一類帶記憶項(xiàng)的非經(jīng)典熱方程的爆破問(wèn)題

吳少華,吳迎東,程 新

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

1 引言

在本文中,我們考慮如下模型:

在過(guò)去幾十年中,拋物型方程的研究取得了豐碩的成果,其中以美國(guó)科學(xué)院院士Avner Friedman為首的數(shù)學(xué)家,更是將這一領(lǐng)域的研究推向了極高的水平.在文獻(xiàn)[1]中,Friedman院士利用先驗(yàn)估計(jì)證明了拋物組解的可微性,隨后,他在文獻(xiàn)[2]中證明了,各種不同的積分增長(zhǎng)條件下,一般拋物組的唯一性定理.Mizohata[3]則用半群的方法給出了Cauchy問(wèn)題的存在性,Tychonov[4]則對(duì)熱傳導(dǎo)方程首先建立了Cauchy問(wèn)題解的唯一性.在Friedman的論文[5-8]中,集中解決了關(guān)于拋物型方程的自由邊界問(wèn)題,即

其中x=s(t)不是已經(jīng)給定的邊界,而是和u(x,t)一起尋找的自由邊界.在此基礎(chǔ)上,自由邊界的問(wèn)題得到較為充分的研究,Douglas[9]與Kyner[10]則發(fā)展了Friedman研究自由邊界的方法,考慮了非經(jīng)典的熱方程.

近年來(lái),學(xué)者們則開始研究關(guān)于熱傳導(dǎo)方程帶記憶項(xiàng)邊界問(wèn)題的研究[11,12],記憶項(xiàng)即帶有時(shí)間積分邊界條件.帶記憶項(xiàng)的自由邊界問(wèn)題,有核反應(yīng)堆動(dòng)力學(xué)相關(guān)問(wèn)題[13],人口流動(dòng)問(wèn)題[14].關(guān)于這類模型的局部(或整體)解的存在性,穩(wěn)定性,有限時(shí)間爆破都被Y.Yamada,P.Souplet和P.Vernole等人討論清楚了.

粘彈性模型中也研究了擴(kuò)散中的記憶項(xiàng)非牛頓流體中的力[15],還有涉及帶有記憶項(xiàng)的Fisher方程形式的模型的研究[16,17].在這里需要指出的是,分?jǐn)?shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)作為記憶算子已經(jīng)在D’Arcy定律和分子傳輸?shù)挠洃浶问綄W(xué)中進(jìn)行了研究[18],關(guān)于氣候模型中擴(kuò)散和反應(yīng),我們也引入了記憶條件[19].

有兩個(gè)原因,促使我們研究問(wèn)題(1.1).第一,在文獻(xiàn)[20]中,模型(1.3)

已經(jīng)被證明,所有非負(fù)解都會(huì)在有限時(shí)間爆破,爆破只會(huì)發(fā)生在邊界.

第二,在文獻(xiàn)[11]中,鄧鏗研究了帶記憶邊界條件的熱方程(1.4),證明了解的全局存在性與爆破性質(zhì).

式子中,p≥0,q≥0,and ?T=?×(0,T),其中?是上的有界區(qū)域,具有光滑的邊界??,是單位法向量,指向向外.初始值u0是一個(gè)在上非負(fù)連續(xù)的函數(shù).他的主要結(jié)論是：如果0≤p+q≤1,則(1.4)的解是全局的.另一方面,如果p+q>1,則所有非負(fù),平凡的解是在有限時(shí)間爆破的.

2 解的最值性質(zhì)

在這一節(jié),我們將證明一個(gè)定理,它將輔助證明定理4.1,這個(gè)定理刻畫的是解的最大值屬性,證明主要通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù).

定理2.1如果u(x,t)是×(0,T)(T<1)上的連續(xù)函數(shù),滿足

則對(duì)任意的?′???,我們有sup{u(x,t);(x,t)∈?′×(0,T)}<∞.

證不失一般性,我們認(rèn)為??是光滑的,且是C2的.

3 有限時(shí)間爆破

下面,我們通過(guò)格林函數(shù)方法構(gòu)造一個(gè)關(guān)于v(x,t)的表達(dá)式,然后利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理,我們可以證明該表達(dá)式是問(wèn)題(1.1)的局部經(jīng)典解.

定理3.2設(shè)GN(x,y,t,τ)是表示帶有齊次Neumann邊界條件的熱方程的格林函數(shù),則在問(wèn)題(1.1)的條件下我們有：

對(duì)較小的t是一個(gè)壓縮映射.

證根據(jù)文獻(xiàn)[21],令

定理3.3問(wèn)題(1.1)的非負(fù),非平凡解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

證后文中,在不引起任何混淆的情況下.我們使用ci或Ci(i=0,1,2,...)表示各種正常數(shù).如文獻(xiàn)[22]中所示,我們有

根據(jù)(3.2),(3.3)和詹森不等式得到

另一方面,根據(jù)(3.2),(3.3),我們有

顯然,k(t) 滿足

將(3.7)中的方程乘以k′(t)并從T到t積分,我們得到

對(duì)于足夠大的T,不等式(3.8)產(chǎn)生矛盾.

4 邊界爆破

將上式在(t,T)上積分,得到

取 ?′???,滿足d(??,?′)=?>0,對(duì)于這樣的 ?′,我們?cè)偃??′′???,滿足 ?′???′′,d(??′′,?′)≥?/3,d(??,?′)≥?/3,對(duì)??>0,下式成立

根據(jù)(3.2),(4.1),(4.2)得到

根據(jù)定理2.1,我們得到

對(duì)于某些C4>0,我們的ψ ∈C2(?′′) 滿足