削面的法矢以及虛擬產形輪與輪坯的相對速度。

將式(2)表示成φi(uci,θci)，再聯立式(1)，得到弧齒錐齒輪的齒面方程和法矢為：

(3)

2 考慮安裝誤差的初始點計算方法

建立弧齒錐齒輪裝配坐標系，將齒輪按照嚙合位置關系進行安裝，并引入安裝誤差，如圖2所示。圖2中，Ms是固定坐標系；M1和M2分別是小輪和大輪的旋轉坐標系；Mt是輔助坐標系；ΔV是垂直誤差；ΔH是水平誤差；ΔΣ是軸交角誤差。

圖2 含安裝誤差的弧齒錐齒輪嚙合坐標系

在固定坐標系Ms下，由于與大輪坐標系M2重合，可直接令大輪齒面方程rs2和法矢ns2分別與r2、n2相等；而小輪齒面方程和法矢可表示為：

(4)

假設x1軸的單位矢量為i1，x2軸的單位矢量為i2，將大小輪旋轉軸的單位矢量i1、i2轉化到固定坐標系Ms中：

(5)

一般情況下，按照圖2所示將兩齒輪直接進行安裝時，通常需將兩齒輪繞著各自的旋轉軸轉動一定的角度，才能使得輪齒上對應點正確嚙合。假設小輪繞著-is1旋轉β1角，大輪繞著is2旋轉β2角，得到相應方程[10]：

(6)

根據弧齒錐齒輪嚙合原理[9]，兩齒輪在嚙合點處滿足以下方程：

(7)

對弧齒錐齒輪齒面進行網格劃分，如圖3所示。將大輪和小輪齒面投影到軸截面，并沿著齒高和齒寬方向將齒面分成m和n等分。假設大輪離散點編號從小端的齒頂開始，編號為(1,1)，到大端齒根結束，編號為(m,n)；小輪離散點編號則從小端的齒根開始，到大端齒頂結束。

圖3 弧齒錐齒輪齒面網格劃分

選取大小輪齒面上編號相同的離散點，求出式(6)中小輪和大輪的旋轉角度β1、β2：

(8)

(9)

式中：

(10)

(11)

旋轉β1、β2角度后，兩齒面在該離散點處單位法矢相等，得到此時兩點之間的距離為：

(12)

3 算例分析

以一對右旋大輪左旋小輪為例，按照上述方法進行分析。接觸跡線以及傳動誤差的計算參照文獻[7]的方法，本文不作過多贅述。表1和表2給出了設計與加工參數。

表1 弧齒錐齒輪的設計參數

表2 弧齒錐齒輪的加工參數

圖4-圖9分別為考慮垂直誤差、水平誤差以及軸交角誤差情形下輪齒接觸分析圖，其中星號點為初始點。

圖4 考慮垂直誤差的輪齒接觸跡線

圖5 考慮垂直誤差的傳動誤差曲線

圖6 考慮水平誤差的輪齒接觸跡線

圖7 考慮水平誤差的傳動誤差曲線

圖8 考慮軸交角誤差的輪齒接觸跡線

圖9 考慮軸交角誤差的傳動誤差曲線

從圖4-圖9中可以看出，當垂直誤差、水平誤差、軸交角誤差為負值時，小輪的接觸跡線偏向于齒頂方向，當上述誤差為正值時，小輪的接觸跡線偏向于齒根方向，大輪情況則與之相反。相比較之下，垂直誤差對接觸跡線的影響較大，其次是水平誤差；而對傳動誤差的影響正好相反。

4 結語

1)利用刀具、機床以及輪坯之間的位置和加工關系，建立弧齒錐齒輪展成坐標系，推導出弧齒錐齒輪的齒面方程。

2)提出考慮安裝誤差的弧齒錐齒輪接觸分析初始點計算方法，解決了在僅給出大小輪設計、加工參數的情況下確定初始點位置的問題。

3)通過算例分析，獲得不同安裝誤差下初始點的位置、大小輪齒面接觸跡線以及傳動誤差曲線的對比圖，驗證了本方法的可行性。