一類微分方程格林函數的研究

于萍 聶東明

摘要：本文利用Riemann–Liouville分數階導數、積分的定義及其性質探討了一類帶有邊值條件的分數階微分方程的Green函數及其唯一解的存在性。

關鍵詞：分數階微分方程;Green函數;唯一解

1.AMS（2000）：34B18

基金項目： 安徽省教育廳自然科學基金項目（KJ2019A0875，KJ2020A0779），安徽省教育廳高校質量工程教學研究項目（2020jyxm0813，2020jyxm0804），安徽新華學院自然科學基金項目（2019zr005，2019zr018）.

本文將研究如下分數階微分方程：

其中： ， ， 是Riemann–Liouville 導數。本文利用Riemann–Liouville分數階導數、Riemann–Liouville分數階積分的定義及其性質探討了一類帶有邊值條件的分數階微分方程的Green函數及其唯一解的存在性。

定義1[3]： 連續函數 的 階Riemann–Liouville分數階積分定義如下：

其中， 為gamma函數。

定義2[3]： 連續函數 的 階Riemann–Liouville分數階導數定義如下：

其中， 為gamma函數， 。

引理1[3]： 設 ， ，那么 有唯一解

其中 為大于或等于 的最小整數。

引理2[3]： 設 ，若 ， ，那么

其中 為大于或等于 的最小整數。

通過以上定義與定理可推得如下結論：

定理1：假設 ， ，那么邊值問題

的解可表示為 ? ，其中 是邊值問題 （1）（2） 的 Green 函數，表達式為：

證明： ?我們可以應用引理2將 （1） 簡化為一個等價的積分方程

證畢。

參考文獻

[1]李庭樂，賈梅，劉錫平，等.分數階脈沖泛函微分方程積分邊值問題解的存在性 [J].吉 林 大 學 學 報（理 學 版），2020，58（2）：261-270.

[2]A. Alsaedi， R. Luca， and B. Ahmad， “Existence of positive solutions for a system of singular fractional boundary value problems with p-laplacian operators，” Mathematics， vol. 8， no. 11， p. 1890， 2020.

[3]郭大鈞.非線性泛函分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2015.

[4]梁興悅，周宗福. 一類帶有Stieltjes積分邊界條件的分數階微分方程邊值問題正解[J]. 應用數學，2020，33（4）：826-835.