高中數(shù)學(xué)解決函數(shù)零點個數(shù)問題的解答方法

薛 婷

(山東省棗莊市第三中學(xué) 277000)

在練習(xí)題目當中出現(xiàn)的函數(shù)零點問題，大部分都是要考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想的掌握程度，遇到這一類題型，不僅要求學(xué)生要研究函數(shù)的單一性，同時也要考慮到零點存在定理，要確保解的個數(shù)的充要性.這是同學(xué)們在解決這一問題是必須要考慮的條件，也是保證解題正確的一個重要前提.

(1)當a=1時，求y=f(x)在區(qū)間x∈[-1,1]上的值域.

(2)試著求出函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)，并證明你的結(jié)論是否正確.

分析遇到這樣的問題，我們首先應(yīng)該對題目當中給出的函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等內(nèi)容進行分析，然后再借助這個函數(shù)的大致圖象來判斷零點的情況.

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)遞減.

所以當x=0時，f(x)取得極大值，也是函數(shù)f(x)的最大值，即f(x)max=f(0)=1.而f(x)min={f(-1),f(1)}min=f(-1)=2-e.所以，f(x)在區(qū)間x∈[-1,1]上的值域為[2-e,1]

②若a<0，則

在上面的這道例題當中，第一小問在求解值域問題時，我們一定要注意對函數(shù)求導(dǎo)，并且對導(dǎo)數(shù)的范圍進行討論，這是一個必須的過程，能夠保證解題的準確性.而這道題目當中的第二小問與第一小問沒有必然的聯(lián)系，同學(xué)們在求解的過程中，一定要記住不能把第一小問當中題目給出的已知條件帶入到第二小問中進行運算，那樣是不正確的.求解零點問題需要我們對題目進行分類討論，在這道例題當中，由于原函數(shù)當中存在一個未知量a，所以我們要對未知量的取值進行分類討論，仍然要對函數(shù)進行求導(dǎo)，并且研究函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的基本性質(zhì).在解題的過程中，我們應(yīng)該盡可能的保持書寫的整齊，這樣一來既能夠保持卷面的美觀，也能讓我們在后續(xù)進行檢查的時候，能更加清晰地對自己的解題步驟進行歸納和檢驗.