從“測”到“策” 由“法”及“理”

葛敏輝

【摘? ?要】通過有關“小數除以整數”知識的學前測查，分析與解讀學生在計算時的表現及理解狀態，構建算理理解的五個水平層次，并提出教學建議：重視學生經驗的激活和比較，加強方法間的關聯和優化，注重基本方法的歸納與數學原理的感悟。這些做法能夠為設計和教學“小數除以整數”提供依據與思路。

【關鍵詞】前測;算理;理解;建議

一切教學活動的起點與終點都是學生。了解學生的現狀是教師進行有效教學的關鍵所在。圍繞“小數除以整數”設計調查問卷，隨機抽取了某校兩個班學生（88位）進行問卷調查，并基于調查對學生學習情況進行分析。

一、對學生獨立計算“11.5÷5”的情況分析

為了解學生能否在學習小數除法前，根據原有的知識經驗，獨立解決簡單的小數除法計算問題（如果能解決，是采用什么方法解決的;如果不能解決，他們遇到的主要困難是什么），對學生進行了“結合情境解決計算問題”的測試。測試題目如圖1。

測試后對學生的解答情況進行整理、統計，得到結果如下。

1.學生基本都能根據情境正確列出算式并得到正確答案。測試中，所有學生都能夠正確列出算式“11.5÷5”。88個學生中，能正確計算出答案的學生有86人，約占總人數的97.7%?？梢?，學生在正式學習小數除法的計算方法前，已經有相當充足的認知基礎。

2.學生解決“11.5÷5”的方法較為豐富。針對絕大部分學生都能得出正確答案的現狀，繼續對學生計算“11.5÷5”時能想到的方法進行統計，發現只能用1種方法計算出答案的學生僅占被試人數的12.5%，能用2種方法計算的學生有52.3%，用3種方法計算的學生有27.3%。還有5名學生能夠用4種或5種方法得到答案。學生用到的具體方法及采用不同方法的人數占比見表1。

從以上統計整理中可見，學生獨立計算“小數除以整數”，已經能呈現出多樣化的方法。但同時可以看出，情境對學生的計算起到了重要的支撐作用，列豎式解決問題時很多學生對于余數的處理問題存在困惑。

這提示教師可以基于學生的多樣算法展開教學，但需要借助情境幫助學生理解算理，強化“分的過程”和對“余數處理”的思辨與歸納，促進學生對算理的深入理解。

二、對學生列豎式計算“小數除以整數”的情況分析

為了解學生能否在學習小數除法前獨立列豎式計算，在進行不同類型算式的列豎式計算時會有什么差異，在列豎式計算時會出現什么疑難點等問題，對學生進行了“列豎式計算”的測試。測試題目如圖2。

測試后對學生的解答情況進行整理、統計，得到的結果如下。

1.絕大多數學生都能通過列豎式得到正確答案。以上4道題目，75%以上的學生能夠通過列豎式得到全部正確答案（列豎式的方法不一定完全正確）。雖然第③題（要除3次）、第④題（除數是兩位數）列豎式時相對要經歷較復雜的過程，但這兩道題的單題正確率也都在80%以上?？梢姡瑢W生列豎式計算小數除法已有較好的學習基礎。

2.學生對“除到小數部分時要不要保留小數點”存在疑慮。在測試中發現，學生對小數除法列豎式計算過程中要不要保留小數點存在不同的認識。約30%的學生是保留了小數點進行運算的（如圖3）。保留小數點與不保留小數點，看起來只是一個點的不同，但本質上前者是用“數”來除，后者則是用計數單位的“數量”來除。

這提示教師在教學時，要創設情境讓學生先經歷“分的過程”，在建立深刻表象后，再放手讓學生獨立嘗試列豎式計算;要加強對豎式中疑惑點的思辨，利用“分的活動”辨析“小數點是否要保留”，從而建立“分的過程”與豎式間的對應關系。同時也要加強不同類型的練習和對比，通過比較異同來促進學生對算理的理解，對算法的掌握。

三、對學生豎式計算過程中的理解情況分析

為了解學生是否理解豎式計算的過程，理解水平如何，學生能不能自主發現“小數除以整數”與“整數除法”之間的關聯等問題，在學生完成問卷后，教師根據答題情況選擇部分能正確列豎式計算的學生進行了訪談。通過訪談，進一步了解學生對豎式計算過程中每一個步驟所表達意義的理解情況。

1.多數學生并不理解豎式中每一步表達的意義。訪談發現，絕大多數學生之所以能列豎式解決問題，多是參照“整數除法”的計算方法遷移而來的。當問及豎式中每個數的意義時，他們缺乏對計算意義本質的理解。

如當教師向能正確列豎式計算96.8÷4（如圖4）的學生提問“豎式中的16表示什么意思”時，60%以上的受訪學生回答“不知道”。問到“豎式中第一步計算后，得到9-8=1，下面為什么會變成16”時，一半以上受訪學生的回答是“6落下來就變成了16”。同樣的，當問到“最后一步計算時這兩個8分別是什么意思”時，學生的回答基本集中在“第一個8是上面落下來的，第二個8是2×4得到的”。

這說明多數學生雖然能夠得到正確的計算結果，但對豎式意義的理解還停留在程序性理解水平。

2.多數學生并不清楚為什么要去掉小數點進行計算。訪談表明，這些能夠正確列豎式計算的學生，雖然在列豎式解決問題的時候去掉了小數點，但他們中的大多數并不清楚為什么要去掉小數點進行計算。如教師呈現一份學生作業（如圖5），提問：“有人在豎式計算時是像這樣保留著小數點進行計算的，你計算時為什么都是去掉小數點的？”80%以上的受訪者的回答都是“不知道”。如果教師繼續追問：“你覺得這種做法對嗎？也就是說，點上小數點計算可以嗎？”幾乎所有的受訪者都回答“也可以”。這說明這部分學生對在列豎式時點不點小數點這個問題同樣存有疑惑。

3.學生難以自主發現“小數除以整數”與“整數除以整數”的算理的共同點。為了解學生是怎么理解“小數除以整數”與“整數除法”這兩類除法的內在關聯的，教師對受訪學生提問：“你覺得今天做的小數除法與以前學過的整數除法有什么相同點？”學生的回答大致有兩類。第一類認為它們的算法是一樣的，理由是可以用商的變化規律，將被除數擴大，使小數除法變成整數除法。也就是說，小數除法可以轉化為整數除法。第二類認為它們在計算過程中的部分步驟一致。比如認為小數除法和整數除法都是從最高位算起，除完有余數都是和下一位合起來一起除的規則相同。對這類學生進一步追問“為什么規則是相同的”，學生基本都無法給出合理的解釋。

由此可見，即便學生對算法能夠正確操作運用，但對算理的理解水平還存在較大的差異。

四、對學生小數除以整數的算理理解水平分析

基于上述分析，研究團隊根據測試和訪談情況，基于SOLO分類理論對學生的算理理解水平進行了深入的層次分析，將學生對小數除以整數的算理理解水平劃分為5個水平層次。

水平0：無解題思路——不能獨立得出小數除以整數計算的答案。

水平1：能利用經驗正確解答——如能借助“元、角、分”等生活經驗幫助計算，得到正確的結果，并能表達思考過程。

水平2：能用多種方法正確解答——能在原有生活經驗的基礎上進行方法改造，能用不同方法找到計算問題的答案，并能說清計算的過程。

水平3：能建立方法關聯——能對比自己或他人使用的不同方法，并發現這些方法之間存在的關系，形成具有一定關聯的結構。

水平4：能抽象出基本算法的算理——提煉出小數除以整數的豎式計算基本算法，并理解算理，形成對“整數除法”的融通。

研究團隊對這5個水平層次進行了賦分（0～4），對照學生的答題解析進行了整理、統計，具體情況見表2。

從上表中可以看出，學生對算理的理解達到水平4的學生僅有10人（11.4%），總平均分只有2.02/4，整體處于較低的水平。

這說明多數學生沒有理解小數除法與整數除法的算理一樣，豎式的每一個步驟都是在記錄“計數單位數量的等分”，這是學生理解上的難點。

五、基于前測的教學建議

前測與訪談的結果提示我們，在教學“小數除法”的豎式計算方法時，不能僅僅停留在程序性操作的教學層面上，更要關注通過多種活動引導學生真正理解豎式中的步驟是在記錄計數單位“數量”的等分過程。為更好地進行這一內容的教學，提出具體教學建議如下。

（一）重視學生經驗的激活和比較

雖然看起來大部分學生都已經會列豎式計算了，但學生往往只知其然而不知其所以然。利用生活經驗，結合現實情境讓學生經歷“分”的過程，對學生理解計數單位的等分會有幫助。因此建議教師在教學時從生活情境入手，利用“元、角、分”的模型，讓學生充分體驗分錢的過程（把余下的1元轉化為10角再分）。這樣，操作、算式、語言在比較中互相轉化，豐富了“分”的表象，強化了學生對“分”的感知。

（二）加強方法間的關聯和優化

關聯的過程就是去粗取精、由表及里的過程。學生在學習前已經會用多種不同的算法解決問題，教學時要加強方法間的關聯，突出其內在聯系。通過溝通與聯系，學生能夠體會到，不同的方法都是在表征同一個“分的過程”，即都在記錄“等分不同計數單位數量”的過程。把方法形成有關聯的結構，能促進學生理解的深化。

（三）注重基本方法的歸納和本質原理的感悟

如果想讓學生對“把下一位數落下來，再繼續除”這一程序性操作過程有更深刻的理解，教師在教學時要注重引導學生經歷基本方法的歸納和本質原理的感悟過程。這種感悟主要包含三個方面：①轉化。通過活動理解當除不盡有余數的時候，可以轉化為更小的計算單位繼續除。②合并。大的計數單位上“余”下來的數，轉化為小的計數單位后，要與小的計數單位上原有的數量進行合并。③等分。要引導學生明白合并后的數表示的是小計數單位的數量，豎式記錄的是將計數單位上的數量進行等分的過程。學生只有充分經歷基本通法的提煉和本質原理的感悟，才能深化理解，知其然并知其所以然。這也會為學生在今后的除法豎式計算學習時，能夠有效遷移、創新運用知識提供保障。

（浙江省東陽市吳寧第五小學? ?322100）