從“三門問題”對學生的認知錯覺問題的析惑

一、問題背景介紹

“三門問題”是歷史上一個有關博弈論的趣味數學問題，是美國一檔電視游戲節目所提出來的，它的主要內容表述如下：在這個電視節目中有三扇門，這三扇門的后面會被隨機放進去物品，物品分別是汽車和兩只山羊，此時參賽者要隨機選擇一扇門，但是主持人不會直接打開這扇門，而是為了制造懸疑效果，主持人在知道汽車在哪扇門后面的情況下，在剩下的兩扇門中打開一扇有山羊的門，現在問題來了，主持人給競猜者提供一次重新選擇門的機會，那么他該不該換門呢？怎樣做得到汽車大獎的概率會大一些？

二、“三門問題”課堂實錄

這個問題引起了廣泛的討論，是一個很典型的認知錯覺問題，常見的解答主要有兩種，筆者將借由中學課堂真實發生的師生對話來介紹。具體的課堂實錄如下(教師介紹問題背景和內容)。

師：同學們，如果是你的話你會不會換呢？

生A：換。

生B：不換。

生C：換不換都可以。

師：大家作出判斷一定要有依據，換和不換的理由是什么？大家能從概率的角度分析嗎？

生C：主持人打開一扇有山羊的門，那剩下兩個門中一個有汽車，另一個沒有，則選到汽車的概率是，所以換不換都一樣。

師：C 覺得換不換都行，因為選到汽車的概率是一樣的，還有沒有別的想法呢(同學們此時都覺得有道理)？

師：那大家不妨回答一下我的問題，一開始選了一個門，選到汽車的概率是多少？

師：主持人知道哪個門有汽車，所以除去你選的那個門，他一定可以在另外兩個門中選擇一個有山羊的門打開，是吧？

生：是。

師：這個過程一定可以實現，但它并沒有從本質上改變你選到汽車的概率，你能不能選到汽車從一開始就決定了，還是，那么另外的應該在哪里呢？

生：另外一個門。

生：是的，這兩種解釋好像都行得通，究竟哪一種是對的呢？

師：其實大家不妨這么想：假設是100 道門，你選了一道門，抽中汽車的概率是多少？

師：那么主持人可以在剩下的99 道門中開98 道，且保證里面都沒有汽車。這時候你會選擇換不換呢？

師：沒錯，因為除去你選那道門，其余的99 道門有汽車的概率是，經過主持人的排除，這的選到汽車的概率就“壓縮”到最后剩下的那道門。其實這和我們一開始提出的“三門問題”道理是一樣的，數量的擴大使我們更直觀地感覺到問題所在，現在大家對“三門問題”該做出的選擇清楚了嗎？究竟要不要換？

生：當然換。

生E：老師，如果我選的是1 號門，按你的說法，2 號和3 號門合起來有汽車的概率是，如果主持人開了2 號門沒汽車，那么3 號門有汽車的概率就變成了，那現在我把1 號門和2 號門合一起有汽車的概率是，現在我選的是1 號，結果主持人開了2 號門沒汽車，那是不是就代表1 號門現在有汽車的概率就變成了？

師：E 提出了一個非常好的問題，但關鍵是如果我選了1 號門，把2 號和3 號門“捆綁”在一起，這時主持人從2 號和3 號門是必定可以選出沒有汽車的門來開，可如果按照你的說法，把1 號和2 號門“捆綁”在一起，你選了1 號門，你是無法保證2 號門是一定沒有汽車的，這樣的話就沒辦法保證主持人一定可以打開2 號門。這就是你的這種“捆綁”方法的問題所在，現在清楚了嗎？

生E：原來如此，現在清楚了。

三、“三門問題”認知錯覺析惑

這其實是一個很典型的認知錯覺問題，接下來筆者將著重分析“三門問題”背后所隱藏的概率機理。要弄清楚這個問題，首先可以借由最原始的枚舉法，在主持人知情的情況下，由于最開始選幾號門的分析完全類似，因此以選1 號門為例。

可見，在主持人開到的門不是汽車的情況下，汽車在2 號門主持人開2 號門和汽車在3 號門主持人開3號門這兩種情況都應該被排除，則剩下四種情況，每種情況概率相等，如果汽車在1 號門，則換門會錯失汽車，概率為，這時換不換門選到汽車的概率都是。

因此可以看到，在主持人知情的情況下，本身有2 種可能已經不可能發生，因此它們的概率就歸并到和它屬于同個子域的基本事件上，這就導致了四個基本事件的概率不均等，而學生沒有認識到這一點，直覺認為它們概率相等導致出錯。而在主持人不知情的情況下，六個基本事件都可能發生，但在開到沒有汽車的門的條件下就需要從基本空間中剔除掉其中兩個基本事件，剩余的四個基本事件概率相等，因此換不換門選到汽車的概率都是相等的。

四、另一認知錯覺實例剖析

其實，在實際教學中學生常常因為搞不清楚基本空間中有哪些基本事件以及這些基本事件的概率大小是否均等的問題而出現認知錯覺，想當然地給出錯誤的答案。下面再給出一教學實例：一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是女孩，那么這兩個小孩一男一女的概率是多少？析惑：看到這個問題，大部分學生脫口而出就是，他們理所當然的認為生男生女的概率均等，因此另外一個是男孩的概率就是。這其實是個條件概率問題，與上面“主持人不知情但開到的門后沒有汽車”道理一致，首先要搞清楚基本事件有哪些，在不加任何條件限制的情況下，基本空間應該包括Ω={(男，男)(男，女)(女，男)(女，女)}，但這里已經有“其中有一個是女孩”的條件，因此(男，男)這個基本事件就應該從基本空間中剔除，其余三個事件概率均等，因此一男一女的概率為。

五、小結

本文介紹的兩個認知錯覺實例其實都可以利用貝葉斯公式來解決，但是在利用這個公式之前關鍵是要搞清楚兩個基本問題，“基本空間包括哪些基本事件”以及“這些基本事件的概率是否均等”，只有把這兩個問題弄清楚了，才能揭開認知錯覺背后神秘的面紗。