抽象、建構與生長

數學眼光的培養

“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”，這是即將頒布的新的“全日制義務教育數學課程標準”中提出的“三會”核心素養。其中，數學眼光的培養能幫助學生更好地在生活與數學之間搭建橋梁，幫助學生提高“從生活視角看數學、從數學角度看問題、從問題角度看發展”的綜合能力。那么，數學的眼光該如何培養與落地，原有的數學能力培養路徑該如何優化與升級，新方法和策略的實施該如何更好地適應學生的發展需求，這些問題都迫切需要厘清和有效解決。浙江省寧波市數學名師張紅波帶領其工作室成員，立足過去看未來，從抽象的數量關系、結構化的空間形式、人文性的綜合實踐等領域入手，通過抽象、建構與生長等策略的有效探索與實施，在繼承與發展中尋找促進學生能力素養變化與生長的力量。本刊特選取其中的部分研究成果，以期給思考與實踐中的一線教師以借鑒與引領。

【摘? ?要】引導學生逐步做到“會用數學的眼光觀察世界”是當代數學教育工作者需要關注的方向。無論從時代環境、未來人才培養，還是從當前教育改革、學生發展的角度看，數學眼光的培養一直都是數學核心素養落地的抓手，具有重要的價值和持久的生命力。發展學生的數學眼光，可以借助經驗的抽象、知識的建構和思想的生長等進行系統培養。

【關鍵詞】數學眼光;核心素養;培養

“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”，能夠體現人的數學素養水平。引導學生學會用數學看、用數學想、用數學表達是數學教育的重要目標。筆者以數學眼光為切入口，探討在新時代背景下，學生數學能力素養的提升之法。

一、數學眼光是有價值的

（一）時代環境的使然

知識雖然會隨著時代的發展而不斷地更新迭代，但基于知識學習而獲得的能力素養卻可伴隨人的一生。近幾年，中國基礎教育已逐步邁入“核心素養時代”。數學教學歷來關注學習的實踐與應用，數學日記、實踐調查、項目研究等都以能力素養培養為重心。隨著時代的發展，知識可以隨時“查閱”“調用”，知識掌握得多少不再是影響人發展的最重要的目標。對未來公民來說，以知識為基礎，以能力為依托，逐步構建起來的素養體系變得越來越重要。在數字化時代，能用數學的眼光看待世界，能從現實世界中發現數學，是時代發展的大勢所趨。

（二）教育教學的確然

經過多年的課改實踐，小學數學教育領域的核心目標逐步走向清晰聚焦。教師要善于引導學生用數學的眼光去觀察具體情境中的現象，用數學的語言對問題進行抽象，提出問題進行表征，并逐步啟發學生用數學的思維方式分析問題，用數學的方法解決問題。這正日益成為數學教學改革的關鍵路徑。

以“應用題”教學為例，從原有的側重于“數與代數”領域的十一類應用題專題教學，到滲透至所有領域的問題解決，“應用題”教學不再聚焦于某項單一能力的培養，而更側重于發展學生基于現實背景和真實問題解決的綜合能力，更致力于讓學生經歷從用數學眼光提出問題到用數學方法解決問題的全過程。

（三）學生發展的必然

培育數學眼光是提升數學思維品質的基礎。數學眼光指向的是讓學生獲得一種本領和素養，以不變應萬變，其本質是學生在現實世界中的數學實踐能力。

數學眼光就是“應用已知概念或已證為真的命題解決新問題，獲得新概念或者新原理，亦即揭示與建立新舊數學對象之間聯系的眼光”。當下學生學習中所倡導的深度學習，就是通過學習過程中情境、問題、素材、方式、評價的革新升級，幫助他們在學習過程中學會以數學為基礎進行思考。

因此，數學眼光是有價值的，教師要幫助學生學會用數學的眼光觀察世界。

二、數學眼光是可以培養的

（一）借助經驗的抽象，萌芽數學眼光

教師應引導學生經歷從具體情境中抽象出知識本質并將其符號化的過程，學生的數學眼光會在這一過程中萌芽、生長。

【案例1】從現象到符號，逐步抽象

“比大小”是學生初次認識表示大小關系符號的教學內容，人教版教材將其安排在一年級上冊第三單元“1～5的認識和加減法”中。

教材中的情境圖（第17頁）首先呈現散亂排布著的小猴和水果，然后呈現“猴”與“物”之間的對應關系。教學時教師一般會先讓學生借助直觀感知圖中有什么，然后引導學生按水果種類進行分類，統計出數量，再通過一一對應的方法建立“猴”與“物”之間的關系，最后通過觀察和比較發現這些數量之間的多少關系。在后續的教學中，通過數學符號“>”“<”“=”的學習，學生看“符號”即知“多少”，體驗到用符號表達多少關系的簡潔與便利，由此提升用一般化的符號表達具體情境與問題的能力。

如上過程中，學生觀察事物的眼光從隨意無序到聚焦且有條理，再到能用符號表達多少關系。學生在這個過程中逐步體會如何“用數學的眼光”看問題。

其實，小學數學中的許多概念都是先從生活中、活動中發現，再通過剝離其具體背景，用符號化的形式逐步建構起來的。

比如人教版教材二年級上冊“角的初步認識”的教學。教師出示教材第39頁例1中的圖，學生從熟悉的、簡單明了的、容易突出角的本質特征的物品或圖形入手，知道角是由一個頂點和兩條邊組成的。后續學生通過找角、折角、比角等一系列操作活動進一步認識角，深化對角概念的認識。最終學生在生活中的“角”和數學中的“∠”之間建立了關系并進行了聯結。

通過這樣先抽象再符號化的過程，學生就能從原生經驗中萌發出審視知識本質的數學眼光。

【案例2】從變化到規律，定向抽象

“商不變性質”是小學數學中的重要概念，人教版教材將其安排在四年級上冊“除數是兩位數的除法”單元進行教學。這一內容也是發展學生數學眼光的極佳素材。

教材由兩組算式引入（第87頁）。教學時，教師一般先引導學生觀察除數不變，商是如何隨被除數的變化而變化的，接著觀察如果被除數不變，商是如何隨除數的變化而變化的，最后引導學生從上往下和從下往上觀察整組算式，發現商不變的規律。

在這一學習過程中，學生首先會經歷從紛亂的變化中發現影響“變”與“不變”因素的過程，其次會體驗到鎖定某一個不變因素，再去觀察變化因素，就能很快地發現兩者之間的關系，從而使得觀察事物和現象的眼光更具選擇性和辨析力。同樣的方法在探究“小數的性質”“分數的性質”“比的性質”“等式的性質”的過程中，也有非常廣泛的應用。

在數學概念和原理的教學中，引導學生經歷分類、聚焦、辨析、發現等數學活動，能有效地幫助他們厘清現象與本質的聯系，辨析新舊對象的關系與差異，建構起逐層遞進的知識體系。在這一過程中，學生的數學眼光得以萌芽和生長，更具理性和客觀性。

（二）依托知識的建構，錘煉數學眼光

蘇聯著名教育家斯托利亞爾在《數學教育學》中提出“數學教學應該是數學活動的教學”，可以通過經驗材料的數學組織化、數學材料的邏輯組織化和數學理論的應用，在活動中發展學生的能力素養。學生在活動中所經歷的從表征到結構、從過程到方法的真實體驗，能有效地幫助學生基于運動、聯系、變化的觀點，研究現實世界中的數量關系與空間形式，錘煉與發展學生的數學眼光。

【案例3】從表征到結構，循序建構

“倍”是小學數學中一個重要的基礎性概念，它表示數量之間的一種關系，涉及兩個量之間的比較。倍的概念較為抽象，在學生的數學學習中起著承前啟后的重要作用。學生認識“倍”，要經歷兩個階段，這兩個階段都是培養學生數學眼光的契機。

第一階段是概念建立的初始階段。在這個階段的教學中，教師首先要引導學生通過對實物的分類計數、圈圖比較等方式，把抽象的“倍”與學生已經掌握的“幾個幾”進行溝通。隨后安排多次兩個量倍數關系的練習加以鞏固，幫助學生建立倍的直觀模型，讓學生學會用數學的眼光看“形”識“意”。

第二階段是后續的問題解決階段。這時教師要引導學生借助線段圖表達倍概念的本質特征，理解確定標準的“1倍量”的重要性，掌握分析1倍與多倍之間關系的方法和策略，讓學生學會用數學的眼光看“結構”、悟“方法”。

數學眼光的培養強調關聯，而結構化的知識模型的建構能有效幫助學生聚焦知識本質，形成對知識的深度理解。

【案例4】從表象到要素，精準建構

以“圖形的旋轉”的教學為例，在教學旋轉三要素前，學生對于旋轉雖然已經有了感性的認識，但他們的認識僅停留在“觀察運動后‘形’是如何變化的”這一層面上。如何引導學生用數學的眼光去觀察和發現“形變”的本質呢？可以在課堂實踐中安排這樣的對比。

出示線段AB分別繞點A、B順時針旋轉90°的過程（如圖1）。學生很自然地按旋轉角度、旋轉方向描述旋轉過程，但觀察后會隨之提出疑問，用語言描述兩次旋轉過程似乎是完全一樣的，但兩次旋轉真的完全一樣嗎？通過對比，學生領悟到旋轉中心和旋轉方向、旋轉角度是旋轉的三要素。

基于對比活動，突出旋轉三要素在運動變化中對圖形所產生的影響，有助于學生從核心要素的視角去觀察和發現問題，辨析關系，領悟本質。

由此可見，錘煉數學眼光的過程需要關注知識結構，更需要聚焦知識的核心要素。通過從表征到結構、從表象到要素的持續跟進，學生就能更自如地在生活的現實世界與抽象的數學問題之間進行切換，借助知識與經驗，完成數學抽象和直觀想象，建構數學知識網絡與體系，在現實問題中“看到”數學內涵，從數學內涵“想到”現實案例，為數學眼光的發展注入源源不斷的知識活水。

（三）回歸思想的生長，發展數學眼光

數學活動中研究的對象、需要解決的問題，往往與學生已有的數學認知結構相關。學生要建構新概念、掌握新方法，必須厘清知識之間的區別與聯系，拓展知識網絡體系，學會用運動、聯系、發展的眼光看問題，建立數學整體觀。

【案例5】從散點到系統，凸顯內涵

“面積”是小學數學中的重要概念。在不同圖形面積的教學中，圍繞著求不同圖形面積的問題，教師要教學測量、剪拼等方法，同時也要在教學中滲透轉化、推理、建模等思想。

圖形的面積教學在各年級教材中的安排線索如圖2所示。

不難發現，面積教學體系中，在知識內容、推導方法以及所滲透的數學思想等方面，不同圖形之間既有不同之處，又有內在聯系，需要教師統籌全局、整體把握。

具體來說，長方形、正方形面積公式的推導始于測量，重點解決圖形中包含有幾個面積單位的問題。平行四邊形面積公式的推導，借助剪拼等方法，解決“不完整的單位面積如何通過拼組轉化為完整的單位面積再進行計算”的問題，從測量到剪拼方法的運用，既是方法的一次拓展，也是提升解決問題能力的抓手。三角形和梯形面積公式的推導主要利用其與等底等高平行四邊形面積之間的關系，進行推理和計算，發展學生在運動和變化中發現知識本質的能力和素養。圓面積公式的推導過程綜合運用了之前學習的圖形面積計算方法，進行等積轉化，不僅需要觀察、對比、分析，還需要想象。

由圖形面積的教學可見，隨著圖形復雜性的不斷增加，學生在圖形面積的學習過程中，數學知識、數學方法和數學眼光等方面逐步提升，要求教師總體把握，有序建構。在這一過程中，學生的數學眼光得以錘煉和發展，更具發展性和系統性。

【案例6】從方法到思想，感悟精髓

“雞兔同籠”是小學數學中的經典內容，不同的教師會有不同的教學路徑和方法。解決這一問題常見的方法有假設法、列表法、圖示法、面積轉化法等等。雖然用于問題解決的方法形式多樣，學生在運用不同方法的學習過程中，能體驗到假設—調整策略的應用奧秘，能巧妙地將表格、圖示、面積運用于“以形解數”的策略和技巧，但這一教學內容最核心的價值是讓學生領悟到，當變量復雜無法直接解決時，如何通過控制變量尋找解決問題的路徑和方法。在解決問題的過程中，有了多種方法的碰撞，多樣數學思想的領悟，學生才能逐步發展系統性強、結構性強、關聯性強的數學眼光，進而提升自身的數學核心素養，逐步形成適應社會發展所需要的必備品格和關鍵能力。

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（寧波教育學院? ?315000）