基于認知邏輯鏈的三角函數單元教學策略分析

王世朋　汪煦　許曉天

摘? 要：從結構編排、正文內容、例題與習題的角度對新、舊教材中三角函數單元的內容進行對比，分析不同點，并結合教學中的實際困惑，通過抓邏輯線索統領教學、用單位圓研究學習內容、用換元法分析典型例題和通過函數建模提升素養的單元教學策略，增強教學整體性和有效性.

關鍵詞：認知邏輯鏈;單元教學;策略分析

三角函數單元是人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“新教材”）必修第一冊第五章的內容，在新教材中占有較大篇幅，在教學中用時也較多. 從教學實踐來看，學生普遍感到內容多，難理清楚;公式多，難分準確;變形活，難選最優. 幫助學生和教師理清本單元的教學重點、難點及邏輯關系，助力教師系統地教和學生清楚地學是一件有意義的事.

一、問題提出的背景

1. 新、舊教材的對比分析

以新教材與人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（以下統稱“舊教材”）為研究對象，從結構編排、正文內容、例題與習題三個方面對三角函數內容進行比較分析.

分析表1和表2的統計數據，可以得出不同點，如表3所示.

2. 教與學的困惑

（1）教師層面.

一方面，教師的觀念尚未及時更新，不能準確理解新課程理念的變化，不能整體把握單元教學的系統性. 例如，概念、公式、圖象和性質都可以由一個單位圓引出，與原來的知識體系相比，其整體性、邏輯性更強. 不再像舊教材中那樣，要研究三角函數的圖象先研究三角函數線，要獲得兩角差的余弦公式先學習向量知識. 理解好新教材，有助于理清知識脈絡. 在教學實踐中，很多教師依舊抱殘守缺，不愿改變舊策略，照搬舊教法，因循守舊.

另一方面，部分教師試圖接受新教材，卻因為缺乏深度理解，最終只能流于形式，對于新教材中的很多探究活動選擇直接略過. 例如，在弧度制的教學中，新教材意欲通過探究活動得出：圓心角[α]所對的弧長與半徑的比值只與[α]的大小有關. 但是，在教學實踐中，很多教師選擇直接給出公式，并不注重說理過程. 在三角函數的概念教學中，新教材的探究目的是建立角[α]與終邊的一一對應關系，進一步產生終邊與單位圓的交點[P]的坐標的一一對應關系，讓函數的引出顯得自然. 聽課中也明顯感覺到，很多教師嫌煩瑣，選擇像舊教材那樣直接根據銳角三角函數來進行定義.

（2）學生層面.

一方面，在初中，學生學習過利用銳角三角函數的定義解決直角三角形中有關的邊角計算問題，缺少對三角函數的整體感知.

另一方面，學生不理解為什么三角函數是刻畫周期函數的重要模型，對單位圓的引出感到困惑. 同時，對三角函數運算的內在聯系認識不足，學習起來有一定困難. 另外，三角函數的學習內容中蘊涵許多思想方法，學生普遍感覺想不到、記不住、用不好.

二、學生認知基礎分析

1. 知識與技能

在學習三角函數之前，學生已經學習了一次函數、二次函數、冪函數、指數函數和對數函數，對函數有了一定的認識. 三角函數是學生接觸的第一個周期性函數，是高中階段學習的最后一個基本初等函數.

在初中數學教學內容中，已有銳角三角函數的概念，但沒有將其作為一種函數來學習，學生關注的只是三角函數值，主要利用銳角三角函數的定義解決直角三角形中有關邊角的問題. 到了高中階段，需要從函數的角度來認識三角函數.

2. 基本活動經驗

學習三角函數的認知基礎是函數的一般概念，以及對冪函數、指數函數和對數函數的研究經驗，另外還有圓的相關知識. 然而，前面學習的基本初等函數涉及的量較少. 在三角函數內容中，對應關系不以“代數運算”為媒介，是“[α]與[x，y]直接對應”，實際上是幾何元素間的對應，學生在已有的基本初等函數學習中沒有這種認知，而且缺乏用聯系的觀點看問題的經驗，致使對“如何發現函數的性質”認識不充分，最終難以自己總結出性質和概念，容易出現理解性偏差.

三、基于認知邏輯鏈的單元教學策略分析

教材是教與學的依據. 學生的數學認知邏輯鏈是以數學教材知識之間的邏輯結構為主線、以學生的數學認知基礎為起點、以學生的數學思維為銜接形成的符合學生認知水平的邏輯關系. 一個單元就是一個思想體系、方法體系、知識體系. 要發展學生的數學學科核心素養，就應當著眼于知識結構的教學，這樣才有利于素養的生成、發育和成長. 對于本單元，基于教材的變化、教與學的現狀和學生的認知基礎，有必要對教學策略進行總結與分析.

1. 以一條邏輯線索統領三角函數教學

前面已經學習了函數的一般概念，并研究了指數函數、對數函數等，知道了函數的研究內容、過程與方法，以及如何用某類函數刻畫相應現實問題的變化規律. 實際上，這些都告訴我們本章的學習思路為：概念→運算→函數的圖象和性質→函數的應用. 知識結構如下圖所示.

第5.1節可以理解為預備知識. 第5.2節完整學習三角函數的概念，進一步由定義產生三角函數之間的基本關系（第5.3節的誘導公式），再從定義和運算出發研究三角函數的圖象與性質. 參照前面函數研究的基本套路，應該可以結束新知內容. 但是在實際生活中，由于三角函數模型常常具有一般性，需要采用從特殊到一般的研究策略，對誘導公式中涉及的特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數進行一般化處理，變為任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數計算問題，由和角公式自然就會生成二倍角公式. 一方面，通過擴充把運算算理一般化，打通公式之間的邏輯關系;另一方面，為一般類型的三角函數圖象和性質的研究提供算法保障. 然后，再進一步提出函數[y=Asinωx+φ]的圖象和性質的研究. 基于換元法，函數[y=Asinωx+φ]的性質已經可以解決，自然引出：函數[y=Asinωx+φ]的圖象能否通過變換由三角函數[y=sinx]（或[y=cosx]）得出？最后，再舉例說明三角函數在科學與生活中的基本應用. 在知識學習中遵循循序漸進的原則，滲透了由特殊到一般的思想，體現了知識生成、發展與應用的完整過程.

2. 以一個單位圓引出三角函數的學習內容

三角函數是刻畫周期性函數的重要模型，而圓周運動是一種常見的周期性變化現象. 要想用角的大小來刻畫圓周運動，自然就需要擴大角的范圍. 為了引出三角函數的概念，要用實數與角度一一對應，回到角度制定義的圓中研究. 不失一般性，選擇單位圓進行弧度制的定義，為概念的學習做好鋪墊. 再回到圓周運動中，可以比較清楚地把角與角的終邊和單位圓交點的位置建立一一對應關系，提出三角函數的定義. 由三角函數的定義出發，直接可以獲得誘導公式（一）. 結合圓的幾何性質，得到同角三角函數的基本關系公式. 進一步提出：如果從圓的對稱性出發，能否研究三角函數的對稱性？通過終邊與單位圓的交點關于原點對稱，獲得誘導公式（二）;通過終邊與單位圓的交點關于[x]軸對稱，得到誘導公式（三）;通過終邊與單位圓的交點關于[y]軸對稱，得到誘導公式（四）. 由此，實現了將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.

前面，學習了同底指數函數和對數函數的圖象關于直線[y=x]對稱. 如果點關于直線[y=x]對稱，可以得到誘導公式（五）;如果點先關于直線[y=x]對稱，再關于[y]軸對稱，可得誘導公式（六）. 沿著該線索，通過對描點法的改進，可以畫出[y=sinx，x∈0，2π]的圖象. 再結合單位圓上點的位置變化，可以研究周期性、奇偶性、單調性與最值. 正切函數的圖象也可以結合幾何性質，研究一個周期內的函數圖象.

回到誘導公式中，能否把出現的特殊角擴充到一般角？能否建立兩角和（或差）與兩個角的直接聯系？繼續回到單位圓中，利用圓的旋轉對稱性進行推理. 在單位圓中，也可以結合旋轉對稱和關于直線[y=x]對稱獲得和差化積公式. 如果再追尋勻速圓周運動模型在生活中的應用，還可以提出用單位圓研究函數[y=][Asinωx+φ]中參數[φ，ω，A]對函數圖象的影響.

用一個熟悉的單位圓，激起學生的認知沖突，引出角擴充的必要性;結合函數的概念提出弧度制的自然性;通過圓自身存在的對稱性探究得到多維的運算公式;利用圓上點的稠密性和運動周期性研究函數的圖象和性質;最后回歸到生活情境中，體現數學知識的應用價值.

3. 以一種整體換元方法貫穿典型例題教學

在誘導公式的內容中，新教材第193頁設置了例[5]. 注意到[53°°-α+37°°+α=90°°]，在計算中把[37°°+α]視為一個整體進行處理，強化化未知為已知的基本策略.

在學習第5.4.2節正弦函數、余弦函數的性質時，對于新教材第201頁的例2，在求函數的周期時，就采用了令[z=2x，z=12x-π6]，目的是將問題轉化為熟悉的研究函數[y=sinz]的周期的問題，起到化繁為簡的作用，從而進一步提出一般性的探究問題和結論.

針對后續的單調性與最值的教學，新教材在第205頁例3的第（2）小題和第206頁的例5中都采用了整體換元法. 通過對不同類型問題的歸一處理，提高學生的學習興趣，有利于學生抓住求解問題的基本路徑，將其內化為自己的學習能力. 在正切函數的圖象與性質的學習中，新教材第212頁的例6同樣利用整體換元法研究了定義域、周期和單調區間. 在三角恒等變換的教學中，也非常注重強化整體換元法. 例如，利用[Cα-β]推導[Cα+β];新教材第221頁的例5利用[4α=2 · 2α];新教材第222頁的例6利用[2A+2B=2A+B];新教材第225頁的例8第（2）小題令[α=θ+φ2，β=θ-φ2];等等. 這些都采用了整體換元法，突出已知和未知之間的關系，有利于直接建立聯系，找到解題的突破口. 在新教材第237頁的例1中，用“五點法”畫出函數在一個周期內的圖象，先令[X=3x-π6]，目的是將問題轉化為研究一個標準函數[y=sinX]的圖象，從而使圖象在一個周期內能完美呈現五個關鍵點，方便觀察、研究函數的基本性質.

不難發現，對于三角函數問題，從運算到性質，新教材幾乎都采用整體換元策略分析并解題，不斷強化通法意識，讓學生形成連續的思維方法，有利于實現教、學、評的一致性.

4. 以一類函數建模驅動素養教學

三角函數可以用來刻畫現實世界中的許多變化與現象，如潮汐變化、物體做勻速圓周運動的位置變化、物體做簡諧運動的位移變化、交變電流變化乃至月亮圓缺現象等. 新教材形象地呈現兩個齒輪的旋轉示意圖，提出旋轉方向不同，需要擴充角，也建構了擴充的基本線索：角度[+]旋轉的方向.

在利用單位圓探究三角函數的基本運算和性質后，新教材回應了前面的章引言，用古代筒車作為數學模型來研究勻速圓周運動，通過提出問題、優化變量、分析模型，建立模型中盛水筒[M]距離水面的高度[H]與時間[t]的函數關系式[H=rsinωt+φ+h]. 利用函數[y=sinx]的性質研究方法，可以研究該模型的基本性質，提出“如何用變換的方法研究函數[y=Asinωx+φ]的圖象”的問題. 通過展示現實生活中摩天輪的模型，引導學生明白如果做相似研究（游客距離地面的高度[H]關于轉動時間[t]的關系），可以利用本章學習的知識進行探究. 在本章的最后一節中，研究了彈簧振子的震動問題、交變電流問題、沙漏擺動問題、日常溫度變化問題、海水潮汐問題、人體節律變化問題、恒星亮度變化問題，以及地球公轉中太陽直射點的維度變化問題.

整個章節的設計，很好地體現了數學教學要強化“三會”的教學方法. 從數學眼光開始，發現兩個齒輪轉動的角度不同，方向也不同. 緊接著，在單位圓中，提出如何刻畫[α]與終邊和單位圓交點[Px，y]中的坐標[x，y]之間的函數關系，引出三角函數問題. 運用數學思維思考問題，形成研究路線，產生三角函數的概念、運算和性質. 再用數學語言表達問題，如三角函數涉及具體概念、運算公式和基本性質. 最終幫助學生運用所學知識分析、探究和初步解決實際問題，提高學生分析問題和解決問題的能力，發展學生的數學學科核心素養.

四、關于三角函數單元教學的一點思考

單元教學的“單元”可大可小. 對于本章內容而言，可以以“三角函數”整章為單位進行大單元教學，也可以采用大背景、大觀念、大任務引領下的小單元教學.

客觀來說，為了增強可操作性，提高教學效果，可以分解為許多小單元進行教學，如以“三角函數的概念”“三角函數的誘導公式”“三角恒等變換”“三角函數的圖象”“三角函數的性質”“三角函數的應用”等知識內容為主線開展單元教學;可以開展以方法為主題的單元教學，如“三角函數中的整體換元方法”“基于單位圓的三角運算”“利用單位圓研究三角函數性質”等;可以開展以數學思想或核心素養為主線的單元教學，如“轉化與化歸思想在三角函數中的應用”“數學建模素養在三角函數中的應用”“邏輯推理素養在三角公式證明中的運用”等;可以圍繞典型問題開展以探究活動為教學形式的單元教學，如“三角函數的單調性研究”“基于變換的函數[y=Asinωx+φ+B]的圖象探究”等. 選擇什么樣的主題開展單元教學，需要依據學情和實際教學進展有計劃地組織，真正服務于學生的學習和成長，實現高效地教與學.

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