“一元三次函數的圖象和性質”教學紀實與反思

哈爾濱市第三中學 李 爽

教學內容：人教A版選擇性必修二“一元三次函數的圖象和性質”。

設計說明：

本課題之前，學生已經掌握了用導數工具，判斷函數的單調性、求函數極值、最值。在此基礎上引導學生運用數形結合、類比、特殊到一般等數學思想，并以GeoGebra軟件為平臺，在教師引導下對一元三次函數的圖象和性質進行探索與研究。本課體現了發現問題、分析問題、解決問題的研究過程，本著以學生為主體的教育理念，培養了學生主動探究的意識，激發了學生學習數學的興趣。

教學目標：

1.知識與技能

（1）通過本節課的學習掌握一元三次函數圖象；

（2）掌握一元三次函數的性質，會對性質進行簡單的應用；

（3）能用一元三次函數的圖象和性質解決有關問題。

2.過程與方法

（1）運用信息技術工具，讓學生通過直觀想象，由特殊到一般歸納出一元三次函數圖象形狀；

（2）運用導數進行數學抽象，分析研究函數的圖象和性質。

3.情感態度與價值觀

（1）本節課發展了學生的學科素養有：直觀想象、邏輯推理、數學抽象。

（2）本節課培養了學生實踐能力，探索精神，感受到科技帶給我們的新成果。

教學重點：（1）一元三次函數的圖象。（2）一元三次函數的性質。

教學難點：一元三次函數零點個數判斷。

教學過程：

一、一元三次函數的解析式

師：同學們，前面我們學過一次函數，二次函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，今天我們一起來探究一元三次函數的圖像和性質。

師：類比一元二次函數的解析式，你能給出一元三次函數的解析式嗎？

生：一元三次函數解析式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)。

師：強調 a≠0。

二、探究一元三次函數的圖像

師：高一我們學習冪函數的時候，學過一個特殊的三次函數，它是f(x)=x3。

我們知道它是奇函數且單調遞增，在黑板右側畫出圖像，請同學們思考一下，給a，b，c，d賦不同的值，三次函數的圖像形狀也和f(x)=x3圖像的形狀一樣嗎？

生：不一樣。

師：函數圖像形狀的不同，取決于函數的重要性質單調性，請同學們觀察一下，哪個系數對圖象的影響最容易研究啊？

生：d，改變的是圖像與y軸交點的縱坐標。

師：類比二次函數，我們知道系數a的正負影響的是開口方向，現在老師利用信息技術工具，讓系數b，c，d不動，看a取不同值時三次函數圖像形狀會有什么不同？

生：a>0時，圖像從左下到右上呈上升趨勢；a<0時，圖像從左上到右下呈下降趨勢。

師：現在老師讓a>0，改變系數c，觀察函數單調性有怎樣的變化，函數圖像形狀有幾種？讓a<0，改變系數c，函數單調性有怎樣的變化，形狀有幾種？

生：a>0函數圖像有兩種形狀，單調遞增和減增減趨勢。a<0函數圖像有兩種形狀，單調遞減和減增減趨勢。

師：只改變系數b，觀察圖像會發生怎樣的變化？

生：形狀不確定，和a，c有關。

師：通過以上變化過程，請同學們總結一下一元三次函數圖像的大致形狀有幾種？請一位同學在希沃白板上畫一下。

生：四種形狀。

師：實際上我們能看到，函數圖像形狀的不只由一個系數決定，那是否三次函數圖像的形狀只有這四種呢？靠什么論證呢？

生：利用導數工具。

師：（板書求導）導函數是二次函數，那么怎么討論呢？

生：按照系數a正負分類。

（a>0時，按照進行討論，老師計算機軟件顯示導函數圖像，導函數的正負決定了原函數的單調性，板書a>0和a<0兩種情況，按照進行討論的六種函數圖像可以讓學生畫a<0的情況。）

三、一元三次函數的性質

師：總結一下，一元三次函數圖像的形狀由a和確定。

（一元三次函數圖像探究完畢，師生總結一下一元三次函數圖像的單調性和極值情況。學生很輕松回答出，老師在PPT上演示。）

師：函數零點是高考的重點內容，請同學們討論一下，一元三次函數的零點個數都有可能是幾個呢？（讓學生小組討論，分類，給3分鐘時間。）

（教師和學生一起用信息技術工具分析圖像，得出三次函數零點情況。PPT演示。根據極值點的概念與零點存在性定理，用極值的符號判斷三次函數的零點情況，分析二重零點的不同，總結恰有兩個零點時，有一個零點還是極值點。）

師：現在我們利用所學，一起來做一道例題。

（給學生5分鐘時間。）

生：方法一，按照a的符號討論，畫出兩種情況的圖像，選D。

生：方法二，求導，求極值，談論a的正負，選D。

生：方法三，利用極大值點二階導小于0，選D。

…………

反思：

本節課是基于人教2019版新教材選擇性必修2一元函數的導數的課后題13題，利用計算機軟件和導數工具對這道拓廣探索題展開的探索和研究。

我校數學學科特色是研究如何將數學學科與技術學科在內容及課程安排上整合起來，優化課程資源，鼓勵學生進行探索和發現。本節課運用了GeoGebra軟件，相比幾何畫板，GeoGebra操作簡單，可實現的功能多。關于系數d對圖像的影響，應該保留原函數圖像，再改變系數d，直觀效果會更好。

我校數學課程建設要求每一節課都要落實數學學科核心素養。本節課發展了學生的學科素養有：直觀想象、邏輯推理、數學抽象。運用信息技術工具，讓學生通過直觀想象，由特殊到一般歸納出三次函數圖象形狀，并利用導數，進行數學抽象，分析研究函數的圖象和性質。

我校課程建設還要求結合學生年齡特點和學科特征，有機融入社會主義核心價值觀，中華優秀傳統文化等。本節課培養了學生實踐能力，探索精神及科技帶給我們的新成果。

本節課課堂容量大，且有一定難度，尤其在數學抽象方面體現明顯，但這也正是國家課程校本化的一個體現。我校一直進行分層次教學，和我今天一同上課的學生們展示了他們良好的思維能力，學習能力。關于例題，學生用三種方法解決，其中用二階導數解決問題的方法雖然快，但不提倡。第三種方法由于時間關系沒有給學生充分的時間去闡述，以后還是把時間交給學生。