數學分析習題課課程與教材建設的思考與探索

胡穎 高等教育出版社理科事業部

數學是一切科學的基礎。恩格斯曾指出：數學是研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學。這也就是說：數形結合是數學的本質特征。自然界中的事物都有“數”和“形”這兩個面，因此數學就成為物理、化學、生物等自然科學的基礎。2019年印發的由科技部、教育部、中科院、自然科學基金委共同制定的《關于加強數學科學研究工作方案》指出，數學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發現都與數學的發展與進步相關，數學已成為航空航天、國防安全、生物醫藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進制造等領域不可或缺的重要支撐。

本文所討論的“數學分析”是高等學校數學類專業中最重要的基礎課之一，也是歷時最長（一般為三個學期）、占學分最多的一門課程；它和高等代數、解析幾何等一起構成了其他后續數學課程（如復變函數、實變函數、泛函分析、微分幾何、概率論與數理統計、計算方法等）的必備基礎。作為數學類專業學生進入大學后所面對的第一門專業課，數學分析學起來是比較枯燥和晦澀的，但是數學分析的理論和方法對于數學思想的形成、理性思維的訓練、邏輯推理能力的提升等都起著特別重要的作用。如何掌握好數學分析課的主要內容并能熟練地應用其中的思想方法，對每個初學者來說都是至關重要的。由于數學分析中涉及很多不同于高中階段的數學語言（如ε-δ語言，ε-N語言等），很多學生在初學時會感覺比較困難，甚至無從下手。而習題課是課堂教學的延伸和應用，貫穿于數學分析教學的全過程；它既有助于更深入地理解和掌握數學分析課堂教學中的知識，又可以為學習新的知識打下基礎，起著承前啟后的作用。因此，習題課是數學分析課堂教學的一個重要組成部分，它是教與學、理論與實踐、知識與能力的結合。但是，隨著高等學校數學類專業人才培養方案的修訂，數學分析的教學時數進行了一定的壓縮，這也迫使這一重要的教學環節有著明顯的弱化。目前，習題課教學中常見的問題包括習題課教學時間被壓縮，甚至有的取消；對學生在習題中存在的典型問題、普遍性問題解決力度不夠；教師教學手段單一，不從學生的角度考慮，只是一味地演算習題，呈現“教師講，學生記”的態勢，對學生的思維能力、創新能力培養不夠等。針對當前存在的問題，原有的習題課教材已經不能很好地滿足教學實際，需要進行重新設計或者升級。筆者結合多年的編輯實踐經驗，以本人擔任策劃編輯的《數學分析習題課講義》（第2版）（謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊編）為例，從四個方面淺談對數學分析習題課課程與教材建設的思考與探索。

一、精心構建數學分析的內容體系

數學分析包含了豐富而深刻的內容，其中許多內容，在數學分析的教材與教學中是無法講透徹的，因為它們的證明或者需要用到超越數學分析課程如復分析、實分析、常微分方程、泛函分析等后續課程的知識，或者具有極大的難度，需要很高的技能和技巧。對于教材來講，因為需要追求體系的完整性與知識的循序漸進，所以現有的數學分析教材對這類問題往往是回避的，至多只是對簡化的情況做簡單的介紹。但是在教學中會遇到各種問題，特別是有些學生，他們思想活躍，他們問出的問題，往往教師會回答不出。如果教師以“這是后續課程的內容”而一推了之，學生不會感到滿意，而且這種做法對培養學生的學習興趣和探究能力都是非常不利的。事實上，對于許多這類問題與內容，如果能對其做適當的處理與簡化，有必要的話也可以先承認一些容易理解的結論，然后再做深入淺出的分析。

針對大眾化高等教育背景下的教學要求，習題課教材需要精心選擇數學分析的內容，不應該只是單純地對原教材的各章節內容做個總結，而需要把核心知識點進行自然、有機的串聯，在突出重點的同時，也盡量保持知識體系的完整性和系統性。《數學分析習題課講義》（第2版）就特別注重知識之間的串聯和完整性，如在第五章連續函數中除了對基本定理進行總結和細致的講解，還特意增加了一節介紹連續函數在混沌中的應用，這也是第二章介紹過的迭代生成數列的現代發展。這既是課堂學習的自然延伸，又是進一步學習的起跳板，有助于培養學生的探究能力。

二、精心選擇例題和習題

學習的目的在于應用。數學分析的基本原理和公式并不是很多，但是如果能嫻熟使用，卻可以發揮出神奇的威力。要做到這一點，僅靠課堂教學是遠遠不夠的，關鍵在于學生要勤于獨立思考，且做相當數量的習題。學生通過做題，不僅能深入、具體地理解和掌握數學分析的基本概念、理論和方法；還可以提升分析問題和解決問題的能力；進一步鍛煉刻苦探索的毅力，培養創造性的思維。熟能生巧，多講不如多練。

為了幫助初學者更好地掌握和應用數學分析知識，習題課教材在例題和習題的配置上需要做好數量和質量的平衡。《數學分析習題課講義》（第2版）按照難度的不同層次收錄了相當數量的習題，在例題和習題的選取中也力求創新，改變過去微積分學教程和吉米多維奇習題集一統天下的傳統格局；而且特別重視一題多解和前后呼應，并對解題中常見的典型錯誤進行分析。

除了基礎題的訓練，也應該注意難題的配置。一些較難的題，一時做不出是很正常的現象，學生要學會將問題牢記于心經常思考。如果學生能通過自己不懈的努力、花費一定的時間去探索并最終解決一道道難題，對其能力和自信心都有極大的提升。為了啟發讀者，《數學分析習題課講義》（第2版）一書中包含較多的注解，對一些較難的題給出提示，或者指出有關例題和習題的意義、與其他題之間的聯系等。

三、吸收先進的處理方法

任何一門課程的內容都不可能一成不變，雖然經過多代數學家持續不斷的努力，精雕細琢，數學分析已經建立了嚴格的理論基礎和邏輯體系，但是科學技術的發展也在不斷為數學基礎注入新的活力。所以數學分析的講授也應該推陳出新，同時在概念和方法的引入中注意采用現代數學的觀點，反映數學的發展形勢。落實到習題課教材，也需要吸取數學分析研究和教學中的新進展，對內容進行一些增刪和調整。《數學分析習題課講義》（第2版）對許多經典性的內容采取比較新穎的證明和分析方法，如用三分法證明柯西收斂準則；介紹上、下極限的三種不同視角以及它們在不同方面的應用等。

四、注重信息技術的應用

近年來，隨著計算機多媒體技術的高速發展，課堂化教學發生了很大的轉變，計算機輔助教學已經進入課堂。基于此，習題課教材中可以將一些利用計算機技術很容易實現但以前教學中比較基礎的內容（如函數作圖）做適當刪減，而對計算數學領域中需要使用的重要內容（如插值公式、近似求根等）加以強化。《數學分析習題課講義》（第2版）中有一節專門介紹了方程求根和近似計算，方程求根是個很有實際意義的問題，是計算數學領域中的重要知識點。

為了更加緊密地配合數學分析教材和教學，習題課教材中還很多值得注意的地方，如在內容的選取和難度把握上，如何照顧到相當廣泛的讀者群；如何吸取數學分析研究中新的進展，從而更好地培養學生的探究能力等。有句俗語“授人以魚，不如授人以漁”，一本好的數學分析習題課教材也需要努力做到授人以漁，而應該只是提供一些習題的完整解答；需要利用好習題課這一教學形式，有效地幫助學生理解數學分析內容和方法的實質，引導學生深入理解分析的思想，讓學生學會舉一反三、更快地熟悉數學分析的方法、更熟練地掌握數學語言。總的來講，如何提高數學分析習題課教材的質量，需要我們在今后的實踐中和廣大的教師不斷地思考和探索。