一道三角函數問題多種解法的思考

柴華

摘? 要：文章通過對一道三角函數問題的多種解法進行思考，展示不同的思路，尤其是利用幾何的思想解決三角函數問題。

關鍵詞：三角函數;解題方法;解題思考

三角函數是高考試題中的必考題，并且屬于簡單題，尤其是選擇題和填空題更是必須拿分的題目。在處理時，學生應該盡量利用巧妙的解題方法，以節省一部分時間來解答其他問題。雖然高中數學教材有不同的版本，但是三角函數的知識點，以及高考的考查方面基本上都是相同的。下面以一道三角函數選擇題的解法為例進行研究。

題目? 已知[sinα+2cosα=3，則tanα=]? ? ? 。

（A）[22]? ? ? ? ? ? ? ? （B）[2]

（C）[-22]? ? ? ? ? ? ? ?（D）[-2]

分析：利用常規解方程的思想，由題目已知是三角函數的正弦[sinα]和余弦[cosα，] 求正切值[tanα]，想到三角函數的基本關系式[sin2α+cos2α=1，] 列出關于[sinα，cosα]的方程組，解出[sinα，cosα]具體的數值，然后利用三角函數基本關系式中[tanα=][sinαcosα，] 得到正切值，進而完成解答，具體過程如下。

解：由同角三角關系式及已知條件，聯立方程組[sin2α+cos2α=1，①sinα+2cosα=3，②]得[3cos2α-26cosα+2=0，] 即[3cosα-22=0。] 得[cosα=63。] 代入②式可得[sinα=33，] [所以tanα=sinαcosα=22。]

此種方法耗時較長，尤其是對解題準確度不高的學生來說，解二元二次方程組更是一項挑戰，并且有時還容易產生增根。下面就此題提供幾種簡單的解法，方便學生研究。

方法1：輔助角公式。

分析：利用輔助角公式，公式為[asinα+bcosα=][a2+b2sinα+φ，] 其中[sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2。]這種思路可以把不同名的兩個三角函數[sinα，cosα]（次數為1），化成一個角的一個三角函數，這樣在解決問題時就可以利用正弦函數[y=Asinωx+φ]的性質來解決，具體解題過程如下。

解：由[sinα+2cosα=3sinα+φ，] 其中[sinφ=][63，cosφ=33。] 由原式可得[sinα+φ=1。] 故[α+][φ=][π2+2kπ k∈Z，] [所以tanα=cotφ=22。]

此種方法為三角函數中解決問題的常規方法，尤其是解決三角函數相關性質時，常常利用輔助角公式把函數化為正弦型函數，解決相應的問題。此題中函數值恰好為函數的最大值[3，] 這里可以利用三角函數的性質得到結果。

方法2：向量法。

分析：所謂的向量法，就是把三角函數問題利用向量這個載體來解決。向量在高中數學中有很強的應用性，學習過它的運算公式，在已知坐標的情況下能夠得到向量的相應的知識點。此題就是把已知的問題看成是兩個點的坐標，利用向量的數量積公式，即[a=x1，y1，b=x2，y2，a · b=x1x2+y1y2，] 把相應的已知條件表達式表示出來。而此題中[OA=3， OB=][1，] 再由[a · b=abcosa，b，] 恰好數值上取到了最大值[3，] 是同向的特殊情況，最終把問題看成是兩個向量共線的情況。具體解題過程如下。

解：設[A2，1，Bcosα，sinα，] 所以[OA? · OB=][2cosα+sinα。] 又因為[OA ? OB=OAOBcosOA， OB=][3cosOA， OB，] 可得向量數量積[OA? · OB]的最大值為[3。] 故有[cosOA， OB=1。] 所以[OA， OB=0。] 所以向量[OA與OB同向。] 所以[cosα2=sinα1，] 即[tanα=22。]

這種方法是利用向量這個載體，利用數量積的定義及坐標公式得到想要的最值，這個最值恰好為向量共線的情況，進而得到答案。此題也是因為數值上的特殊性選擇了這種方法，用向量法可以看出，解題方便、快捷，這也是向量法的優點。

方法3：幾何法。

分析：幾何法就是通過建立坐標系，把幾何的基本元素和代數的基本研究數對應起來，利用幾何圖形的關系，把相應的代數式表示出來，這樣方便用形的語言解決數量關系。此題中把[cosα，sinα]看成是單位圓上的一個動點，把已知條件看成是一條直線，利用直線與圓的位置關系，得到相應的結果。具體解題過程如下。

解：在平面直角坐標系中畫出單位圓（如下圖），設[x=cosα，y=sinα，] 所以[2cosα+sinα=3，] 可以

看成直線[2x+y=3，] 并且圓心到直線的距離[d=-33=1。] 故單位圓與直線相切。由圖可知，直線的斜率[k=tanβ=-2。] 所以[tanα=][tanβ-π2=-cotβ=22。]

利用數形結合的方法解決問題，通過直線與圓的位置關系得到想要的結果。

方法4：平方法。

分析：略。

解：將原式平方，得[sin2α+22sinαcosα+2cos2α=]3。整理、化簡，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]進而可以化為完全平方[cosα-2sinα2=][0，] 得到[tanα=22。]

方法5：三角函數齊次式。

分析：所謂的三角函數齊次式是指已知三角函數的正切值，所求的關于這個角的正弦和余弦的分式（或者可以化成分式型），并且次數一樣的式子。做法是除以余弦的最高次數，進而把表達式化簡成關于正切的表達式。此題是齊次式的逆運算，利用上面平方法后得到關于正切的一元二次方程，解出想要的正切值。具體解題過程如下。

解：承接上面的平方，將原式化簡得到[sin2α+][22sinαcosα+2cos2α=3。] 將上式左邊除以1，再利用同角三角函數關系式，即[1=sin2α+cos2α，]得[sin2α+22sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3。] 再將左邊的分式分子和分母同時除以[cos2α，] 得[tan2α+22tanα+2tan2α+1=]3，化簡為[2tan2α-22tanα+1=0，] 即完全平方式[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

方法6：萬能公式。

分析：萬能公式是舊教材的一個公式，這里為了方便大家理解，先推導萬能公式。[sin2α=2sinαcosα=][2sinαcosαsin2α+cos2α，] 分子和分母同時除以[cos2α，] 得[sin2α=][2tanα1+tan2α。] 同理，得[cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=][1-tan2α1+tan2α。] 具體過程如下。

解：同樣地，先將原式進行平方、化簡，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]再利用降冪公式[cos2α=1+cos2α2，sin2α=1-cos2α2，cosαsinα=sin2α2，]得[1+cos2α2-2sin2α+1-cos2α=0。] 化簡為[32-2sin2α-][12cos2α=0，] 再利用萬能公式，得[32-2×2tanα1+tan2α-][12×1-tan2α1+tan2α=0，] 進一步化簡為[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

以上六種方法相對簡化，其中常規方法和后面的輔助角公式及齊次式法都是在三角函數中普遍應用的方法，在很多問題上都是通式、通法，有很強的應用性。而給大家展示的向量法和幾何法則是利用了與三角函數相關的知識解決，尤其是利用數形結合的思想解決，節省了很多時間，有很強的靈活性。但是，都利用此題數量上的特殊性問題來解決，雖然能夠節省時間，但還是比較特殊，筆者主要想通過這兩種方法引起學生的一些思考，起到拋磚引玉的作用，讓學生在解決類似問題上能夠簡便。

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