高等數學中收斂數列及函數極限性質的教學探討

（周口師范學院，河南周口466000）

掌握數列及函數極限的概念和性質是學習后續(xù)內容的基石。但是對于高等數學的初學者來說，數列及函數極限涉及的ε-Nε-δ和語言理解起來存在一定困難，尤其是對于基礎較差的學生，很不理解ε、δ、N 在解決問題中的取法。為了讓學生掌握極限的內涵，許多學者對極限的教學方法進行了探討。文獻中探討了借助實例和幾何圖形來論述數列極限的定義的方法，以期達到讓學生加深對極限概念理解的目的。文獻對極限教學的有效策略進行探討，主要論述了教學中采用極限理論的解題方法，以期為相關的實踐提供理論參考。文獻探討了根據微積分的發(fā)展史和極限中體現的哲學思想等科學思想對極限的教學進行設計，讓學生通過感性認識到理性認識的過程理解極限中的重要思想，體會極限過程中的量變到質變、無限和有限的辯證關系。

一、極限性質教學的不良現象

極限在高數的學習中占有極其重要的地位，本應該讓學生盡量理解透徹，但是某些老師在授課中缺乏這種意識，對極限概念及性質的講解存在隨意現象，主要表現在以下兩個方面。

（一）過分依賴PPT 課件。多媒體輔助教學已在高校普遍盛行，由于其視覺效果、前后回顧方便等多種優(yōu)點，受到大多數老師及學生的喜愛。但是多媒體教學還不能完全取代傳統(tǒng)的教學模式，尤其是理工科的教學，因為理工科有其自身的特點，很多公式定理需要詳細推導證明，只讓學生觀看PPT課件很難達到讓學生理解的效果，導致學生對極限性質及證明的關鍵點不能理解。

（二）答疑不科學。答疑是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，但是部分教師對學生提出的問題回答得很不科學。這可能與教師的專業(yè)水平、研究方向有一定關系。比如在經典高等數學教材（高等數學第七版上冊，同濟大學數學系編，高等教育出版社）收斂數列的性質一節(jié)中，定理1（極限的唯一性）證明中“神秘”的出現了“取”，很多學生存在疑問：為什么取？怎么取得呢？有沒有其它值可取？當學生帶著這些問題問老師的時候，有些老師不假思索地回答說是根據經驗取得的，或者有些老師解釋說根據極限的定義，這樣取可以達到證明的目的。顯然，這些回答并沒有解決學生的疑惑。

二、極限性質的教學探討

（一）重視傳統(tǒng)教學方式。傳統(tǒng)的板書教學形式具有很強的靈活互動性，由于其樸素而簡便的板書手段對教師的教學行為束縛小，教師可根據課堂教學的實際需要，及時調整自己原有的課前預設方案。而多媒體教學是以流線型特征展現的，它在學生思考體會與筆記記錄、教師點撥與學生回味等方面都存在著明顯的弱點。因此在授課中不能過分依賴于PPT 課件，要重視板書教學，將極限的性質定理在黑板上給學生詳細推導證明，不僅有利于學生理解，而且可以加深學生對知識的印象，即板書可以有效促進學生對知識的理解記憶。

（二）刨根問底，探究實質。如何解答學生存在的疑問：為什么取？怎么取的呢？有沒有其它值可取？當然這需要老師認真?zhèn)湔n，對知識點要理解的透徹。下面我們以收斂數列的唯一性定理和函數極限的局部保號性定理為例，揭開ε 取值的神秘面紗。

定理1（極限的唯一性）如果數列收斂，那么它的極限唯一。

先看教材中的證明過程。

證用反證法。假設同時有xn→a 及xn→b，且a＜b。取。因為，故正整數N1，當n＞N1時，不等式

都成立。取N=max｛N1，N2｝，則當n＞N時，（1）式及（2）式會同時成立，但由（1）式有，由（2）式有，這是不可能的。這矛盾證明了本定理的斷言。

假設同時有xn→a及xn→b，且a＜b，由極限的定義知對ε ＞0，存在正整數N，當n＞N 時有同 時 成 立 。 根 據，又根據，即當n＞N 時，xn落在了兩個區(qū)間（a-ε，a+ε）和（b-ε，b+ε），由a＜b，這兩個區(qū)間的示意圖有以下3種情況：

由圖可知，要想得出矛盾，只需使兩個區(qū)間沒有交集就可，也就是說ε 的取值只要滿足情況1和情況2都可以得出矛盾，完成定理的證明，即只要取ε滿足不等式a+ε≤b-ε即可，解不等式得。因此，在本定理的證明中取，僅僅是一個臨界值，可以取的任何值來完成定理的證明。

先看教材中的證明過程。

證就A＞0的情形證明。

類似地可以證明A＜0的情形。

三、結束語

根據學科的特點及目前部分老師在授課中存在的不足，本文對極限性質的有效學習進行了探討：（1）重視板書授課方式，盡量把關鍵點給學生演示清楚；（2）認真對待答疑，不要評想當然，或敷衍了事；（3）刨根究底，探究實質。對極限性質的證明中的“神秘”取值要給學生講透徹，揭開它的神秘面紗，澄清其取值的實質，讓學生不再困惑。