建立幾何直觀　理解代數(shù)抽象

摘? 要：以一節(jié)高三向量微專題課為載體，以向量的幾何視角為主題，通過解讀一系列的高考真題，幫助學(xué)生梳理向量與常見幾何圖形之間的“文、式、圖”表征關(guān)系. 借助圖形解讀題意，掌握圖解法的一般步驟. 引導(dǎo)學(xué)生自主命題，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：向量;幾何視角;圖解法;幾何直觀

眾所周知，向量集數(shù)與形于一身，既是一種代數(shù)運(yùn)算對象，又是一種幾何研究對象. 它兼具代數(shù)的抽象性和幾何的直觀性. 因此，思考向量問題也就有了代數(shù)和幾何兩種視角，用它來研究問題可以實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合.

本文將呈現(xiàn)一節(jié)高三向量微專題課，以向量的幾何視角為主題，展現(xiàn)如何借助向量的幾何直觀來幫助學(xué)生解決抽象的代數(shù)問題，并提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，供大家研討.

一、一節(jié)高三向量微專題課

1. 提出問題，自然導(dǎo)入

師：同學(xué)們，我們知道向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，處理向量問題有代數(shù)與幾何兩種視角. 那么，一般在什么情況下使用代數(shù)視角，什么情況下使用幾何視角呢？

學(xué)生的回答不一，可以看出學(xué)生選擇的多樣性.

師：不知大家注意過沒有，我們在學(xué)習(xí)向量的表示時(shí)，知道向量有小寫字母[a，b，c]和大寫字母[OA，][ OB， OC]兩種表示形式. 那么，當(dāng)你看到用[a，b，c]寫成的題干，你覺得它是一個(gè)代數(shù)問題還是幾何問題？如果題干中全是[OA， OB， OC]表示，它又是哪一類問題呢？

生：看到[a，b，c]容易想成代數(shù)式運(yùn)算，看到[OA， OB， OC]肯定會先畫圖.

師：確實(shí)，向量的表示形式有小寫字母（數(shù)）與大寫字母（形）兩種. 若用大寫字母的表示形式替換小寫字母的表現(xiàn)形式，即令[a=OA，b=OB，c=OC]，那么題目就自然而然地用幾何方法解決，我們把這樣的技巧稱為“以大換小”. 幾何法是研究向量問題的一種強(qiáng)有力的武器，這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)這種方法.

2. 高考題源，探尋元素

師：向量的幾何法首要是畫圖. 下面我們就一起先來看看曾經(jīng)的那些圖形，找找那些熟悉或不熟悉的幾何元素.

模型1：靜態(tài)——向量加減，圖形運(yùn)算，定性分析.

例1? 設(shè)向量[a，b，c]滿足[a+b+c=0， a-b⊥c，][a⊥b].

教師用PPT投影一半題干，引發(fā)學(xué)生疑惑.

生：老師，題目沒有全部呈現(xiàn).

師：我是故意的. 同學(xué)們知道這部分題干所表達(dá)的幾何含義嗎？請用“以大換小”的方法構(gòu)造滿足上述關(guān)系的圖形.

生：令[a=OA，b=OB，c=OC]，如圖1所示.

師：幾何表達(dá)能讓我們知道抽象的代數(shù)式究竟表達(dá)何種意思，是抽象到直觀的必經(jīng)之路，所以也是處理向量問題的上佳選擇.

師生活動(dòng)：教師故意采用題干與結(jié)論分離呈現(xiàn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生重視將代數(shù)題干轉(zhuǎn)譯為幾何圖形.

教師用PPT投影剩余題干：若[a=1]，則[a2+] [b2+c2]的值為______.

生：正方形兩條邊長的平方與對角線平方的和，等于4.

師：很好，我們一起共同回顧一下剛才的處理過程.

第一步，以大換小，將題干所給的向量條件轉(zhuǎn)化為圖形，利用向量加、減的幾何表示，刻畫出了正方形這一幾何圖形，是定性分析.

第二步，有了[a=1]，模長的引入使得問題得以進(jìn)行定量的計(jì)算.

模型2：圓形——模長固定，定角定邊，圓來如此.

例2? 已知[a，b]是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量[c]滿足[a-c · b-c=0]，則[c]的最大值是? ? ? .

解：因?yàn)閇a-c · b-c=0]，即[CA · CB=0]，

所以點(diǎn)[C]在以[AB]為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.

所以[c=OC≤2].

例3? 已知[a，b]是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量[c]滿足[c-a-b=1]，則[c]的取值范圍是______.

解：因?yàn)閇c-a-b=c-a+b=1]，即[OC-OD=][DC=1，]

所以點(diǎn)[C]在以[D]為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示.

所以[c=OC∈2-1， 2+1].

例4? 已知兩個(gè)平面向量[a，b ][a≠0，a≠b]滿足[b=1]，且[a]與[b-a]的夾角為[120°]，則[a]的取值范圍是? ? ? .

解：令[a=OA，b=OB]，則[OB=1，∠OAB=60°.]

所以點(diǎn)[A]在如圖4所示的兩段圓弧上，外接圓直徑[2R=1sin60°=233].

所以[a=OA∈0， 233].

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)三道問題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，講解并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出三種常見的圓的向量表示形式（課堂過程從略）.

模型3：動(dòng)態(tài)——引入?yún)?shù)，激活圖形，動(dòng)感十足.

例5? 已知向量[a≠e，][ e=1]，若對任意[t∈R，] 恒有[a-te≥a-e]，則（? ? ）.

師：此題的關(guān)鍵是對題干條件的解讀. 隨著參數(shù)[t]的變化，向量[a-te]的模長發(fā)生了變化，且這個(gè)模長存在著最小值[a-e]，當(dāng)且僅當(dāng)[t=1]時(shí)取得. 請同學(xué)們畫出它的幾何圖形.

生：如圖5，隨著變量[t]的變化，點(diǎn)[B]在直線[OE]上運(yùn)動(dòng).

師：很好，平面向量中引入?yún)?shù)，激活了圖形，給整個(gè)問題以“動(dòng)感”，同時(shí)用[b=te]這一共線向量表征直線[OB]上的點(diǎn). 從圖中能看出什么幾何關(guān)系？

生：這個(gè)圖刻畫了直線外一定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)的距離以垂線段最短，當(dāng)且僅當(dāng)[AE⊥OE]時(shí)，[AB]取得最小值[AE].

教師用PPT投影例5的選項(xiàng).

（A）[a⊥e] （B）[a⊥a-e]

（C）[e⊥a-e] （D）[a+e⊥a-e]

師：顯然這個(gè)幾何關(guān)系就是C選項(xiàng)，圖窮匕見，一目了然.

例6? 已知平面向量[e1，e2]滿足[e1=1， e2=2，][e1 ? e2=1]，已知[a=xe1+e2，x∈R，b=λe1+1-λe2，][λ∈R]，若有且只有一個(gè)[λ]，滿足[b-a=1]，則[x]的值為? ? ? .

師：這道題的題干中出現(xiàn)了三個(gè)主要的向量表達(dá)式：[a=xe1+e2，b=λe1+1-λe2， b-a=1]，請逐一解讀.

學(xué)生解讀如下.

令[a=OA，b=OB，e1=OE1，][e2=OE2].

則[OA=xOE1+OE2]表示點(diǎn)[A]在過[E2]且平行于[OE1]的直線上.

[OB=λOE1+1-λOE2]表示點(diǎn)[B]與[E1，E2]三點(diǎn)共線.

[AB=1]表示點(diǎn)[B]在以[A]為圓心、1為半徑的圓上，如圖6所示.

因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)[λ]滿足[AB=1]，即只有一個(gè)點(diǎn)[B]符合條件，

所以直線[E1E2]恰與圓[A]相切.

所以[E2A=xOE1=1]，即[x=±1].

師：這道題中蘊(yùn)含了平行線、三點(diǎn)共線和圓等多種圖形，幾何元素豐富多彩.

3. 整理模型，總結(jié)方法

在課堂解題過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生整理學(xué)案上的表格.

[幾何元素（文） 向量表示（式） 圖形呈現(xiàn)（圖） 點(diǎn) [a=OA] 略 圓（直徑圓、標(biāo)準(zhǔn)圓、外接圓） [a-c ? b-c=0，c-a=r，a-b=r0，a-c，b-c=θ0] 略 線（所在直線、平行線、三點(diǎn)共線） [b=ta，a=xe1+e2，b=λe1+1-λe2] 略 ]

有了這組“文、式、圖”，就有了用圖形解讀向量條件和用向量語言描述圖形的“彈藥”，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的自由切換.

仿照教材中用向量法解決幾何問題的三個(gè)步驟，也可以得到借助幾何直觀解決向量問題的三個(gè)步驟.

第一步，以大換小，代數(shù)轉(zhuǎn)入幾何——向量的小寫字母表示變?yōu)榇髮懽帜副硎?

第二步，動(dòng)筆畫圖，探尋幾何元素——畫出每個(gè)條件所表征的幾何元素.

第三步，借助模長，定性轉(zhuǎn)向定量——在幾何元素之間構(gòu)建橋梁.

4. 開放編題，學(xué)以致用

有了這些幾何圖形，如何構(gòu)建起聯(lián)系它們的橋梁呢？求模長是非常有效的手段！教師繼續(xù)帶領(lǐng)同學(xué)們開啟編題之旅.

題目? 設(shè)向量[a，b]滿足[a=2， b=3，a ? b=3]，則[a-b]的值為? ? ? .

師：這個(gè)問題的幾何背景是什么？

生：這是一個(gè)兩邊長度與夾角確定的三角形，如圖7所示，用余弦定理可以求出第三邊長度為[7].

師：對，一個(gè)確定的三角形，求的是兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離. 能否在圖7的基礎(chǔ)上開放式地命制題目，適當(dāng)增加幾何元素，讓圖形復(fù)雜起來呢？

變式1：如圖8，添加一個(gè)單位圓.

師：請同學(xué)們思考如何表述以點(diǎn)[B]為圓心，1為半徑的圓？

生1：[BC=1]，即[c-b=1].

生2：[c-23b · c-43b=0].

生3：展開式為[c2-2b ? c+8=0].

師：同學(xué)們分別用前文表中的標(biāo)準(zhǔn)式和直徑式，及二次式來表示圓，特別是二次式表示圓值得大家關(guān)注. 添加了圓之后，可以求什么呢？可以繼續(xù)求距離，如求圓上動(dòng)點(diǎn)[C]與圓外定點(diǎn)[A]之間的距離，即求[a-c]的取值范圍.

生4：顯然是[7-1， 7+1].

變式2：如圖9，引入直線[OA].

師：請大家思考如何表述直線[OA]？

生：設(shè)[m=OM，a=OA， OM=tOA]，即[m=ta].

師：可以求直線[OA]上一動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離，如何表述？

生：求[m-c]的取值范圍.

師：恭喜大家命制出了2018年浙江高考真題.

已知[a，b，e]是平面向量，[e]是單位向量. 若非零向量[a]與[e]的夾角為[π3]，向量[b]滿足[b2-4e ? b+][3=0]，則[a-b]的最小值是（? ? ）.

（A）[3-1] （B）[3+1] （C）2 （D）[2-3]

解：如圖10，非零向量[a]與[e]的夾角為[π3].

因?yàn)閇b2-4e ? b+3=0]

所以[b-2e2=1.]即[b-2e]=1.

設(shè)[2e=OD]，表示以[D]為圓心、1為半徑的單位圓.

所以[a-b]的最小值即[AB]長度的最小值.

顯然，當(dāng)[DA⊥OA]時(shí)，[ABmin=AB=3-1].

變式3：如圖11，引入平行線[AN].

設(shè)[n=ON]，[a=OA]，[b=OB]，[ON=OA+tOB]，即[n=][a+tb].

師：不得了，命制出了2016年浙江學(xué)業(yè)水平考試試題.

已知[e1，e2]為平面上不共線的單位向量，設(shè)[a=34]，[b=e1+ke2 k∈R]，若對任意的向量[a，b]均有[a-b≥34]成立，則向量[e1，e2]夾角的最大值是（? ? ）.

（A）[π3] （B）[2π3]

（C）[3π4] （D）[5π6]

解：如圖12，設(shè)單位向量[e1]與[e2]的夾角為[θ]，[b=e1+ke2 k∈R]表示點(diǎn)[B]在平行線[l]上運(yùn)動(dòng).

[a=34]表示點(diǎn)[A]在以[O]為圓心、[34]為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)[OB⊥l]，即點(diǎn)[B]在點(diǎn)[H]處時(shí)，[OH=sinθ].

由[a-b≥34]，得[a-bmin≥34].

所以[ABmin=DH=sinθ-34≥34.]

所以[sinθ≥32，] 即[θ∈π3， 2π3].

變式4：如圖13，引入直線[AP].

若[Q]為[OB]的中點(diǎn)，則[OP=λOA+1-λOQ]，即[p=λa+1-λb2].

師：命制出了2017年浙江數(shù)學(xué)競賽真題！

已知向量[a，b，c]滿足[a=1， b=2， c=3，][0<λ<1]. 若[b · c=0]，求[a-λb-1-λc]所有取不到的值的集合.

解：如圖14，點(diǎn)[A]在單位圓上運(yùn)動(dòng).

設(shè)[OD=λb+1-λc，0<λ<1]，則知點(diǎn)[D]在線段[BC]上.

[a-λb-1-λc=OA-OD=DA]表示單位圓上的動(dòng)點(diǎn)[A]到線段[BC]上的動(dòng)點(diǎn)[D]的距離.

當(dāng)[OE⊥BC]，點(diǎn)[A]為[OE]與圓的交點(diǎn)[A]時(shí)，則[ADmin=61313-1];

當(dāng)點(diǎn)[A]為[CO]延長線與圓[O]的交點(diǎn)[A]時(shí)，[ADmax=3+1=4];

所以[a-λb-1-λc∈61313-1，4].

所以取不到的值的集合為[-∞， 61313-1?4，+∞.]

至此，相信大家也注意到了，解題時(shí)我們要將抽象的向量代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，而命題則恰恰相反，要將添加的幾何圖形包裝成向量的代數(shù)形式. 因此熟練掌握常見的幾何元素的向量表達(dá)方式，就可以命制出豐富多彩的向量問題. 當(dāng)然除了模長，數(shù)量積也常常作為考查的目標(biāo)式.

最后，以一首打油詩為本節(jié)課作小結(jié).

以小換大重塑向量條件，

幾何語言描繪圖中乾坤.

幾何直觀輔助代數(shù)抽象，

數(shù)形結(jié)合自是妙不可言！

二、教學(xué)反思

1. 設(shè)計(jì)有新意，解題有方法

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)牢牢抓住“數(shù)形結(jié)合，幾何直觀助力理解代數(shù)抽象”這條主線，構(gòu)思巧妙有新意. 通過比較向量代數(shù)與幾何的兩種表示方法，提供了“以大換小”的方法. 通過回顧高考真題，梳理出靜態(tài)、圓形、動(dòng)態(tài)三種模型，整理向量“文、式、圖”，為幾何法解題奠定了基礎(chǔ). 總結(jié)出借助幾何直觀研究向量問題的基本方法和步驟流程圖，讓求解向量問題有法可循.

在教學(xué)過程中，教師并不是簡單地給題、做題、講題，而是巧妙地將問題分階段呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對向量語言描述的題干的理解，加深對向量工具性的體會，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

2. 思維有啟迪，素養(yǎng)有滲透

本節(jié)課本著發(fā)展學(xué)生思維，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考的理念進(jìn)行設(shè)計(jì). 特別是最后從母題出發(fā)一變再變的命題環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生掌握命題的基本方法，自己編題解題. 當(dāng)陸續(xù)命制出高考、學(xué)考、競賽真題時(shí)，學(xué)生不僅非常興奮，而且洞悉命題奧秘，達(dá)到知其然而知其所以然的目的，使學(xué)生的思維提高到一個(gè)新的高度.

直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 向量的幾何視角恰是利用幾何圖形幫助學(xué)生理解代數(shù)抽象，解決向量問題的方法. 數(shù)學(xué)之難首先難在其抽象性，相比于代數(shù)的抽象，幾何的直觀在幫助學(xué)生理解問題時(shí)更具優(yōu)勢. 因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)有助于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

3. 教學(xué)有延伸，課堂有活力

事實(shí)上，對于高中階段常見的向量圖形，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》已經(jīng)給出了明確的答案：向量是描述直線、曲線、平面、曲面及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具. 一節(jié)課雖然不可能窮盡所有幾何元素的表達(dá)方式，但是只要抓住“以大換小”繪圖的基本原則，將每一個(gè)條件的幾何圖形描繪出來，那么必定能收到“圖窮匕見，一目了然”的效果.

幾何法上手容易，但真正熟練掌握還需要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，會畫圖，能畫圖，善畫圖. 在本節(jié)課的課堂上，教師充分放手給學(xué)生，讓學(xué)生逢圖必親自動(dòng)手繪制，不讓學(xué)生只做課堂的看客. 同一道題構(gòu)圖的方式也可能有多種，并非一次就能畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形，常常需要根據(jù)條件逐步修正. 教師日常畫圖演示也應(yīng)該實(shí)事求是，不宜每次都一步到位.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]曹鳳山. 年年考向量? 歲歲數(shù)與形：浙江省自主命題以來向量試題特點(diǎn)評析[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（4）：37-39.

[3]江君香，黃漢橋. 平面向量模長問題的解決策略研究[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2020（13）：27-29，31.

收稿日期：2021-07-07

作者簡介：顧予恒（1981— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.