“強度量”的意義與認知規(guī)律

呂港麗 郜舒竹

【摘? ?要】量表示物質的“多少”與“大小”，在數(shù)學教育中常將量分為離散量與連續(xù)量，在歷史中量還可以分為廣延量與強度量，其中強度量的大小是由兩個廣延量的比來衡量的，對培養(yǎng)學生的量感有重大意義。兒童強度量概念的發(fā)展經歷了從單一維度過渡到多維度綜合考慮的過程，兒童在理解強度量時可能會存在認知困難：難以理解反比關系;難以理解不同量之間的關系;難以理解強度量的不可加性;難以從直觀感知層面過渡到反思抽象層面。對此，教師要建立“關注認知發(fā)展，培養(yǎng)關系思維;強調定量推理，培養(yǎng)量感;注重具身體驗，培養(yǎng)抽象能力”的教學策略，以促進學生對強度量知識的深度理解。

【關鍵詞】強度量;廣延量;量感;認知困難

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確提出，在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感……“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系?！盵1]在對數(shù)感的定義中多次提到數(shù)量、數(shù)量關系，但對“量”并沒有明確的界定。在數(shù)學中常將量分為離散量與連續(xù)量，而在歷史中量還可以分為廣延量與強度量，如速度就是一個強度量，速度概念在小學數(shù)學中處于難學難教的境況，而這與強度量所具有的獨特性有很大關系。在我國的數(shù)學教育研究中，很少涉及廣延量與強度量，因此有必要對國外相關文獻進行梳理，厘清“強度量”的意義及其認知規(guī)律的已有研究，以期為進一步研究奠定基礎。

一、“強度量”的歷史源流

古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle）在他的《范疇篇》中，將質與量看作是不同的范疇，二者之間有著本質性的區(qū)別。量（quantity）表示的是物質的“多少（multitude）”與“大小（magnitude）”，可以通過同一類型的較小的量相加得到，如長度、面積等;而質（quality）表示的是物質的屬性，不具有可加的性質，但有強度（intensity）的不同，如顏色、溫度等。到了中世紀，質的強度變化問題在自然哲學中引起了極大的爭論，并為牛津計算者提出質的量化奠定了哲學基礎，而后來世人對強度量（intensive quantity）與廣延量（extensive quantity）的區(qū)分也是從此衍變而來的[2]。

18世紀，德國古典哲學創(chuàng)始人伊曼努爾·康德（Immanuel Kant）通過部分與整體的關系來定義和區(qū)分廣延量與強度量。康德將廣延量定義為“部分的表征使整體的表征成為可能”的量，即當我們理解一個廣延量時，也理解它的部分與整體的關系，例如一個確定的空間區(qū)域，如果不理解空間的各部分，是無法理解空間的。相比之下，在理解一個強度量時，只把它理解為一個整體，不直接表示它的部分或整體結構，例如，不理解光的不同強度，只理解光的總強度[3]。

19世紀，英國哲學家羅素（Russell）在《論數(shù)與量的關系》一文中，根據(jù)量的變化與原始量是否為一個同類的量，將量分為廣延量與強度量，并給出兩種類型的量的特征。當一個量的變化與原始量是一個同類的量時，這個量是一個廣延量，如長度的變化就是長度本身，廣延量可以加或減，并且可以被分割成可計算的部分。而當一個量的變化與原始量不是一個同類的量時，這個量就是一個強度量，如溫度。強度量不可分，并且不能用數(shù)（number）來度量，必須通過感覺來比較判斷，當發(fā)現(xiàn)感覺的變化實際上與某種廣延量的變化有關時，可以用廣延量的相對大小來衡量強度量的大小[4]。

20世紀，瑞士著名教育心理學家讓·皮亞杰（Jean Piaget）在《兒童的數(shù)字概念》一書中解釋了廣延量和強度量之間的差異。他將廣延量定義為“任何易于實際相加的量級（magnitude）的名稱，例如質量或容量，由兩個物體組成的一個物體的質量是兩個原始物體質量的總和”，在廣延量情況下，整體等于部分之和。他將強度量定義為“任何不受實際相加影響的量級的名稱，例如溫度，15°和25°的水混合在一起不會產生40°的水”，在強度量情況下，整體不等于各部分的總和[5]。

因此，現(xiàn)在所說的廣延量相當于亞里士多德所說的“量”的范疇，具有可加性，而強度量相當于“質”的范疇，不可以直接相加減，但有強度的變化。最初人們對強度量的認識是基于感官層面的，通過具身的體驗來感知，如感知光的強弱、溫度的高低，到后來，人們對強度量的認識逐漸發(fā)展到抽象層面，利用與強度量相關的廣延量的大小來衡量，漸漸開始用數(shù)學化的方式更加清晰地定義強度量。

現(xiàn)代學者對強度量和廣延量的研究是以比例（proportion）研究為基礎的，在物理學中，強度量指一個系統(tǒng)（system）的比例保持不變的屬性，它不依賴于系統(tǒng)的大小或系統(tǒng)中物質的數(shù)量（amount），如一個系統(tǒng)的溫度與它各部分的溫度是一樣的。根據(jù)物理學的形式主義，將強度量定義為兩個廣延量的商，如密度=[質量體積]，密度、壓力和溫度是強度量，而質量、重量是廣延量[6]。起初對比例的研究大多是在廣延量背景下進行的，關于比例概念最有影響力的研究是皮亞杰和因霍爾德（Piaget and Inhelder）設計的“鰻魚應該喂多少”的實驗，這個實驗不是關于強度量的，但它為研究強度量推理奠定了基礎。參考皮亞杰對比例推理的研究，諾埃爾（Noelting）確定了三個強度量背景下的比例推理水平（參見表1）[7]。

皮亞杰（Piaget）和施瓦茨（Schwartz）強調了廣延量和強度量之間的根本區(qū)別，認為廣延量依賴于加法組合，強度量來源于比例關系。例如，兩飲料均為50毫升，都含有20%的橙汁和80%的水，將兩種飲料混合在一起將產生一種100毫升的飲料，由于體積取決于加法組合，它是一個廣延量;而混合飲料的濃度將保持20%的橙汁和80%的水，由于濃度來源于成分之間的比例關系，并保持恒定，它是一個強度量。

努內斯（Nunes）等人通過比較日常生活中可以探索的廣延量和強度量來描述二者之間的差異。他指出強度量是通過兩個變量之間的關系來衡量的，味道是一個強度量，檸檬汁的甜度可以用糖量和檸檬汁量之間的關系來描述。而廣延量是由數(shù)（number）度量的，該數(shù)表示度量單位（unit）可以度量該量的次數(shù)，彩帶是2.5厘米長，表示度量單位厘米，可以度量彩帶兩次半。度量操作反映了廣延量是以與其相同類型的單位度量的，長度以長度單位度量，體積以體積單位度量。相比之下，強度量涉及三個量，就檸檬汁的味道而言，有兩個廣延量——糖的數(shù)量和檸檬汁的數(shù)量，以及強度量味道本身，并且兩個廣延量和強度量之間的關系是不同的，制作檸檬汁時，用的糖越多，味道越甜，但用的檸檬汁越多，味道越不甜，因此，糖的量與甜度成正比，檸檬汁的量與甜度成反比。這表明，為了理解強度量，兒童需要理解量之間既有正比關系，也有反比關系。

綜上所述，人類對量的認識經歷了漫長的歷程，從最初亞里士多德提出質與量的范疇，到后來衍變?yōu)閺姸攘颗c廣延量，而對廣延量與強度量的認識和區(qū)分是幾個世紀以來的重大課題。從康德首次通過對部分與整體關系的感知來定義和區(qū)分強度量與廣延量，到后來，人們開始利用比例關系來描述強度量。廣延量與強度量可以從部分與整體的關系以及度量的角度來理解，廣延量表示可以由與其相同類型的度量單位直接度量的量，如長度、面積、體積、重量等，在廣延量的情況下，整體等于部分之和;而強度量是由兩個廣延量之間的比例關系來衡量的，如溫度、濃度、速度、壓強等，在強度量的情況下，整體不等于各部分的總和。

二、“強度量”的認知發(fā)展階段及認知困難

皮亞杰以及諾埃爾等人的研究表明，比例推理是在青少年時期才逐漸發(fā)展起來的，在這之前不考慮比例的加法比較。西格勒（Siegler）在研究概念內部以及概念之間的發(fā)展順序時指出，兒童強度量概念的發(fā)展可以劃分為三個階段（參見表2）[8]。

主導維度是指兒童在進行強度量推理時首先依賴的維度，但“主導”與“從屬”的地位并非保持不變，不同的刺激可能會導致二者發(fā)生轉變，并且在不同的強度量問題中，也有所差異。皮亞杰、努內斯等人的研究表明，對于大多數(shù)強度量問題，與強度量成正比的變量是主導維度。例如，“哪杯飲料更甜”，兒童在做判斷時，會認為“糖更多的飲料更甜”，在這里與甜度成正比的糖量是主導維度;而在速度問題中，“哪個行程更快”，兒童在做判斷時，會認為“時間越短的越快”，在這里與速度成反比的時間就成為主導維度。

兒童強度量概念的建構并不是一蹴而就的，而是經歷了從專注一個維度過渡到在有限情況下考慮兩個維度，再到綜合考慮兩個維度的過程，體現(xiàn)了兒童關系思維的不斷發(fā)展，也反映了兒童建構完善的強度量概念并不容易。那么兒童在理解強度量概念以及在解決強度量問題時，有著怎樣的認知困難呢？

（一）難以理解反比關系

由于強度量來源于比例關系，必然涉及與其成反比關系的量，而多位研究者發(fā)現(xiàn)，兒童在理解反比關系上存在困難。

科亞（Correa）在研究幼兒除法概念的發(fā)展時，通過分配糖果的實驗發(fā)現(xiàn)兒童很難想到商和除數(shù)之間的反比關系[9]，之后，科爾尼拉基（Kornilaki）在對離散量和連續(xù)量除法的研究中，同樣驗證了兒童在理解商和除數(shù)之間的反比關系上存在困難[10]。

霍韋（Howe）等人通過一項研究對影響強度量推理的因素進行了檢驗，該研究測試了963名7～12歲的蘇格蘭兒童，以比較問題和缺失值問題的形式解決42個強度量問題。其中在比較問題中，研究者發(fā)現(xiàn)對于大多數(shù)項目，操縱與強度量成正比例的變量比操縱成反比例的變量的問題容易，而有時，操縱反比例變量很容易處理，例如，判斷哪一個行程更快，反比例變量（時間）比正比例變量（距離）容易。而導致兒童理解反比關系存在困難的原因除了認知方面的因素以外，還主要來源于語言的使用。一是術語的選擇，例如，對兩杯檸檬汁進行提問，當問題是“哪杯飲料更甜”時，正比例變量是糖量，而當問題是“哪杯飲料更酸”時，正比例變量就變成了檸檬汁的數(shù)量;二是日常的單位化，例如，每單位重量的不同價格比每單位價格的不同重量更為常見（香蕉5元/千克比香蕉0.2千克/元常見），從而使價格更加顯著。這些例子表明對于大多數(shù)強度量，日常的語言習慣傾向于使正比例變量顯著，反比例變量不顯著。

因此，理解反比關系的困難會阻礙學生理解強度量，而導致學生難以理解反比關系的原因，一方面是認知因素，隨著年齡的增長，學生逐漸能夠克服困難，另一方面是語言因素，教師可以有意識地讓學生理解和區(qū)分不同語境下不同量之間的正比和反比關系。

（二）難以理解不同量之間的關系

努內斯（Nunes）通過控制廣延量和強度量問題的正比和反比關系，研究兒童對強度量的理解障礙。研究發(fā)現(xiàn)，兒童理解反比關系存在困難并不能完全解釋兒童對強度量問題的認知困難，在強度量問題和廣延量問題中，兒童都會在理解反比關系上存在困難，但在強度量問題背景下推理反比關系比在廣延量背景下推理反比關系更加困難。因此，相比于廣延量問題，強度量問題還存在其他的認知困難：兒童必須認識到不同的量之間的關系，例如在“哪種飲料會更酸”問題中，兒童會將反比關系看作是正比關系，而在關于成本和速度的問題中，他們會傾向于忽略其中一個量。

皮亞杰、諾埃爾以及西格勒等人的研究表明，兒童在建構強度量概念的過程中經歷了從單一維度主導到綜合考慮兩個維度的轉變，而在這個過程中，一開始兒童無法同時考慮三個量之間的關系。

（三）難以理解強度量的不可加性

如前所述，廣延量具有可加性，而強度量是不可以直接相加的，埃里克森（Erickson）在測驗兒童對熱量與溫度的認識時發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)兒童把熱量歸因于一種加減性質，即物體的溫度可以通過加減物體的熱量來改變[11]。類似的，學生可能不會將單價看成是一個強度量，“香蕉的單價是5元/千克，3千克香蕉多少元？”學生會將5元/千克看成是第1千克與5元相聯(lián)系，第2千克、第3千克也與5元相聯(lián)系，而3千克的香蕉的總價格就是3個5元的總和[12]。學生在解決速度問題的過程中也會出現(xiàn)將速度直接相加，將平均速度看作是速度和的平均數(shù)的情況。這些都反映出學生沒有理解強度量的不可加性，而傾向于將廣延量推理的加法思維延伸到強度量問題的推理上。

（四）難以從直觀感知層面過渡到反思抽象層面

皮亞杰在研究兒童的速度概念時指出，運動和速度不是被理解，而是引起長時間的反應，首先是感覺—運動（sensori-motor），然后是直覺（intuitive），最后是操作（operational），即從直覺規(guī)則逐漸過渡到邏輯操作。研究發(fā)現(xiàn)，5至6歲的兒童，根據(jù)停止點的順序來直觀判斷速度大小，兒童對速度最早的直覺是超越，依據(jù)可以看見的超車來判斷哪個小車運動得更快，到了9至11歲，兒童開始理解時間、距離、速度三者之間的比例關系，并且能在符號層面進行運算操作[13]。

亞伯拉罕（Abrahamson）指出學生學習強度量知識時認知困難的一個重要原因是從直觀感知過渡到反思抽象。學生帶著對強度量的直觀理解進入課堂，而這些理解是基于感覺的、整體的、不清晰的理解，主要表現(xiàn)在日?；顒雍涂谡Z表達中，如陡峭的山、車輛的速度、事件的可能性等，這些感覺可以幫助學生去學習強度量，但同時也會帶來阻礙。在學習強度量知識過程中，學生需要從抽象的符號層面來看待和討論這些量，以數(shù)學分析的形式來完成對強度量整體感覺的反思[14]。

三、“強度量”的教學

在我國現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中，廣延量和強度量的知識滲透在多個年級中，廣延量主要分布在“常見的量”中，如長度、面積、重量等，而強度量的學習主要體現(xiàn)在“數(shù)量關系”中，如單價、速度等。強度量作為由兩個廣延量的乘法比較而產生的新量，對學生來說，在理解上存在很多困難。在強度量的教學中，如果僅僅關注對計算公式的學習與運用，如“速度=路程÷時間”，將速度看作是運算的結果，而忽視了對不同量之間的關系的理解，可能會導致學生對知識本質的認識并不深刻，在解決相關問題時也會出現(xiàn)各種錯誤。因此，教師在課堂教學中，應采取相應的策略，促進學生對強度量知識的深度理解。

（一）關注認知發(fā)展，培養(yǎng)關系思維

兒童強度量概念的發(fā)展經歷了從單一維度主導到綜合考慮多維度的過程，從最初中心化的直覺規(guī)則，逐漸走向一種關聯(lián)，最終成功構建不同量之間的比例關系。教師應該關注學生的認知軌跡及可能會出現(xiàn)的認知困難，從而合理設置教學任務，明確教學重難點。例如，初次學習速度概念時，可以設置玩具小車運動的多種情境（起始點相同，運動的路程不同;運動的路程相同，時間不同;運動的時間相同，路程不同），讓學生在不同情況下去判斷哪輛小車運動得快，哪輛小車運動得慢。逐步引導學生發(fā)現(xiàn)路程、時間與速度之間的關系。通過設置正反問題（同一情境的快與慢），讓學生在不同語境下理解正比、反比關系，幫助學生克服困難，促進學生關系思維的發(fā)展。

（二）強調定量推理，培養(yǎng)量感

推理（reasoning）是人們學習和生活中經常使用的思維方式，也是數(shù)學的基本思維方式。湯普森（Thompson）提出了兩種類型的推理：定量推理（quantitative reasoning）和數(shù)值推理（numerical reasoning）。定量推理是對量的推理，而不依賴于特定的數(shù)值，這種推理涉及定量運算（quantitative operations）。定量運算與對情境的理解有關，是一種心理操作，例如，將兩個量進行加法比較會產生差異，將兩個量進行乘法比較會得到一個比或比率，定量運算創(chuàng)造了一個結構——創(chuàng)造的新量與原始量之間的關系，而數(shù)值推理用于評估一個量的大小。定量推理的發(fā)展十分重要，因為它是對真實情況進行數(shù)學化和理解量之間建立關系的基礎，這些關系有助于問題的解決和概念的理解，是一般化（generalization）和代數(shù)思維（algebraic thinking）的基礎[15]。因此，在強度量知識的教學中，應關注學生對量的推理，而不應僅局限于數(shù)值的運算，從量的角度理解情境中不同量之間的關系，從而培養(yǎng)學生的量感。

（三）注重具身體驗，培養(yǎng)抽象能力

人類對強度量的認識最初是通過感覺來比較判斷的，在進入課堂學習之前，學生也已經對強度量有了直觀的理解。而在課堂上，學生需要對這些已有的經驗進行反思，建構清晰完整的強度量概念。根據(jù)皮亞杰的研究，兒童對速度的認知是從可視的“超車”的動作現(xiàn)象開始的，隨后逐漸走向一種關聯(lián)，開始理解距離、時間與速度的關系，最后將速度進行量化，測量距離和時間，并對距離和時間進行定量運算，建立比率關系，構建精確的速度公式。因此，強度量的教學可以從現(xiàn)象開始，例如通過真實的運動情境來學習速度，讓學生首先能夠具身體驗到強度量所喚起的感覺，然后再開始學習如何用兩個廣延量的比來分析和描述這種現(xiàn)象，從抽象的符號層面反思自己的整體感覺，從而讓學生經歷從質性理解到定量推理的過程，培養(yǎng)學生的抽象能力。

總之，關于強度量的課程與教學研究，在我國應當說處于起步階段。關于強度量在數(shù)學課程內容中的分布規(guī)律，不同學段學生對于相關強度量的認知規(guī)律，以及對于強度量的課程設計與教學，都將成為進一步研究的問題。

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（首都師范大學初等教育學院? ?100048）