一類含多奇性項的Grushin型算子方程解的漸近性質

張金國,楊登允

(江西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,江西南昌 330022)

1 引言

本文主要研究如下含多個奇性項和臨界指數(shù)增長的非線性次橢圓型方程的非平凡解在奇點處的漸近性質

此外,非線性項f:?×R→R是Carath′eodory函數(shù),且滿足

則Grushin梯度為?α=(X1,...,XN),由此Grushin型算子可表示為

顯然:當0時,該算子是橢圓型的,并且在流形{0}×上是退化的;當α是非負整數(shù)時,Grushin算子是H¨ormander型的.其它相關知識可以參見[1-5]等.

假設k≥2,對任意的i=1,2,···,k,定義

利用Moser迭代技巧,本文討論了方程(1.1)的非平凡解在奇點處的漸近性質.結論如下.

(i)存在常數(shù)C,ρi>0使得

其中Bd(ai,ρi)表示在距離d的意義下以ai為圓心,以ρi為半徑的球,且ajBd(ai,ρi),i,j=1,2,···,k,ij.

(ii)存在常數(shù)C>0使得

在歐式空間中,關于Laplace算子問題的相關結論可參考[7].利用Moser迭代和分析技巧,我們在第二節(jié)給出定理1.1的證明.對于退化的Grushin型算子和Carnot群上的次橢圓算子而言,該結論依然是新的.

2 定理1.1的證明

首先給出廣義Hardy型不等式(1.11)的證明.

不等式(1.11)的證明令ρ=min{d(ai,al),d(ai,??)},i,l=1,2,···,k,. 則Bd(ai,ρ)∩Bd(al,ρ)=?,其中Bd(a,ρ)={x:x∈?,d(x,a)<ρ}.由不等式 (1.7)和ψi<1(i=1,2,···,k) 可得

因此,不等式(1.11)得證.上述結論表明廣義Hardy型不等式的最佳常數(shù)可如下定義:

為了估計方程(1.1)的非平凡解在原點處的漸近性質,我們需要如下的Lp估計.

證明引理2.2的證明與[1,命題3.2]或[7,引理3.1]證明過程類似.此處略.

為了研究方程解在奇點處的漸近性質,我們將?做如下分解

定理1.1的證明設u∈是方程(1.1)的解.令

從而將u=d(z,ai)?βv帶入方程(1.1)的左邊,由(2.4),(2.5)式可得

結合f(z,u)=f(z,d(z,ai)?βv)及(1.1),(2.6)可得

在(2.7)式兩邊同時乘上d(z,ai)?β,可得

其中L,s>1在后面給定.將試驗函數(shù)φ代入(2.8)式得

由Young不等式,對充分小的ε>0,存在C1(ε)>0使得

從而

將φ的表達式代入(2.10)式右邊第一項中,利用函數(shù)f滿足的條件(1.3)可得

對于上式第一項利用不等式tq≤t2+(q∈[2,2?))可得

從而,存在C1,C2>0使得

最后,將φ的表達式代入(2.10)式右邊第二項中,利用μi的定義,中值定理,Young不等式和ψi<1可得

其中C3,C2(ε)是正常數(shù).

下面利用如下形式的加權Sobolev不等式[3]對(2.17)的右端項做進一步的處理:

因此,結合(2.17),(2.19)式,(2.10)式右端第二項滿足