優化問題設計，讓高中數學教學更有效

魯明星

【摘要】在高中數學教學中，教師要優化問題設計，發展學生的數學思維，促進學生數學素養的提升.本文主要從激發性、關鍵處、剖析式、實踐性、拓展式等角度優化問題設計，以期達到發展學生的數學思維的目的.

【關鍵詞】高中數學;問題設計;素養提升

在高中數學課堂教學中，教師要提出目的明確的問題，為學生的思考提供指引，激發學生的問題意識，引發學生深入思考，讓他們站在不同的角度分析，形成多元的答案.教師要把控問題的范圍，加強問題與知識點之間的關聯.教師要設置有一定梯度的問題，引導學生的思維步步深入，促進學生思維的跨越.教師要把握問題的難度，以引發學生的思考，讓學生在思考、交流中獲得思維品質的提升.教師要依據學情，針對課堂中出現的問題引導學生交流，從而達到預期的教學效果.

一、以激發性提問吸引參與興趣

上課開始，教師要以有趣的問題調動學生的求知欲望，吸引學生主動參與知識的探究.學生只有經歷知識探究的過程，感受數學知識的發展歷程，從而去探尋問題的本質，這樣才能將所學的知識納入自己的認知結構.教師要以激發性的問題，引導學生參與探究求知，為他們的問題探索提供動力.教師創設的情境要有趣，能調動學生參與學習的氛圍，能引發他們對問題的思考.例如，在學習蘇教版必修一《函數的單調性（1）》內容時，教師呈現濱海縣某天24小時內的氣溫變化圖（如下圖），并提出問題：氣溫在哪些時段是逐步升高的或是下降的？如何用數學語言來刻畫[14，24]內“隨著時間變化氣溫逐漸降低”這一特征呢？教師借助于情境的創設，引發學生關注生活中的數據變化規律，學會運用函數的觀點去分析隨時間的變化函數值的大小變化.

很多學生認為高中數學知識較為抽象，他們易產生畏難情緒，如果不及時地對他們的情緒加以緩解，會影響他們對數學知識的理解與內化.教師要聯系學生的生活，以生活化的情境調動學生參與數學學習的興趣，引導學生探索抽象的知識，消除其對數學的畏難心理，讓學生積極地融入數學課堂.教師要運用多樣的引入方式，設計有效的課堂情境，引發學生的探究興趣.例如，在學習蘇教版必修一《指數函數》一課內容時，教者創設問題情境：（1）某種細胞由1個分裂為2個，由2個分裂成4個，……經過x次分裂后，由1個細胞變為y個，請寫出y關于x的函數關系式;（2）某放射物質不斷變化為其他物質，每經過1年剩留質量為原來的 50%，設該物質最初的質量為1，經過x年后剩留量為y，請寫出y與x之間的函數關系式.以上兩個函數有何共同特征？能否統一寫成一般的函數表達式呢？教師創設問題情境，引導學生建構指數函數的定義.

二、在關鍵處提問順暢思維

教師要在概念導入處、解決重難點知識時、學生易錯處設計問題，調動學生的探索興趣，深化學生對問題的理解.教師要在學習新知識時導入，讓學生抓住其中的本質內容.教師要深挖教材，精研內容，設計有效的問題，促進他們對數學本質規律的探尋.數學知識的探究要經歷由一般到特殊的過程，要由教師講授、學生模仿的方式向學生的自主探索轉移.教師要設計能引發學生自主思考的問題，激活學生的思維，促進他們對數學概念的理解.例如，在學習蘇教版必修一《冪函數》一課內容時，教師讓學生回顧：指數函數的一般形式是什么？y=ax（a>0，a≠1）有什么特征？y=x，y=x2，y=x3，y=x13，y=x12，y=x-1是不是指數函數？這些都是x的多少次冪的形式，叫作什么函數呢？教師引出冪函數的概念，讓學生說說冪函數與指數函數有什么聯系與區別.

教師可以在講解重點知識時提問，設計由易到難的一系列問題串，為學生搭建循序而學的臺階，讓學生由易到難地解決問題，從而深化對問題的理解.教師可以將重點內容分解成一個個小的問題，并組成層層遞進的問題串，這樣能降低問題的難度，能促進學生對問題的思考.例如，蘇教版必修三《循環語句》一課的重點內容是：條件語句的表示方法、結構、用法以及用條件語句表示算法.教師提出問題一：某浴室為節約用水開始實行計時收費，在30分鐘內（含30分鐘）每分鐘0.1元，超過30分鐘的部分按每分鐘0.2元收費，請設計算法并用基本語句描述計費過程.學生通過算法程序的設計、輸入，能體會到計算機解決問題的便捷性，也從中收獲了成功的體驗.教師提出問題二：在超市中，唱片售價為每張25元，如果購買5張或5張以上的按九折收費，購買10張或10張以上的按八五折收費，請用算法語句描述計費工作.學生先用變量m表示顧客購買的唱片張數，用變量C表示顧客要繳納的金額.先輸入m，并對m進行判斷，分為幾種情況：若m<5，則C=25m;若5≤m<10，則C=25m×0.9;若m≥10，則C=25m×0.85.教師要為學生留出單獨探索的空間，放手讓他們嘗試完成，從而培養他們的操作能力與創新精神.

學生在探索交流的過程中，難免會出現一些錯誤的認知，教師要善于利用這些錯誤點恰當地設計問題，讓學生能發現自己所犯的錯誤并尋找出錯的根源，能有針對性地改正錯誤，從而學會用錯，避免錯誤的再次發生.通過探錯、糾錯的學習過程，學生會表現得更加主動，使自己對知識的理解變得更加深刻.例如，有兩個圓O1，O2，它們的半徑分別為1與2，且|O1O2|=4，若動圓P與圓O1內切，又與圓O2外切，則動圓圓心P的軌跡是什么？請說明理由.部分學生忽略了雙曲線定義中的絕對值，因而出現解答錯誤.教師如果忽略了學生的反饋，而直接講解，往往會影響教學的效果.教師讓學生說說解決的過程.有一名學生是這樣說的：因|PO2|-|PO1|=3（常數），且3<4=|O1O2|，故P點的軌跡為以O1和O2為焦點的雙曲線的一支.教師讓學生觀察|PO2|-|PO1|=3與雙曲線的定義有無區別.在教師的引導下，這名學生指出|PO2|-|PO1|=3左側的整體沒有絕對值，因而是雙曲線的一支.教師依據學生的錯誤進行引導，能引發學生的思考，讓他們對雙曲線定義的認識走向深入.

在課堂小結時，教師通過提問梳理知識結構，促進學生對知識的記憶內化.教師可以提出與知識引入時對應的問題，能給學生帶來承上啟下的感受，幫助學生對知識點形成深刻的認知.例如，在學完冪函數內容后，教師提出問題：為何用五個特殊的函數研究冪函數的性質？冪函數的性質有哪些？你能找出一個研究新函數的方法嗎？教師通過問題梳理認知結構，促進學生抽象、推理思維能力的提升.

三、以剖析式提問引生深入

教師在遇到重點、難點問題時，可以將其拆分成低起點、有梯度的問題，引導學生步步深入，最終實現問題的解決.教師要針對數學抽象性強、學生畏難的心理，結合學生的知識經驗，合理地拆分問題，讓他們感受到成功解題帶來的快樂，也能激發學生學習數學的信心.例如，在學習選修二中《導數的概念（2）》內容時，教師提出問題：在高臺跳水的運動中，某運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在h=-4.9t2+6.5t+10的函數關系，請問：該運動員在0≤t≤6549內的平均速度是多少？該運動員在這段時間內是靜止的嗎？用平均速度描述該運動員的運動狀態存在怎樣的問題？如何求該運動員的瞬時速度？通過計算t=2 s時的瞬間速度，當Δt趨近于0時，觀察平均速度的數值，你會得到怎樣的結論？運動員在某一時刻t0的瞬時速度如何表示？函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？教師針對教學中的難點問題，選擇具有趣味性的問題引發學生的思考，讓他們去探尋問題的本質.教師要引導學生運用數學的眼光去觀察世界，用數學的思維去思考問題，用數學的語言去表達自己的理解.

教師要抓住單元章節的邏輯體系，帶領學生去分析知識中存在的疑難問題，并以一定的邏輯呈現，合理地設計問題串.問題的設計要具有挑戰性，但要合理把握問題的難點，能讓學生夠得著.問題之間有一定的聯系，前一個問題是后一個問題的基礎，后一個問題是前一個問題的延伸，通過承上啟下式的問題，促進學生循序漸進地思考.教師在提問時，要優化提問方式，可以將相似的知識點放在一起，運用對比式的提問，如在講等比數列的性質時，可以與等差數列的性質放在一起，能調動學生的知識經驗去學習新知，大大降低了學生學習的難度.教師要提出具有啟發性、拓展性的問題，激活學生的思維，為學生的思考指明方向，引發學生深入思考.

四、以實踐性提問發展素養

數學活動離不開認知與操作，學生通過實踐活動，能增進對問題的交流，抓住數學問題的本質.教師可以提出實踐性的問題，豐富學生的直接經驗，促進學生認知經驗的發展.數學課堂上的知識來源于間接經驗，能讓知識得到快速傳播.但教師也要充分利用學生的直接經驗，讓學生經歷由特殊到一般的探索過程，教師可以借助于多媒體課件、幾何畫板等，讓學生感受直觀的圖形，理解數形結合的思想，促進學生對數學問題的深入理解.間接經驗往往是由直接經驗總結、提煉出來的，教師要發揮其教育價值，通過有效的手段將間接經驗轉化為直接經驗，這能提升學生的自主探索能力.教師要開展實踐性的提問，引領學生融入學習活動，讓他們動腦動手，積極地參與操作活動，從而體會數學知識的內涵.

例如，在蘇教版必修四《學習三角函數的應用》一課內容時，教師向學生呈現某港口在某季節每天的整點時間與水深關系表，請學生觀察表格中的數據，看看能否從中獲得一些信息.學生通過對數據的觀察，發現水深有變化，從而猜想出這種變化呈周期性的變化規律，為借助散點圖來表示這些數據做好鋪墊.教師提出問題：如何畫出這些數據的散點圖？你能使用圖形計算器畫出散點圖嗎？通過教師的提問、學生的探討，以時間為橫軸、水深為縱軸，運用描點法畫出這些數據的散點圖，根據曲線的形狀與走勢，分析曲線的形成與特征，判斷函數模型，用正弦函數y=Asin（ωx+φ）+k來近似擬合.我們已知知道港口在某季節每天的時間與水深的關系，確定形如y=2.5sinπ6x+5的模型來刻畫，再利用該模型解決有關貨船進出港的一些實際問題：一條貨船吃水深度為4 m，安全條例規定至少要有1.5 m的安全間隙，該船何時能進入港口？在港口能待多久？教師引導學生探究問題，分析：貨船進入港口所需滿足的條件是什么？如何用數學表達式來表示這一條件？如何解這個不等式？若將不等式兩端看成兩個函數，分別作出它們的函數圖像，用數形結合的思想去分析，那么滿足條件的解是圖像中的哪部分？在[0，24]內滿足條件的解集是什么？依據圖像貨船應選擇什么時候進港，什么時候出港？能待多長時間？教師要借助問題，讓學生感受三角函數是描述周期現象的重要數學模型，學會運用三角函數的圖像與性質解決一些簡單的實際問題.

五、以拓展式提問發散思維

教師在結課前十分鐘對本課或本章節進行知識梳理、思想概括，并由點到面地呈現知識結構.教師要借助于拓展性的提問促進學生對所學知識結構的理解，幫助學生形成獨立思考的能力.例如，在學習蘇教版必修一《對數函數》內容后，教師提出問題：你能結合生活實際舉出指數函數、對數函數的應用嗎？你能說說指數函數概念的拓展過程嗎？對數函數是如何推導出來的？你能否依據指數函數與對數函數的研究過程，說說我們可以從哪幾個方面研究新函數？你能舉出“爆炸式增長”的例子嗎？

教師也可以開展由點到面的拓展性提問，加強知識點之間的關聯，促進學生對數學本質內容的理解.教師要借助疑問，拓展學生的認知，促進學生的深入思考.教師可對問題進行深度的挖掘，幫助學生理解數學概念.

教師可以向學生展示數學家的研究歷史與思維過程，或對錯題進行分因，尋找成因，并通過提問幫助學生認識錯誤，或以問題串引發學生聯想，讓他們循序而學，探尋知識本質.例如，針對學生對雙曲線認識模糊的問題，教師設計變式問題：已知圓C：（x+3）2+y2=4及點M（3，0），P為圓周上一點，MP的垂直平分線交直線CP于點N，則動點N的軌跡方程是什么？已知點A（-1，0），B（1，0），動點M滿足||MA|-|MB||=2，則點M的軌跡方程是什么？教師借助于拓展問題引領學生探究，能深化他們對抽象概念的理解.

教師通過對問題加以變化、引申、拓展，能調動學生的思維潛能，拓展學生的知識視野，豐富他們對問題的理解.例如，在學習蘇教版必修一《函數的奇偶性》一課內容時，在學生理解函數奇偶性的概念時，用定義判斷簡單函數的奇偶性后，教師提出拓展問題：已知函數f（x）既是奇函數也是偶函數，求證：f（x）=0.學生通過條件f（x）既是奇函數又是偶函數，從而獲得結論f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），由此可以推導出f（x）=0.教師進一步追問：這樣的函數應該有多少個？很多學生會認為這樣的函數只有一個，在提示、引導下，他們通過改變函數的定義域從而獲得不同的函數.

總之，在高中數學教學中，教師要營造輕松的氛圍，提出趣味性、啟發性的問題，促進學生的行為投入.教師要在重點處、難點處、易錯處提問，幫助學生厘清數學概念，培養學生的數學思維，促進他們思維品質的提升.

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