基于Tan-Sun變換的不對稱磁信號檢測研究

王海寶，王 崢，龐振江，吳 超，高 陽，周嫻姊，譚廣軍

(1.北京智芯微電子科技有限公司，北京102200;2燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

Tan-Sun變換方法是一種應用于三相不平衡電力電子系統中的坐標變換方法，其能夠將三相不平衡交流量直接變換為2個恒定的直流量，簡化了對系統的建模分析與控制器設計[1-2]。基于Tan-Sun變換的同步相量測量技術無須采用濾波環節提取三相不平衡電壓的基波正序分量，通過實時地調節Tan-Sun變換矩陣的參數即可快速地檢測三相不平衡交流量的幅值、相位和頻率等信息。在三相變換器的控制中，通常每相電流通過各自的電流傳感器轉換為電壓信號，進行AD轉換或直接送給模擬電路使用[3]；而在6～35 kV的中壓輸配電工程中，三芯電力電纜的應用比例越來越高[4]。三芯電力電纜的A、B、C三相芯線一般兩兩相隔120°沿該電纜軸向圓周均勻分布，且三相芯線使用共同的屏蔽保護層。三芯電纜在正常工作時，三相電流平衡，利用安培定理可知，電纜外部等效電流為零，即電纜橫截面的總磁通量也為零。而傳統的基于電流互感器測量電流的方法主要是利用了電磁感應原理，電纜截面沒有磁通變化，也就無法感應出電流，因而就無法以電流互感器測量三芯電力電纜各芯線的電流。現有的電力電纜檢測大多是通過電纜運行特性的相關參數(例如電纜溫度[5-6]、局部放電特性[7]等)間接反映電纜運行狀態[8]。間接參數雖然可以一定程度上反映出電纜運行存在的缺陷或預測出可能發生故障的隱患，但是不能實時反應電纜的運行狀態，而且對于故障的位置或類型的判斷存在局限性。

隨著磁測量器件生產工藝和加工水平的提高，可以利用磁測量器件檢測電纜外部某點的磁通密度變化，從而獲取相應的電流信息，而且這種采用磁測量器件檢測電纜電流的方法逐漸受到電力行業的認可[9-10]。鑒于此，文獻[11]提出了一種利用三芯對稱電力電纜表面周向磁場與電纜各相芯線電流之間關系的數學模型，通過測量三芯對稱電力電纜表面周向磁場的變化，可實現三芯對稱電力電纜中各相芯線電流的有效測量。而文獻[12]提出實施上述方法時，需要保證電纜軸心與磁傳感器陣列中心重合，否則就會產生相應的偏心誤差，因此提出了一種磁傳感器陣列“旋轉法”，依據對磁傳感器陣列旋轉0°和180°兩種狀態，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實際位置以及所測量磁感應強度相互關聯的解析模型，以求得位置偏差與相應各相電流。但是該方法在實施時需要對磁傳感器陣列進行180°旋轉，對磁場進行兩次測量，以建立相應的方程組，這不僅帶來了操作步驟的增加，在旋轉操作和兩次測量中也容易引入誤差。

針對電力電纜中三相芯線位置非對稱所帶來的磁場強度不對稱情況的測量問題，本文采用了基于Tan-Sun變換的同步相量測量技術，其方法可將三相平衡電流產生的3個不平衡磁感應強度直接變換為具有恒定幅值的dq軸磁感應強度，進而可建立磁感應強度和電流之間的比例關系，從而為三相非對稱芯線電纜電流的測量技術提供一種可行的解決方案。

1 三芯電力電纜位置不對稱時的磁感應強度模型

三芯非對稱電力電纜的結構如圖1所示。3個磁傳感器以對稱的結構安裝在電纜表面，如圖中SA、SB和SC的位置所示，其到電纜中心的半徑距離為R。三相芯線的位置如圖中A、B和C的位置所示，由于無法保證其位置的對稱性，因此一般地可設A、B和C位置到電纜中心的距離分別為ra、rb和rc，與電纜中心和SA連線的夾角分別為θa、θb和θc。

圖1 三芯非對稱電力電纜結構Fig.1 Three-core asymmetric power cable structure

根據圖1可得，三相芯線位置A、B和C到磁傳感器SA位置的距離分別為

(1)

(2)

(3)

ABC三相電流iabc在SA處產生的磁感應強度分別為

(4)

(5)

(6)

式(4)～(6)所示三相電流在SA處磁感應強度的切線分量分別為

(7)

(8)

(9)

因此SA處切線方向的總磁感應強度為

BAn=BAan+BAbn+BAcn=

(10)

同理可得SB和SC處切線方向的總磁感應強度分別為

(11)

(12)

由式(10)～式(12)可知，由于三相芯線位置的不對稱性，即使三相電流是平衡的，3個磁傳感器所檢測到的磁感應強度之間卻是不平衡的。

2 基于Tan-Sun變換的同步相量測量技術

假設三相芯線位置是對稱的，當三相電流平衡時，則3個磁傳感器所檢測到的磁感應強度也是平衡的，且相位與三相電流相位相同，此時就可對所檢測到的3個磁感應強度采用與三相電流相同的Clarke和Park變換得到與dq軸電流相對應的dq軸磁感應強度，因此可建立磁感應強度與電流之間的比例關系，從而可根據所檢測到的磁感應強度計算得出三相電流的大小。

然而當三相芯線位置不對稱時，即使三相電流是平衡的，由于此時由磁傳感器所檢測到的三個磁感應強度之間是不平衡的，其不僅會存在幅值和相位上的不平衡性，而且還有可能存在零序分量，因此此時若仍對3個磁感應強度采用Clarke和Park變換的話，則所得到的dq軸磁感應強度將不再恒定，其會含有二倍頻分量，這樣就無法建立磁感應強度與電流之間的比例關系，也就無法通過檢測到的磁感應強度計算得出三相電流的大小。

為了解決由于三相芯線位置的不對稱性所帶來的磁感應強度二倍頻分量問題，本文將采用基于Tan-Sun變換的同步相量測量技術，將3個磁感應強度作為此方法的輸入信號，經過坐標變換之后可直接得到恒定的dq軸磁感應強度，因此可建立其與dq軸電流的比例關系，從而可根據所檢測到的磁感應強度計算得出三相電流的大小。

假設三相平衡電流產生的3個不平衡磁感應強度BAn、BBn和BCn，對應于式(10)～(12)，是含有零序分量的，則總可以經過如下環節將其零序分量消掉

(BAn+BBn+BCn)，

(13)

(14)

式中,Bnm為BAn、BBn、BCn平均意義下的幅值,φba表示B相與A相的磁感應強度相位差,φca表示C相與A相的磁感應強度相位差。

基于式(14)定向的Tan-Sun坐標變換矩陣為

(15)

若Park變換矩陣TPark基于磁感應強度BAn定向,則可表示為

(16)

根據式(14)～(16)可得

(17)

式中,Bdn能夠反映并檢測出BABCn的幅值信息,Bqn為鑒相器的誤差。當TTan-Sun和TPark中的各參數并不是其真實值,而只是其估算值時,則有

(18)

(19)

(20)

式中,Δθa、Δφba和Δφca分別為所對應參數的估算誤差,并記Δp=[ΔθaΔφbaΔφca]T。根據式(17)～式(19)可得鑒相器誤差Bqn為

(21)

式(21)為關于各參數估算值的三角函數表達式,為了能夠將調節誤差Bqn表示為與各參數的估算誤差呈線性的關系,可對式(21)在各參數的估算誤差為零處進行Taylor級數展開可得

(22)

本文將設計一種能夠消除各參數估算誤差間耦合關系的同步相量測量技術,其能夠在某個參數存在估算誤差時,只需對其所對應的參數估算值進行調節,而對其他參數估算值控制律的影響幾乎為零,這也就是說,某個參數估算值的控制律只與其本身的參數估算誤差有關,而與其他參數估算誤差無關,從而實現了對各參數估算誤差之間的解耦,因此能夠提高對同步相量測量的動態響應速度。

在實空間L2[0, 2π]上,f(x),g(x)∈L2[0, 2π],若定義內積公式為

(23)

則函數系

(24)

為L2[0, 2π]中的一個規范正交系。若僅考慮式(24)所示函數系中的前3個元素,則由其所構建的Hilbert空間的規范正交系與Euclidean空間的空間直角坐標系之間存在一定的對應關系。因此對于只含有3個元素的Hilbert空間規范坐標系,其各元素可分別對應于三維Euclidean空間的3個單位向量i、j和k。基于此,若令x=2θa,則式(22)所示Bqn可表示為如下向量形式

(25)

式中,a、b和c分別為Bqn中關于Δp的3個向量系數,其不僅有大小,而且還有方向。各參數估算值的控制律可寫為如下兩向量數量積的形式

(26)

(27)

(28)

(29)

式中,k1～k4均大于零。為了消除各參數估算誤差之間的耦合關系,實現對各參數估算值的解耦控制,v1和v4應分別與b和c垂直,v2應分別與c和a垂直,v3應分別與a和b垂直,只有這樣,其與Bqn的數量積結果中才會消除另外2個參數估算誤差項。此外,為使得v1～v4為單位向量,v1～v4應分別為

(30)

(31)

(32)

式中,符號的選取應保證各控制律是穩定的,即各控制律等號右側的參數估算誤差系數小于零。為滿足上述穩定性條件,經計算可得

(33)

v2=jsinφba+kcosφba,

(34)

v3=-jsinφca-kcosφca。

(35)

因此,各控制律可表示為如下兩向量數量積的形式

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

式中

Bdn=BAncos(θa+φba+φca)+

BBncos(θa-φba+φca)+

BCncos(θa+φba-φca)。

為了簡化控制律算法,而非一定要求各參數估算值的控制律均具有相同的調節時間,控制系數k3和k4的取值可按照3個磁感應強度平衡的情況進行選取,此時則有

。

(44)

若將Euclidean空間的向量v1～v4采用Hilbert空間的規范正交系式(24)進行表示,則式(36)～(39)所示控制律可寫為

(45)

(46)

(47)

(48)

基于上述分析和設計過程,當3個磁感應強度不平衡時,本文所提出的基于Tan-Sun變換的同步相量測量方法結構如圖2所示。

圖2 基于Tan-Sun變換的同步相量測量方法結構框圖Fig.2 Block diagram of synchronous phasor measurement method based on Tan-Sun transform

圖2中,當此系統穩定時,d軸磁感應強度Bdn即為恒定值,由式(17)可知,當φba和φca為定值時,其與3個磁感應強度的通用幅值Bnm有固定的比例關系。而根據式(10)～(12)可知,當三相電流平衡時,即ia=Imcos(ωt+φ)、ib=Imcos(ωt-2π/3+φ)、ic=Imcos(ωt+2π/3+φ)時,代入式中可得BAn、BBn、BCn的幅值與Im是成固定比例關系的,同時根據式(14)可知,BAn、BBn、BCn的幅值與Bnm也是成固定比例關系的,因此,Bnm和三相電流的幅值Im之間也存在固定的比例關系。當圖2所示的同步相量測量方法達到穩態時,其Bdn與Im之間也存在一定的比例關系,因此可直接根據Bdn的測量值確定三相電流的大小。

3 系統實現

實驗室所搭建的實驗平臺采用TI公司的數字信號控制器TMS320F28335作為主控芯片,采用3個Phidgets公司型號為1108_0的磁傳感器測量三芯電纜的磁感應強度,所測量到的磁感應強度經低通濾波處理后由三路數模轉換即最終得到了3個磁感應強度的實際數據,然后進一步進行數據處理。

對于某一特定的三芯非對稱電力電纜,當三相電流平衡時,其3個磁感應強度之間的幅值比和相位差是固定的,只有各磁感應強度的絕對幅值和頻率是可變的。因此本節首先對磁感應強度為穩態值時對其方法進行仿真驗證,并考察當3個磁感應強度的幅值同比例變化以及頻率發生變化這兩種暫態的動態性能。

電網頻率ω=100π rad/s,調節時間ts=22 ms。當處于穩態時,其仿真波形如圖3所示。圖3(b)中,d軸磁感應強度Bdn為恒定值,其與SA處所測得的磁感應強度幅值BAnm的比值約為1.283 9。從圖3(c)中可看出,頻率響應波形穩定在50 Hz處。

圖3 穩態仿真波形Fig.3 Steady state simulation waveforms

當設置BAnm在0.5 s時刻由0.5 mT突變為0.6 mT時,其仿真波形如圖4所示。從圖4(c)中可看出,頻率響應波形穩定在50 Hz處。圖4(b)中,當BAnm突變后,d軸磁感應強度Bdn也會隨之突然增大,但在幅值變化前后,其二者之間的比值維持不變,均約等于1.283 9,而BAnm又與Im成比例關系,從而說明Bdn與Im也成比例關系。若事先在某個穩態條件下能夠測量得到Bdn與Im之間的比值kB-I,則當電流大小發生變化時,可將所測得的d軸磁感應強度Bdn代入到公式Im=Bdn/kB-I中可求得三相電流的幅值大小。

圖4 磁感應強度幅值突變時的仿真波形Fig.4 Simulation waveform of a sudden change ofmagnitude of the magnetic induction intensity

當通過交流可編程電源設置頻率f由50 Hz突變為48 Hz時,其仿真波形如圖5所示。從圖5(b)中可看出,當頻率突變時,Bdn存在一小幅波動,并經過35 ms恢復到原來的穩定狀態。圖5(c)中,頻率的響應波形經過20 ms至新的穩定狀態,從而驗證了本文所設計的同步相量測量方法對于頻率擾動具有良好的動態響應性能。圖6給出了通過計算得到的三相電流穩態波形。

圖5 頻率突變時的仿真波形Fig.5 Simulation waveforms of a sudden change of frequency

4 結論

圖6 計算得出的三相電流Fig.6 Evaluated three-phase current waveforms