初中數學輔助線生成的教學實踐與思考

高海軍

摘? 要：初中數學幾何推理是學生的薄弱環節，而有些幾何題需要添加輔助線，才能使題目中的隱含條件顯性化，學生才能推理順暢。添加輔助線是求解幾何題的常用方法，也是思維生成的難點和盲區。為了突破思維生成的難點，教師注重在題量和解題技巧上下功夫，供學生模仿理解，但是效果甚微。從淺層次來看，學生不能理解數學的本質，不能內化為自己的思維;從深層次來看，教師要培養學生學會思考，要善于借助轉化思想剖析輔助線生成的本質，提升學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：課后習題;輔助線;轉化思想;教學實踐

在數學教學實踐中，有很多幾何題不能直接反映題目所給條件與結論之間的關系，常常需要添加輔助線構成新圖形，需要把分散條件集中化，隱性條件顯性化，在已知與未知之間架起橋梁，將不熟悉的幾何圖形轉化為熟悉的幾何圖形加以解決。學生要明確如何添輔助線，為什么添加，有什么作用，這是解決問題的關鍵。如果能培養學生借助轉化思想，把不熟悉的知識轉化為熟悉的知識，深入思考輔助線生成的本質，就可以找到解決問題的本源，有效突破難點。

一、原題呈現

人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第十八章“平行四邊形”復習題第14題如下。

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F。求證：AE = EF。（提示：取AB的中點G，連接EG。）

此題是學生在掌握了第十八章全部內容以后，進行單元復習課時遇到的拓廣探索題。從內容上看，此題涉及面廣，以正方形為主要背景知識，考查全等三角形的性質與判定定理，以及等腰三角形、直角三角形的基礎知識;從解題方法上看，主要考查全等三角形的應用，通過角與線段的遷移，恰當添加輔助線，尋找橋梁，把已有條件和目標線段聯系起來，從而解決問題。但是，在實際教學中，這道題很多學生幾乎不會做，無從下手。筆者將教學策略分享于此，僅供參考。

二、解決策略

思考1：如何證明AE = EF？利用隱藏條件構建這兩條線段所在的三角形全等。

方法1：引導學生分析除了已給的條件外，能發現幾何圖形中還有哪些隱藏條件。不難發現，利用同角的余角相等，可得∠1 = ∠2。因為點E是BC的中點，所以用添加輔助線的方法取AB的中點G，連接EG，如圖2所示。由條件可證AG = EC，∠AGE = ∠ECF = 135°，依據“ASA”定理易證明△AGE ≌ △ECF，從而得到AE = EF。

【反思】構建∠1 = ∠2，AE = EF的全等三角形是關鍵。結合圖形，只能取AB的中點G，作輔助線連接GE，把隱性問題顯現出來。

方法2：如圖3，連接AC，結合圖形已有條件，引導學生分析還有哪些隱性條件。不難發現，利用等角的余角相等可得∠1 = ∠EFC。因為點E是BC的中點，所以添加輔助線，可以過點E作GE⊥BC，垂足為點E，交AC于點G，構造△AGE和△ECF全等。根據條件，學生容易證明∠1 = ∠EFC，∠2 = ∠3，GE = CE，依據“AAS”易證明△AGE ≌ △ECF，從而證明得出AE = EF。

【反思】合理添加輔助線，構造△AGE和△ECF全等，是解決問題的關鍵。

思考2：如何證明AE = EF？利用軸對稱變換構建等腰三角形。

方法3：由于直接證明AE = EF相等的條件不具備，則可以利用軸對稱變換的轉化思想，使△ECF ≌ △ECM。因此，構建如圖4所示的輔助線，連接AC并延長到點M，使CM = CF，連接EM。依據條件易證明∠1 = ∠EFC，利用“SAS”證明△ECF ≌ △ECM，可得EF = EM，∠EFC = ∠M，推得∠1 = ∠M，所以AE = EM，最后可證明AE = EF。

【反思】利用等角對等邊和軸對稱的基本性質，恰當、合理添加輔助線，幫助學生轉化思維，形成合情合理的邏輯推理。

方法4：如何證明AE = EF？進一步引導學生深入思考，利用旋轉變換構建全等三角形。以點B為中心，將△ABE順時針旋轉90°，連接EM，如圖5所示。由旋轉可得△ABE ≌ △CBM，可得AE = CM，BE = BM，∠1 = ∠3。因為∠MBE = 90°，所以∠BEM = 45°;因為∠1 = ∠2，所以∠2 = ∠3，所以EF∥MC。由∠BEM = 45°可得∠MEC = ∠ECF = 135°，所以ME∥CF，所以四邊形EMCF是平行四邊形，所以EF = CM，所以AE = EF。

【反思】利用旋轉和平行四邊形的性質添加輔助線，幫助學生構建熟悉的幾何圖形模型是解題的核心，能夠體現學生綜合運用所學知識解決問題的綜合能力。

三、教學實踐

從這道題的不同解法可以發現，之所以學生對這種問題掌握不扎實、理解不到位，一是因為學生對知識的遷移和內在轉化不到位;二是教師在平時的教學中，只注重教學方法，不注重學習方法;三是學生在平時的學習中，不善于思考、反思和總結，只重結果，不重過程。添加輔助線，把隱含條件顯性化，對于八年級學生來說本身就是一個難點。學生對此種方法的理解是一個螺旋上升的過程，教師要遵循學生的認知規律和教學規律，扎實有效地推進教學。

1. 單元知識整體融合

此題融合了三角形、軸對稱、旋轉、平行四邊形的重要知識。在單元復習課中，教師如果深入挖掘和研究題目，則可以從不同角度幫助學生復習整章知識，而且還可以提升學生分析問題和解決問題的能力。因此，在上單元復習課時，教師要認真備課，了解學情，深入挖掘教材復習題中蘊含的各章節知識點，使其融合，提高知識容量，做到精講精練，提高課堂效率。

2. 開展深度教學

此類問題在教材上涉及少，但是中考中時常出現，考查學生的數學思維品質。教師要把此類問題簡單化、一般化，深入淺出，總結方法，才能激活學生的認知思維，提高課堂效率。但是，在實際教學中，課堂教學有時往往是淺層的教學活動，表現出來的是教師一講會，但學生一做不會，本質是學生未能真正掌握問題的實質和根源。為了避免這種課堂現象的出現，就必須要深度教學，離不開教師深入研究教材、研究教學方法，挖掘題目本源，也離不開教師精心地組織引導學生深度思考。因此，教師要認真備課、深度備題，做到心中有數，也必須克服教學過程中表面、表層、表演的局限，引導學生深層、深刻、深度思考，經歷從理論到實踐的一整套思維方式和行為模式的轉化和訓練，深度教學才能促進深度學習的真實發生。

3. 落實實踐教學

實踐教學尤為重要。在平時的教學中，教師要精講精練，給予學生思考的時間，嘗試一道題用不同的解法。不同的學生有不一樣的思維模式，有復雜的、簡單的，教師要學會分析不同方法，引導學生選擇最優的解題思路，并不斷自我總結和反思，這樣才能內化為學生自己的知識，提升學生分析問題和解決問題的能力。

四、深度思考

如圖6，當點E在BC上（點B，C除外），其他條件不變，上面的結論是否仍然成立呢？試從“點E在BC上”“點E在BC延長線上”“點E在BC的反向延長線上”三種情況中任選一種情況，畫出圖形并證明你的結論。此題的變式就是激活學生的思維應變能力，如果前面提到的四種方法學生都能掌握，那么這道變式題就不會有很大困難。

【設計意圖】此題主要是讓學生深度思考，進一步體會運用從特殊到一般的數學思想，考查學生分析問題和解決問題的綜合能力。

五、結束語

授之以魚，不如授之以漁。在數學教學過程中，教師要善于一題多解，激活學生的思維，使每名學生都有不同的收獲。添加輔助線的方法不是固定的，除了關注題目中的顯性條件外，還要挖掘題目中的隱性條件，通過合理添加輔助線，大膽進行思維關聯與嘗試，從而提升思維素養，發揮學生的創造性思維，這樣才能做到課堂教學高效率，學生學習高成效，教學難點才能真正實現突破。

參考文獻：

[1]張雄，李德虎. 數學方法論與解題研究（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]朱毅航. 初中數學幾何證明題的解題思維培養路徑探析[J]. 理科考試研究（初中版），2016，23（3）.