變分模態分解結合樣本熵的變形監測數據降噪

魯鐵定 謝建雄

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 東華理工大學江西省數字國土重點實驗室，南昌市廣蘭大道418號，330013

變形監測數據包括真實數據和觀測噪聲，若直接利用原始監測數據進行建模預測難以獲得滿意結果。在工程應用中一般認為，噪聲信號和干擾信號主要分布于高頻信號中，而相對平穩的低頻信號則被認為是有用的真實信號[1-2]。甘若等[3]運用改進小波閾值函數處理危巖變形沉降數據，能夠有效去除噪聲，提升信噪比；范千等[4]采用EMD方法降噪處理建筑物形變觀測數據，從而獲得其形變特征。但小波分析存在小波基選取及確定分解級數等問題，EMD方法存在端點效應與模式混疊等缺點[5]。Wu等[6]通過在原始信號中添加不同的高斯白噪聲，提出整體經驗模態分解(EEMD)方法，減弱了模式混疊現象的影響，但容易產生較大的重構誤差；補充整體經驗模態分解(CEEMD)[7]方法盡管提高了完備性和重構精度，但由于集成次數過多導致計算效率低下。

為解決上述問題，Dragomiretskiy等[8]提出一種新型自適應復雜信號分解方法——變分模態分解(VMD)方法，Ram等[9]驗證該方法可緩解模態混疊和邊界效應，且在魯棒性、運算效率等方面具有明顯優勢。同時，根據樣本熵(SE)能夠反映時間序列復雜程度的特性，本文將其與VMD結合形成一種應用于變形監測數據的新降噪方法，并通過仿真算例和工程實例驗證了VMD-SE方法的有效性。

1 算法原理

1.1 VMD算法

不同于EMD方法對信號的剝離，VMD算法是通過設置模態數k、懲罰參數α和上升步長τ等參數將信號分解成k個中心頻率為ωk的模態函數uk，其實質為變分問題的構造和求解。VMD算法構造的約束變分問題可表示為：

(1)

式中，f為原始信號，uk為模態函數，ωk為各模態的實際中心頻率，e-jωkt為每個解析信號的預估中心頻率。

為求解該約束變分模型的最優解，引入拉格朗日乘子λ(t)和二次懲罰因子α，使其轉變為無約束變分問題，得到增廣拉格朗日表達式為：

L({uk},{ωk},λ)=

(2)

采用交替方向乘子算法，通過迭代更新求得增廣拉格朗日表達式的鞍點，即為式(1)最優解。

1.2 樣本熵

針對VMD算法不能判定噪聲主導的帶限固有模態函數(BIMF)的問題，利用樣本熵(SE)能夠反映信號復雜程度的特性，將其作為判斷噪聲信號與監測數據有用信號的標準，有效識別形變監測數據有用成分與噪聲成分的分界。樣本熵的計算過程[10]為：

1)對于長度為N的監測數據信號x(i)，按順序構建m維矢量Xi：

Xi=[x(i)x(i+1)…x(i+m-1)]，

i=1,2,…,N-m+1

(3)

0

(4)

(5)

(6)

5)更新維數，令m=m+1，并重復上述步驟，即可得到Cm+1(r)。

6)理論上，此時的樣本熵為：

(7)

當N為有限數時，式(7)可表示為：

lnCm(r)-lnCm+1(r)

(8)

其中，參數m及r的設定會對樣本熵(SE)的值產生較大影響，一般令m=2，r取原始數據標準差(SD)的0.1～0.25倍[11]，本文取0.15倍。SE值越大反映信號的隨機程度越高，包含的噪聲成分越多；相反，SE值越小說明信號的規律性越強，包含的噪聲成分越少[12]。

為能較為準確地判斷出噪聲分量與有用信號分量的界線，閾值的設定尤為重要。文獻[12]中將SE閾值設定為0.2，用于區分微地震信號與噪聲的分界，取得了不錯的效果。但閾值設置得過小易將有效分量誤判為噪聲分量，導致過度降噪使信號失真；反之，若閾值設置過大也可能對降噪結果產生不利影響。考慮到不同變形體的變形規律差異較大，同時為提高方法的適用性，本文將SE閾值設定為0.5，以盡可能避免有用的非線性變形特征信號被劃分為噪聲信號而遭濾除。

1.3 基于VMD算法的變形監測數據降噪

1)設置VMD算法的相關參數，如模態數k、懲罰因子α及上升步長τ等；

2)原始觀測數據經VMD算法分解為k個BIMF，并計算各BIMF的樣本熵；

3)將樣本熵大于設定閾值的高頻BIMF作為隨機噪聲成分進行濾除；

4)重構剩余的BIMF，獲得降噪處理后的觀測數據序列。

2 仿真模擬信號分析

變形監測信號包含多種噪聲，且頻率分布范圍較廣，為保證與實際情況相符，構造復合仿真信號進行模擬實驗。仿真信號的采樣頻率為1 Hz，采樣個數為1 024，包括3個周期項和1個趨勢項及隨機噪聲項(圖1)，其表達式為：

圖1 仿真信號Fig.1 Simulation signal

Y=4sin(2πt/500)+3sin(2πt/200)+

2sin(2πt/40)+0.001t+noise

(9)

為更好地展現本文方法的降噪效果，分別設置3組標準差噪聲水平為0.5、1.0和1.5的高斯白噪聲數據，并設置4種實驗方案：方案1，未對噪聲進行任何處理；方案2，采用EEMD方法降噪；方案3，采用CEEMD方法降噪；方案4，采用本文提出的VMD-SE方法降噪。為對比分析不同算法的處理效果，選用信噪比(SNR)和平滑度(r)[13]指標進行降噪質量評價：

(10)

(11)

實際變形觀測數據中有用成分和噪聲的功率均未知，采用信噪比進行降噪質量評價是不合理的，因此引入降噪誤差比(dnSNR)[14-15]評價降噪性能，其表達式為：

(12)

式中，Ps+n為含噪序列功率，Pg為濾除的噪聲功率。

一般認為，SNR越高降噪質量越好，dnSNR及r的值越小降噪效果越顯著。EEMD方法及CEEMD方法降噪的關鍵在于準確識別噪聲分量與有效信號分量的分界，本文采用相關系數法[16-17]確定信噪分界。首先計算各階IMF與原始信號的相關系數，然后尋找相關系數首個極小值出現的第k個IMF，將前k個IMF視為噪聲IMF，最后從k+1個IMF開始重構，即可獲得降噪后的信號序列。

EEMD方法及CEEMD方法的基本參數設置參考文獻[6]，VMD算法中模態數k為10(與EEMD模態個數保持一致)，懲罰參數α為3 000，上升步長τ為0。圖2為加入不同標準差噪聲的仿真信號經VMD法分解后各BIMF的樣本熵。

圖2 不同噪聲標準差下各BIMF樣本熵Fig.2 Sample entropy of each BIMF with different noise standard deviations

由圖2可以看出，在不同噪聲水平下，BIMF1和BIMF2的樣本熵值均小于0.5，對應為低頻有用信號分量；而BIMF3～BIMF10的SE值均大于0.5，對應為高頻噪聲或虛假模態分量。限于篇幅，本文僅給出噪聲標準差為0.5時采用4種方案處理后獲得的結果與不含噪聲的仿真信號殘差，結果見圖3。表1統計了不同噪聲水平下EEMD、CEEMD及VMD-SE方法的SNR、r及dnSNR值。

圖3 4種方案降噪后信號與不含噪聲的仿真信號的殘差Fig.3 Residuals of the noise-reduced signals and simulated signals without noise of the four schemes

由圖3可知，經EEMD與CEEMD降噪處理后的信號與原始參考信號相比存在一定偏差，CEEMD的整體降噪效果略優于EEMD，而采用VMD-SE處理后的信號與原始參考信號的偏差最小。從表1可以看出，在相同噪聲水平下，本文方法的SNR值高于EEMD方法和CEEMD方法，平滑度r和dnSNR值也均小于其他兩種方法，說明在不同噪聲水平下本文提出的新方法的降噪性能具有一定優勢。

表1 3種方案降噪評價指標對比Tab.1 Comparison of noise reduction evaluation indexes of the three schemes

3 實例與分析

某地鐵車站基坑由于受到各種不確定因素的影響，如毗鄰眾多建筑物、場地屬于不良地質及施工范圍內的城市地下綜合管線錯綜復雜等，施工安全問題非常突出，需隨時掌握基坑的動態變化。選取2015-08～2019-04期間沉降監測點M17的45期觀測數據進行實驗[18]，變形曲線見圖4。

圖4 監測點M17沉降變形曲線Fig.4 Settlement deformation curve of monitoring point M17

由圖4可知，該車站基坑沉降實測數據存在較為明顯的隨機性和不規則性。由于基坑在開挖過程受各種干擾因素的影響，觀測數據中包含一定的隨機噪聲，若直接采用原始觀測數據進行建模分析和預測，預測效果往往不佳。這是由于觀測噪聲會對建模和預測產生較大的干擾，因此需要對原始數據序列進行降噪處理，提高監測數據的質量，進而提高變形預測的精度。

分別采用EEMD、CEEMD及VMD-SE方法對車站基坑沉降序列進行降噪處理，其中EEMD和CEEMD方法的相關參數設置與仿真實驗一致。由于車站基坑沉降序列的信噪比較大，EMD法分解后得到的第1階IMF就包含了絕大部分的噪聲，從第2階IMF開始重構獲得降噪后序列[16]。同理，采用EEMD和CEEMD方法進行處理時，也均從第2階IMF開始重構序列，獲取降噪后序列。利用VMD法對觀測數據進行分解時，設置模態數k為5(與EEMD分解模態個數保持一致)；對于二次懲罰參數α，考慮到基坑序列的噪聲水平，同時顧及分解之后序列的保真度[19]，經過反復試算，最終確定為0.08，上升步長τ為0。VMD結果見圖5，各個BIMF的樣本熵見圖6。

圖5 基坑沉降觀測數據VMD結果Fig.5 VMD results of foundation pit settlement observation data

由圖5和圖6可以看出，VMD方法將基坑沉降時間序列分解成5個由低頻至高頻的BIMF分量，BIMF1的樣本熵值為0.10，其整體趨勢與原始監測數據基本保持一致；而BIMF2～BIMF5則表現出較強的隨機性，對應的樣本熵值均大于0.5，將其作為噪聲剔除，以抑制隨機噪聲對真實數據的干擾。表2為基于不同方法的降噪性能評價指標對比。

圖6 各個BIMF的樣本熵Fig.6 Sample entropy of each BIMF

表2 降噪性能評價指標Tab.2 Evaluation index of noise reduction performance

由表2可知， VMD-SE降噪方法的平滑度r和dnSNR值均小于另外兩種方法，表明新方法的降噪效果最佳。為進一步反映各方法的降噪效果，分別將未經降噪和采用不同方法降噪后獲得的前10期沉降觀測數據利用高斯過程回歸[20](GPR)建立滾動預測模型，以11～45期監測數據作為測試樣本數據，用于驗證各個預測模型的精度。各方法的預測結果見圖7，精度評定見表3。

圖7 各方法的預測結果Fig.7 Forecast results of each method

表3 預測精度評定Tab.3 Evaluation of prediction accuracy

由圖7可以看出，GPR模型采用未經降噪處理的原始數據進行訓練及預測，預測結果的波動性較大；EEMD-GPR和CEEMD-GPR模型去除了一部分觀測噪聲，預測精度有一定的提高，且CEEMD-GPR模型的預測性能優于EEMD-GPR模型；VMD-SE-GPR模型的預測結果與實測數據最為接近，與表3的統計結果一致，且與文獻[18]的WEPM模型相比，預測結果的均方根誤差(RMSE)僅為0.44 mm，減小了66.4%。同時與其他方法相比，VMD-SE-GPR模型的預測精度評定指標均為最優，RMSE分別減小了47.6%、38%和18.5%，表明該模型的整體預測精度最高，進一步驗證了VMD-SE方法的降噪質量最好，在盡可能保證原始監測數據有用成分的基礎上最大限度地濾除了噪聲。

4 結 語

本文依據變分模態分解和樣本熵各自的優勢，提出VMD-SE變形監測數據降噪方法，并通過仿真算例對比分析其信噪比、平滑度、降噪誤差比等指標，證實該方法降噪性能優于EEMD方法和CEEMD方法。同時，利用本文方法處理地鐵車站基坑變形觀測數據，降低了隨機噪聲信號的干擾影響，有效改善了數據質量，使預測精度得到較大提高，對形變分析具有一定的參考意義。但VMD中分解模態個數k和二次懲罰參數α的預設均會影響最終的分解結果，因此在實際工程應用中如何獲取k和α的最佳參數組合，從而得到最優的分解結果，值得進一步深入研究。