高考概率與統計內容比較的教學啟示

張科研　苑常在

摘 要：從近四年的14套高考理科試卷來看，概率與統計試題背景廣泛，注重應用性、思想性。高考概率與統計試題突出強調學生要有一定的數學模型意識，能夠靈活處理實際背景下的數據信息，實現數據信息重組整合，并向概率與統計的主干知識點靠攏。當然，在解決問題時還經常需要將概率與統計的知識與其他數學知識比如：導數、函數等交匯融合。筆者嘗試通過典型試題分析總結一些考查方向，以期能給一線教師教學提供一點經驗。

關鍵詞：高考;概率;統計;比較;教學啟示

高考作為萬眾矚目的第一大考，不僅要發揮國家公平選拔人才的作用，而且其試題內容的導向也具有鮮明的導向意義。從某種意義上來說，高考數學不僅是檢測高中數學教育教學質量的有力手段，也是體現中學數學教育教學改革成效的重要窗口。

高考數學試題體現立德樹人的理念，貫徹德智體美勞全面發展的教育方針，聚焦核心素養，突出關鍵能力的考查，體現了高考的育人導向作用。

對于教師而言，對高考概率與統計真題進行研究，一方面有利于教師更好地把握概率與統計的考查方向，另一方面有助于教師領悟高考數學試題體現的數學思想方法，以期教育教學質量有所提高。

2018、2019、2020年很多省份采用全國卷（包括全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷）。2020年山東省勇于創新，新高考自主命題試卷應運而生。2021年高考數學，教育部考試中心將全國Ⅰ卷、Ⅱ卷合并為全國乙卷，將全國Ⅲ卷命制為全國甲卷，并且分文、理科數學試卷。與此同時又命制了新高考Ⅰ卷（試卷不分文理科）、新高考Ⅱ卷（試卷不分文理科）。當然除此之外，還有一些省市單獨命題高考試卷。

本文是以2018—2021這4年部分理科試卷中的概率與統計試題為研究對象。具體的是以下的14套高考理科卷：2018全國Ⅰ卷、2018全國Ⅱ卷、2018全國Ⅲ卷、2019年全國Ⅰ卷、2019全國Ⅱ卷、2019全國Ⅲ卷、2020年全國Ⅰ卷、2020全國Ⅱ卷、2020全國Ⅱ卷、2020新高考山東卷、2021年全國甲卷、2021全國乙卷、2021新高考Ⅰ卷、2021新高考Ⅱ卷。

一、試卷的統計分析

（一）時間 試題出處 題型、題量及分值 涉及的主題背景 考查的知識點

2018 全國Ⅰ卷 選擇題、題量2、分值10 新農村建設中農村經濟收入（3題） 統計推斷：餅圖

數學文化：古希臘數學家希波克拉底研究的幾何圖形（10題） 概率：幾何概型

解答題、題量1、分值12 工廠產品檢驗（20題）概率：分布列、期望、相互獨立、二項分布

全國Ⅱ卷 選擇題、題量1、分值5 數學文化：數學家陳景潤研究的哥德巴赫猜想（8題） 概率：古典概型

解答題、題量1、分值12 環境基礎建設投資（18題） 統計推斷：線性回歸方程及相應的預測

全國Ⅲ卷 選擇題、題量1、分值5 科技發展：移動支付（8題） 概率：方差、二項分布

解答題、題量1、分值12 科技創新：工廠改進生產方式（18題） 統計推斷：莖葉圖、獨立性檢驗

2019全國Ⅰ卷 選擇題、題量1、分值5 數學文化：我國古代典籍《周易》中“卦”（6題） 概率：古典概型

填空題、題量1、分值5 五育并舉方面：籃球比賽（15題） 概率：二項分布、相互獨立

解答題、題量1、分值12 科技創新：新藥研制 （21題）概率：分布列 數列：等比數列

全國Ⅱ卷 選擇題、題量1、分值5 五育并舉方面：演講比賽（5題） 統計：樣本估計總體

填空題、題量1、分值5 科技發展：高鐵列車（13題）概率：頻率估計

解答題、題量1、分值12 五育并舉方面：籃球比賽（18題） 概率：二項分布、相互獨立

全國Ⅲ卷 選擇題、題量1、分值5 語文閱讀：四大名著（3題） 概率：頻率估計

解答題、題量1、分值12 科學實驗：甲乙兩種離子在小鼠體內的額殘留程度（17題） 統計：樣本估計總體

2020全國Ⅰ卷 選擇題、題量1、分值5 科學實驗：種子發芽率與溫度的關系（5題） 統計推斷：線性回歸 方程及相應的預測

解答題、題量1、分值12 五育并舉方面：羽毛球比賽（19題） 概率：二項分布、相互獨立

全國Ⅱ卷 選擇題、題量1、分值5 疫情防控方面：需要志愿者的人數（3題） 概率：頻率估計

填空題、題量1、分值5 垃圾分類宣傳：人數分配（14題） 計數原理：排列組合

解答題、題量1、分值12 生態環保方面：沙漠治理，野生動物數量變化（18題） 統計：樣本估計總體（平均數估計、相關系數、抽樣方法）

全國Ⅲ卷 選擇題、題量1、分值5 無背景（3題） 概率：標準差

填空題、題量1、分值5 無背景（14題） 計數原理：二項式定理

解答題、題量1、分值12 興趣小組：空氣質量、公園鍛煉人數（18題） 概率：頻率估計;統計： 平均數、獨立性檢驗

新高考山東卷 選擇題、題量1、分值5 志愿者安排（3題） 計數原理：排列組合

解答題、題量1、分值12 環境保護：對空氣質量調研（18題） 概率：頻率估計統計：獨 立性檢驗

2021 全國甲卷 選擇題、題量1、分值5 農村經濟情況（2題） 統計推斷：樣本估計總體

選擇題、題量1、分值5 無背景（10題） 概率：古典概型

解答題、題量1、分值12 機床生產產品質量（18題）概率：頻率估計統計：獨立性檢驗

全國乙卷 選擇題、題量1、分值5 北京冬奧會志愿者（6題） 計數原理：排列與組合

解答題、題量1、分值12 檢驗設備指標有無提高（17題） 統計：平均數、方差

新高考Ⅰ卷 選擇題、題量2、分值10 小球抽取問題（8題單選） 概率：相互獨立

無背景（9題多選） 統計：樣本估計總計（平均數、極差、標準差、中位數）

解答題、題量1、分值12 “一帶一路”知識競賽（18題）概率：分布列、相互獨立、期望

新高考Ⅱ卷 選擇題、題量1、分值5 無背景（6題） 概率：正態分布

選擇題（多選）、題量1、分值5 無背景（9題） 統計：樣本估計總體（平均數、中位數、極差、標準差）

解答題、題量1、分值12 科學背景：微生物群體的繁殖下一代（21題） 概率：分布列、期望、相互獨立（與函數、導數、不等式交匯）

（二）通過研究分析得到的結論

從統計結果來看，題數總計36道，其中選擇題計18道，其中包括多選題2道。因為新高考改革，所以近兩年山東和遼寧等省份高考數學試卷出現多選題;填空題僅4道，解答題共計14道。其中主觀題、選擇題和客觀題、解答題屬于必考項，而填空題是偶爾考。

1.從14套試卷來看，正態分布知識考查極少，只有1道題。筆者還發現這36道題中只有3道題是計數原理內容。計數原理無論是排列組合還是二項式定理的考查的概率相對較低。

2.從解答題來看，涉及的統計內容包括樣本估計總體（頻率分布直方圖、餅圖、平均數、中位數、方差、標準差）、線性回歸方程、相關系數、獨立性檢驗重基礎。涉及概率的內容包括相互獨立、二項分布、期望、方差等，綜合性較強，然而涉及頻率估計概率的部分較基礎。

3.試題大多有實際背景，無背景的試題相對較少。一部分試題涉及社會服務、五育并舉、生命科學等背景。其中2021新高考Ⅱ卷以微生物種群繁殖下一代為科學背景，也是與我們國家提倡開放三胎的生育政策相呼應，體現了高考數學試題開放創新，與時代同頻共振。

二、教學啟示

以教材為基礎，重視知識生成過程

（一）教師必須認真研究數學新課程標準和教材內容，正確掌握課標對“概率和統計”的要求。教師要尊重教材，鉆研教材，巧用教材。對于主觀題很多是教材示例、練習題的組合或者習題適當地加工開拓等。因此，教師要以教材為基礎，重視知識的生成過程，講透相關的概念和公式。

（二）教材中關于“概率與統計”知識的介紹與現實背景是分不開的。所以，十分有必要介紹和分析很多具體的生活實踐中的實例。對于有些概率與統計問題，學生必須經歷實踐，方能領悟到位。數學課堂不僅要有活動性、探索性，而且要有思考性、引領性，目的是讓學生在活動的基礎上進行深度思考、理性思考。教師要引導學生，經歷系統的數據處理過程，讓學生從中學習一些數據處理的方法，并用所學的知識、方法解決實際問題，這也體現了從做中學，從做中悟的教育理念。

（三）以閱讀為基礎，重視數據分析素養的提升

高考試卷中的“概率與統計”的問題，其特征是文章閱讀量大、信息量大、數據多。在“概率與統計”的教學中，教師有必要把培養學生的閱讀能力作為重要的教學目標。我們知道，教材的內容和問題的陳述內容一般都很長，所以教師有必要讓學生進行大量閱讀，讓學生在泛讀、精讀之后用自己的語言表達文中內容是培養學生數學閱讀能力的有效途徑之一。通過閱讀，考生對重要的數學信息會更加敏感，有利于學生數據分析素養的提升。

（四）以育人為基礎，重視知識創新和發展

1.加強數學應用教學。“概率與統計”是高中數學新教材的重要內容之一，也是體現數學應用性的重要內容之一。從教材的內容中提取具有社會價值的數學應用背景，指導學生經常關注生活背景、社會現實、經濟建設、科學技術發展等各個方面。解決概率與統計問題時，請注意理解變量的多樣性。

2.加強學科內知識整合教學。統計概率的問題已經出現了學科內橫向交叉點。教師在教學中要注重發掘知識之間的內在聯系。比如：統計概率與函數的交叉、與不等式的交叉、與數列的交叉等。教師要精心設計主題內容，讓學生體會各知識之間的聯系，促進學生數學認知結構重塑和整合。

結束語

我們不難發現概率與統計知識應用范圍廣，尤其在決策中作用越來越大。試題從“一核四翼”的角度出發，將必備知識、關鍵能力和個性品質一體化，全面考查學生的綜合能力和核心素養。概率與統計試題強調知識的綜合性、思想性、創新性。試題以必備知識為載體，將社會經濟發展與知識緊密相連，使統計與概率的知識考查具有一定的深度、溫度。

本文以2018—2021年的14套高考理科試卷為例，對近4年部分高考數學試卷的概率和統計內容進行了比較系統地總結分析。對試題考查方向及試題背后所包含的統計和概率思想進行了研究分析，幫助一線教師更好地理解試題的考查方向，為一線教師教學提供了一點參考。

參考文獻

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