高中數學核心素養的課堂考察

摘要：自2017年數學核心素養提出以來，數學核心素養對于教育實踐工作者的備課上課講課都具有極大的好處，明確課程目標教學目標。但在課中，課后對于數學核心素養的考察，卻陷入困境。在這種思維意識上的價值判斷難以直觀的表現出來。筆者從集合概念教學設計出發來探討對數學核心素養的考察。

關鍵詞：數學核心素養;集合概念教學

什么是數學核心素養？是數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1]。其內容包括數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算和數據分析六大核心素養，具體表現為人們學習了數學之后，會用數學的觀點，數學思維以及數學的方法去觀察，認識，改造客觀現實世界并解決現實問題或者抽象問題的過程。數學抽象無處不在，人在社會實踐的過程中，會無數次把身邊的環境或者是現實問題提取、簡化并轉化為一種簡易的可操作、易操作的一個數學系統。在原始概念教學時，這種轉化會不斷地發生。數學建模是將人們從現實世界抽象出來的或者從抽象領域抽象出來的共有特征用一個具體的變量來表示，并體現出一定的因果關系。

本文以APOS理論和引導—發現教學模式來設計集合概念教學，并主要考察數學抽象、數學建模。

【集合教學案例】

一、課堂引入：

將采用動物世界的幾幅圖片，引導學生觀察圖片。圖中，有天上的動物、地上的動物、水中的動物、食草動物、食肉動物等等。

師：那剛剛我們對這些動物的劃分的依據是什么呢？

生：生活的環境、吃的食物…

師：通過一些條件來劃分范圍的。

【設計意圖：通過對我們熟悉的動物世界來進行對動物的分類，用分類和范圍這個先行組織者讓學生意識到本節課學習的東西和范圍有著一定的關系，由此，引入對于集合的學習】

二、活動操作階段、獲得概念：

（一）

例1：觀察下面的例子，是否劃定范圍？若有，范圍是什么？

（1）1～10之間的所有的偶數;

（2）高一4班全體同;

（3）方程x^2-3x+2=0的所有實數根;

（4）平面直角坐標系中到原點距離為2的所有點的整體;

思考1：以上例子劃分時候是否一個的標準？或者劃定一個范圍？

教師講解分析以上四個例子，學生討論分析結束后。

師：像上面這樣的例子，我們就把他叫做集合。我們學習一個研究對象，要去找到這些概念的特征，請問同學們，根據上面這些例子，集合有什么樣的特征呢？

生：他們都有一個確定的范圍。

師：非常準確，有一個確定的范圍，并且范圍里面有我們的研究對象。那請同學們來對集合進行歸納一下？

生：具有確定范圍的對象稱為集合。

師：同學們都有了自己的認識理解，那我們來看看課本上是怎么定義的呢？

一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

師：元素用小寫字母表示，集合用大寫字母表示。那么在這個表示的過程中，我們約定俗成對一些特殊的集合進行表示：

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集（或自然數集），記作N

全體正整數組成的集合稱為正整數集，記作N^*或N_+

全體整數組成的集合稱為整數集，記作Z

全體有理數組成的集合稱為有理數集，記作Q

全體實數組成的集合稱為實數集，記作R

集合的相等：若兩集合里面的所有元素一模一樣，就稱這兩個集合相

【設計意圖：通過上訴例子，讓學生自主思考、合作討論，認識到集合的內涵和外延，總結出對于研究對象的一般特征，從而得出集合的概念】

核心素養考察：通過上述教學引導學生從具體的例子當中抽象出集合這個原始概念的內涵——一定范圍內的確定對象，并用大寫字母與小寫字母來表示集合與元素，用模型予以表示。集合外延可以具體化到生活中的各個角落，如家里的碗筷、化學中的元素周期表中的元素、生物中構成細胞的細胞器等等。其考查方式讓班里的同學在各種角度舉例，并明確集合及其元素，以模型、符號的形式來表示。在系統的學習中通過體驗、認識及內化等過程逐步形成相對穩定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀，實質上是初步得到學科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論[2]

（二）

師：現在我們學習了集合、元素，大家再說說集合表示什么意思呢？

生回答

師：那大家根據集合的特征，能不能舉個不是集合的例子呢

師生共同討論（如果已經得出結論，使用下列例子加強認識;否則，由下列例子進行討論性質）

思考2：學習了集合之后，你是否能舉出不是集合的例子？

例2：（1）高一4班長得高的同學

（2）方程x^2-4x+4=0的所有實數根

A={2，2}

（3）1～10之間的所有的偶數

與B={2、8、10、6、4}

元素的性質：確定性、互異性、無序性

【設計意圖：同上】

（三）

師：通過剛才的學習，我們知道集合是由元素所組成的，那根據剛才的例1，元素與集合是什么樣的關系呢？

生：元素構成的集合

師：是的，那么在數學上，我們有專業的描述：（由具體實例到一般化）

若a是集合A的元素，則a屬于A，記作a∈A

若a不是集合A的元素，則a不屬于A，記作a?A

師：請同學們觀察例1，他們的元素是不是同一類，若不是，分別屬于哪一類？

由師生共同討論出集合的分類

（1）按元素屬性：數集、點集、方程的集合等等

（2）按元素個數：有限集合、無限集合

（四）

師：剛才由上述幾個集合，我們可以通過語言來描述，也可以通過圖形的方式來表示。大家知道，在數學的世界中，最為突出的是符號語言，那么如何用符號語言來表示集合呢？

師生共同討論

例2：（1）“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（2）“方程x^2-3x+2=0的所有實數根”組成的集合可以表示為{1，2}

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

練習1：用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有白然數組成的集合;

（2）方程x^2=x的所有實數根組成的集合.

思考3：剛才都是能數出個數的集合，要是數不出能一一列舉嗎？比如：不等式x<10

例3：不等式x<10，因為滿足x<10的實數有無數個，所以無法用列舉法表示.利用元素的共同特征，即： x是實數，且x<10，把解集表示為{x∈R|x <10}

一般地，A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P（x）}寫成這種表示集合的方法稱為描述法.

練習2：試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程x^2-2=0的所有實數根組成的集合A

（2）由大于10且小于20的所有整數組成的集合B

師：根據描述法來表示下列集合

奇數集：A={x|x=2n-1，n∈N}

偶數集：B={x|x=2n，n∈N}

9，99，999，9999，…：C={x|x=〖10〗^n-1，n∈N^*}

三、圖示練習階段

練習：

1.判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由：

（1）與定點A. B等距離的點

（2）高中學生中的游泳能手

（3）上課專心聽講的學生

2.用符號“∈”或“?”填空：

0_（-_N ）; 3_（-_N ）; 〖0.5〗_（=_Z ）;√2 Z;〖1/3〗_（-_Q ）; π_（-_R ）.

3.用適當的方法表示下列集合：

（1）由方程x^2-9=0的所有實數根組成的集合;

（2）一次函數y=x+3與y=-2x+6圖象的交點組成的集合;

（3）不等式4x-5<3的解集.

通過過程階段、對象階段和圖式階段的教學和學習過程，在學生大腦中建立了一個集合的心智模型，讓學生對集合有了一個具體的認知，了解集合的內涵和外延，以及集合的數學表示。在教學過程中，對學生的知識教學固然重要，但其更重要的是對學生數學素養的培養，凸顯出過程中情感、態度、價值觀在數學核心素養中的重要性，并強調知識與技能、過程與方法、情感態度三者之間的整合以及與情境之間的互動[3]。在教學過程中，不僅得融入數學核心素養的教學，還得在關鍵時候進行相應的、及時的考察，判斷學生是否真正領會了集合概念的內涵和外延。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修定）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]李藝，鐘柏昌.談“核心素養”[J].教育研究，2015（9）：17-23.

[3]呂世虎，吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建[J].課程·教材·教法，2017（9）：12-14.

作者簡介：姓名：潘濤（1998.04--）;性別：男，籍貫：貴州鳳岡，民族：漢族，學歷：本科，畢業于重慶師范大學，重慶師范大學，學科教學（數學）專業研究生在讀;單位及郵編：重慶師范大學401331。