高考考查球的常見方式與對策

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

高考考查球的常見方式有三種：以“截面”為載體進行考查、以“相接”為載體進行考查和以“相切”為載體進行考查.題型多為選擇題或填空題，難度基礎或中等.主要考查球的概念、球的截面的性質、球的體積和表面積的計算、球的切接問題等.以近幾年高考試題為例闡述如下.

一、以“截面”為載體進行考查

用一個平面去截球面，當平面過球心時，截面是球的大圓；當平面不過球心時，截面是球的小圓.解決這類問題的關鍵在于抓住球的截面的性質：(1)球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面；(2)球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2.

例1 (2013年新課標Ⅰ文)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為____．

分析由截面圓的面積可求出截面圓的半徑，再根據球的截面性質，列出關于球半徑的方程，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

圖1

∵α截球O所得截面的面積為π，∴截面圓的半徑r=1.

點評本題考查球的截面性質和球的表面積的計算等，求出球的半徑是解題的關鍵.

分析正確作出圖形，根據球的截面性質可得OK⊥⊙K所在的平面，在Rt△OCK中求出OC，再在等邊△OAB中求出球的半徑OA，問題得解．

解答如圖2，設C是兩圓公共弦AB的中點，則AB⊥OC，AB⊥CK，從而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角，∠OCK=60°.

圖2

∴球O的表面積等于S=4π·OA2=16π.故答案為16π.

點評本題考查二面角、球的截面的性質和球的表面積的計算等，正確作出圖形，求出球的半徑是解題的關鍵．

二、以“相接”為載體進行考查

若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球.類似地，若一個旋轉體的頂點和底面圓周上各點都在一個球的球面上，則稱這個旋轉體是這個球的內接旋轉體，這個球是這個旋轉體的外接球.這類問題統稱為相接問題，球面與幾何體的公共點就是接點.解決這類問題的關鍵在于抓住相接的特點，即球心到接點的距離等于球的半徑.

1.球與柱體

例3 (2017年新課標Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為( ).

分析由于圓柱內接于球，根據相接的特點及截面的性質知，連結圓柱上下底面圓心的線段O1O2的中點即為球心O，如圖，在Rt△OO2A中，求出圓柱底面半徑O2A，就能求出圓柱的體積．

圖3

解答如圖3，∵圓柱O1O2內接于球O，

∴O為線段O1O2的中點，且O1O2⊥⊙O2所在的平面，∴O1O2⊥O2A.

點評本題考查球與圓柱相接的特點，球的截面的性質和圓柱的體積的計算等，確定球心的位置，求出底面圓的半徑是解題的關鍵.

例4 (2009年全國卷Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____．

圖4

解答如圖4，設O1、O2為直三棱柱上下底面外接圓的圓心.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1內接于球O，

∴O為線段O1O2的中點，且O1O2⊥平面ABC，∴O1O2⊥O2A.

故此球的表面積為4πOA2=20π，故答案為：20π.

點評本題考查球與棱柱相接的特點，球的截面的性質和球的表面積的計算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關鍵.

2.球與錐體

圖5

∵圓錐AO1和圓錐BO1內接于球，

∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面，∴AB⊥O1C.

點評本題考查球和圓錐相接的特點，球的截面的性質以及圓錐高的計算等，確定球心的位置，得出OC=2O1O是解題的關鍵.

例6 (2014年大綱版)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( ).

分析由于正四棱錐內接于球，根據相接的特點及截面的性質，球心O必在正四棱錐的高PO1所在的直線上 且OA=OP.如圖，在Rt△OO1A中，根據勾股定理求出球的半徑，進而求出球的表面積．

解答設球O的半徑為R，PO1⊥平面ABCD.

圖6

∵正四棱錐P-ABCD內接于球O，∴O∈PO1，OA=OP.

點評本題考查球和棱錐相接的特點，球的截面的性質以及球的表面積的計算等，確定球心的位置，求出球的半徑是解題的關鍵．

三、以“相切”為載體進行考查

若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球.類似地，若一個旋轉體的底面和各母線都與一個球的球面相切，則稱這個旋轉體是這個球的外切旋轉體，這個球是這個旋轉體的內切球.這類問題統稱為相切問題，球面與幾何體的公共點就是切點.解決這類問題的關鍵在于抓住相切的特點，即球心到切面(或切線)的距離等于球的半徑.

例7 (2016年新課標Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是( ).

解答∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．

點評本題考查球與棱柱相切的特點和球的體積的計算等，根據已知條件求出球的半徑是解答的關鍵．

圖7

例8 (2006年江西)如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球(與四個面都相切的球)球心O，且與BC,DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2，則必有( ).

A．S1S2

C．S1=S2D．S1,S2的大小關系不能確定

分析由于球內切于四面體，所以球心到四面體各面的距離都等于球的半徑.利用割補法可以把四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC體積之間的關系轉化為表面積之間的關系，問題得解.

解答連結OA,OB,OC,OD,OE,OF，則VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD，

VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.

∵VA-BEFD=VA-EFC，∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC

又∵每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，

∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC，∴S1=S2.故選C.

點評本題考查球與多面體相切的特點以及多面體表面積的計算等，抓住相切的特點，找出表面積和體積之間的共有特征是解題的關鍵.

綜上可見，理解球的概念，掌握球的截面的性質、球的體積和表面積的計算公式以及球的切接問題的特點是解題的基礎；正確畫出圖形，選擇恰當的平面，把空間問題轉化為平面問題是解題的關鍵；如能掌握化歸思想、方程思想、數形結合思想等數學思想方法就等于拿到了開啟數學解題大門的金鑰匙.