考慮滑脫效應與迂曲度分布特征的頁巖復雜裂縫網絡滲透率模型

王付勇，程輝

（中國石油大學（北京）非常規油氣科學技術研究院，北京，102249）

頁巖氣作為一種非常規資源，是目前國內外勘探開發的熱點[1-2]。頁巖儲層孔隙度和滲透率極低，孔喉連通性差，但泥質含量較高，巖性較脆，儲層中發育大量天然微裂縫，微裂縫開度納米到微米不等[3]。由于頁巖儲層物性極差，在開發過程中需要大規模人工壓裂。人工壓裂產生的人造裂縫與儲層中的天然裂縫一起形成復雜裂縫網絡，成為儲層與井筒之間重要流動通道，因此，研究頁巖復雜裂縫網絡滲流特征對頁巖氣的有效開發具有重要意義[4]。與常規油氣藏流體滲流規律不同，頁巖氣在微納米裂縫中的流動規律研究必須考慮滑脫效應的影響，這是因為在頁巖儲層中，氣體的平均自由程往往接近于孔喉或裂縫開度，氣體在邊界處的流動速度不為0[5-7]。TANG 等[8]使用Boltzmann方法模擬氣體在微尺度孔隙中的流動發現，當壓力和孔隙度較低時，滑脫效應對氣體流動的影響不可忽略。滑脫效應的研究對明確氣體在微納米尺度流動機理具有重要意義[9-10]。滑脫因子可以反映滑脫效應的嚴重程度，自從KLINKENBERG[11]提出滑脫因子的概念以來，國內外學者關于滑脫效應進行了大量研究，提出了不同滑脫因子的表達式[12-17]。相關研究表明天然裂縫的分布符合分形標度律[18-19]。頁巖儲層微納米裂縫具有與平板類似的形狀，因此平板模型通常用來描述裂縫內的流動。李玉丹等[20]將頁巖裂縫網絡假設為一簇互不交叉的平板裂縫，且假設裂縫分布具有分形分布特征，推導一種頁巖裂縫表觀滲透率動態模型。但該模型沒有考慮裂縫之間的交叉性。實際上，交叉性是頁巖裂縫網絡的重要特征之一。樹狀分叉結構廣泛存在于自然界中，比如動物的血管網絡、植物的葉脈等，地下油氣藏中的裂縫網絡也具有類似的樹狀分叉結構，相關理論表明這種復雜的分叉結構可以通過簡單的數學迭代生成[21]。LORENTE 等[22]研究發現不均勻各向異性多孔介質與樹狀分叉網絡具有類似的性質。WANG 等[23]研究發現水力壓裂形成的裂縫與樹狀網絡具有相似的性質，并提出了一種樹狀裂縫網絡的滲透率預測模型，但該模型并不適用于復雜裂縫網絡。何巖峰等[24]提出了一種頁巖天然裂縫網絡滲透率模型，并對影響滲透率的參數進行了分析。WANG等[25-26]基于圓管的泊肅葉定律推導得到了隨機分布樹狀網絡滲透率模型。劉化普等[27]考慮裂縫迂曲度提出了一種微納米孔隙頁巖氣藏表觀滲透率模型，并發現迂曲度分形維數對滲透率有較大的影響。徐祖新等[28]對頁巖氣儲層孔隙結構的分形特征研究發現分形維數越大，頁巖孔隙結構越復雜，分形維數可以有效地評價頁巖孔隙結構的復雜性。MIAO 等[29]基于分形理論和Cubic 定律得到了一種裂縫滲透率模型，該模型假設裂縫是一塊具有角度的平板，沒有考慮迂曲度的影響。TAN等[30]研究了樹狀分形裂縫網絡的滲流特征并建立了用于多段壓裂的水平井產能模型。可見，國內外學者提出了多種頁巖裂縫網絡分形滲透率模型，這些數學模型大致可以被分為2類。一類為二叉樹裂縫網絡模型，該類方法可以定量分析裂縫分叉特性對滲流規律的影響，但已有的二叉樹裂縫網絡分形模型大都基于圓管流量方程推導得到，而裂縫中的流動更接近于平板間流體流動[31]。因此，基于泊肅葉方程的圓管二叉樹模型將會給裂縫滲透率計算帶來誤差。另一類為平板裂縫模型，該類模型對簡單裂縫具有較好的適用性，但由于該類模型不考慮裂縫之間的交叉性，因而不能適用于復雜裂縫網絡滲透率計算。本文作者將這2類方法相結合，以平板流量方程和分形二叉樹理論為基礎，同時考慮滑脫效應和迂曲度分布特征對滲流規律的影響，構建頁巖復雜裂縫網絡滲透率模型，并推導了氣體滑脫因子表達式，進一步明確了裂縫的寬高比、分形維數、平板二叉樹的分叉級數、長度比等對頁巖氣滲流規律的影響。該模型更加符合頁巖復雜裂縫網絡實際結構特征，可以有效表征頁巖氣在頁巖中的滲流規律。

1 滲透率模型

儲層中的裂縫網絡與樹狀分叉網絡具有非常相似的幾何分布特征。圖1（a）所示為真實巖心CT掃描圖片，將真實裂縫網絡假設為具有分形特征的二叉樹裂縫網絡，如圖1（b）所示。二叉樹類分形網絡是一種“點到線”型類分形樹狀分叉網絡。本文采用二分叉結構（n=2），分叉角度為θ（θ<90°），總分叉級數為m。圖2所示為不考慮迂曲度和考慮迂曲度的第k 級裂縫分叉示意圖，其中，l，a 和h分別為裂縫的長度、開度和高度。在計算過程中，假設裂縫中的流體流動為層流，忽略裂縫粗糙度，且假設裂縫與基質之間無流體交換。

假設裂縫高度與開度之比h為定值且表示為[32]

式中：a為裂縫開度，μm；λ為裂縫縱橫比，為固定常數。二叉樹裂縫網絡的長度比γ和高度比β 分別為

式中：lk+1和lk分別表示第k + 1級和第k級裂縫長度，μm；hk+1和hk分別表示第k+1級和第k級裂縫高度，μm。每一級裂縫的長度和高度均可以由初始長度和初始高度表示為

圖1 基于平板模型的分形二叉樹裂縫網絡模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of fractal-like tree fracture network model based on plate model without considering tortuosity

圖2 第k級分叉示意圖Fig.2 Schematic diagram of kth bifurcation

式中：l0和h0分別為第0 級裂縫的長度和高度，μm。裂縫的直線長度和迂曲長度之間的關系可以表示為[33]

式中：lT為裂縫的迂曲長度，μm；DT為迂曲度分形維數。根據Cubic 方程[34]。通過第k 級單條裂縫的流量可以表示為

式中：qk為第k級單條裂縫的流量，μm2/s；ak為第k級裂縫的開度，μm；μ為氣體的黏度，Pa·s；Δpk為第k級裂縫兩端的壓力差，Pa。

根據式（6）和（7），具有迂曲度分形分布特征的單根裂縫氣體流量可以表示為

第k級裂縫的總數為nk，根據式（8）可以得到通過一個二叉樹裂縫網絡的氣體總流量為

式中：q 為一個二叉樹裂縫網絡的氣體總流量，μm2/s；n為分叉數，對于二分叉結構：n=2。

將式（9）表示為壓差形式：

忽略二叉樹裂縫網絡分叉處的壓力局部損失，則總壓降Δp可以表示為

將式（4），（5）和（10）代入式（11）可以得到二叉樹裂縫網絡的總壓降Δp為

根據式（12），流過單個二叉樹裂縫網絡的總流量q為

假設第0 級裂縫的開度分布符合分形標度率，則裂縫的數目與開度的關系可以表示為

式中：N（≥a0）為初始開度大于a0的裂縫總數目；Df為裂縫開度分形維數，對于二維空間，0

裂縫網絡的面孔率可由裂縫橫截面積表示：

式中：φ 為裂縫網絡的面孔率，%；A 為巖心的橫截面積，cm2；Ap為巖心橫截面上裂縫孔隙的總面積，cm2。

由式（15）和（16）可以得到理論裂縫橫截面積Ap：

式中：a0min為裂縫最小初始開度，μm。

將式（17）代入式（16），則巖心的橫截面積可以表示為

通過巖心的總流量等于流過二叉樹裂縫網絡的總流量，可以通過式（13）和（15）積分得到

達西定律可以表示為

式中：L為巖心的直線長度[35]，其值等于二叉樹裂縫網絡的等效直線長度，μm；θ為分叉角度；m為分叉級數。將式（18），（19）和（21）代入式（20），得到二叉樹裂縫網絡克氏滲透率的解析表達式為

式中：KL為二叉樹裂縫網絡克氏滲透率，mD。

假設二叉樹裂縫網絡橫截面積守恒，由于每個母支分叉出2 個子支，即n=2，則β=1/2，由于式（22）可以簡化為

式（23）為考慮迂曲度分形分布特征的二叉樹裂縫網絡克氏滲透率表達式。將式（23）進一步簡化可以得到裂縫網絡的克氏滲透率表達式為

式中：K+為裂縫網絡的克氏滲透率（量綱一參數）。平板裂縫中的氣體克努森數可以表示為平均自由程與裂縫開度之比[36]

式中：Kn為克努森數；χ 為氣體平均分子自由程，μm。氣體平均分子自由程可以表示為[37]

式中：R 為氣體常數，J·mol-1·K-1；T 為地層溫度，K；Pk為平均地層壓力，Pa；M 為氣體摩爾質量，kg/mol。ROY 等[38]根據克努森數Kn，將氣體流動劃分為4 個區域：連續介質區（Kn≤10-3）、滑移區（10-3＜Kn≤10-1）、過渡區（10-1＜Kn≤10））和自由分子區（Kn＞10）。氣體在頁巖微納米裂縫中的流動主要以黏滯流和滑脫流動為主，壓力越低，滑脫越嚴重[20]。圖3 所示為裂縫中氣體的滑脫流動示意圖，在裂縫壁面處的氣體速度不為0 m/s，越靠近裂縫中心，氣體的流動速度越大。

克氏滲透率與表觀氣體滲透率的關系可以用滑脫流動相關系數表示

圖3 裂縫中氣體滑脫流動示意圖Fig.3 Schematic diagram of gas slippage flow in a fracture

式中：Kg為氣體表觀滲透率，mD；f（Kn）為滑脫流動相關系數。f（Kn）可以表示為[39]

結合式（13），（15），（26）和式（28）可以得到考慮滑脫的二叉裂縫網絡氣體流量表達式為

將式（29）代入式（20），可以得到表觀氣體滲透率表達式如下

式（30）表明二叉樹裂縫網絡的表觀氣體滲透率是裂縫橫截面積分形維數Df、迂曲度分形維數DT、分叉級數m、隨著孔隙度φ、裂縫縱橫比λ、最大裂縫初始開度a0max、地層壓力和滑脫因子等的函數。結合式（23）和（30）可得

KLINKENBERG[11]使用滑脫因子和平均壓力來表示表觀氣體滲透率Kg與克氏滲透率KL之間的關系，其表達式如下

式中：Pk為平均地層壓力，Pa；b 為氣體滑脫因子，其大小取決于氣體和巖石的性質，滑脫因子越大，氣體滑脫效應越嚴重。結合式（31）和（32），則氣體的滑脫因子b可以被表示為

式（33）滑脫因子表達式與WANG等[17]推導得到的分形多孔介質中的滑脫因子表達式具有非常相似的形式。式（33）表明頁巖微納米裂縫內氣體滑脫因子與裂縫的物性參數和氣體性質有關，而對于給定儲層，氣體常數R、地層溫度T、氣體分子質量M和氣體黏度μ往往是固定的，因此確定滑脫因子的關鍵在于確定儲層裂縫開度、裂縫開度分形維數和迂曲度分形維數。最大裂縫開度、分形維數和迂曲度分形維數越小，滑脫因子越大，滑脫效應越明顯。

2 模型驗證

MAURER 等[40]測試了氦氣和氮氣在微平板裂縫中的滑脫因子與克努森數的關系，微裂縫的平均開度和平均高度分別為1.14 μm和200 μm；當注入氣體為氦氣時，平均注入壓力為263 kPa，平均出口壓力為56 kPa，則裂縫內平均壓力為160 kPa；當注入氣體為氮氣時，平均注入壓力為182 kPa，平均出口壓力為52.4 kPa，則巖心內平均壓力為117.2 kPa。為了得到單根平板裂縫中滑脫因子b與克努森數Kn 之間的關系，將式（24）和（25）代入式（33），其中，式（33）中的a0，max使用a 代替，即可得到平板裂縫的滑脫因子與克努森數的關系式為

式（35）即為裂縫內氣體流動的滑脫因子與克努森數關系式。圖4 所示為式（35）的計算結果與實驗結果對比[40]。從圖4可以看出：模型預測結果與實驗數據擬合效果較好，尤其是在克努森數大于0.3時擬合效果更好；當克努森數小于0.3時，模型預測結果略小于實驗結果。這是因為模型中所使用的壓力為使用實驗數據計算的平均壓力，為固定值，而實驗中裂縫兩端的壓力并非固定的，壓力越小，滑脫越嚴重，滑脫因子則越大。

圖4 模型預測結果與實驗結果對比[40]Fig.4 Comparison between prediction of proposed model and experimental data

3 模型敏感性分析

為了進一步分析頁巖儲層微納米裂縫內的氣體滲流規律以及不同條件下滑脫效應對氣體滲透率規律的影響，對影響滑脫因子和克氏滲透率的一些重要參數敏感性進行分析。表1所示為用于模型敏感性分析的裂縫及氣體參數。

圖5 所示為根據式（33）計算的裂縫最大初始開度與滑脫因子關系。從圖5可見：隨著裂縫最大初始開度的增加，滑脫因子不斷減小。當裂縫最大開度在10~100 μm之間時，滑脫因子隨最大裂縫開度的減小而緩慢增加，而當裂縫開度小于10 μm時，滑脫因子隨最大開度的減小快速增加。以Df=1.5 為例，當裂縫開度為100 μm 時，滑脫因子b=0.62；當裂縫開度為10 μm 時，滑脫因子b=6.2；當裂縫開度為1 μm時，滑脫因子b=62.02。這表明滑脫效應對于小裂縫的影響遠大于對大裂縫的影響。從圖5可以看出：當裂縫最大開度不變時，滑脫因子與裂縫開度分布分形維數成正相關，這是由于裂縫開度分布分形維數越大，表示小裂縫的數目越多，小裂縫中滑脫效應越明顯。

表1 模型計算參數Table 1 Parameters of model used for calculation

圖5 裂縫最大初始開度與滑脫因子關系Fig.5 Plot of fracture maximum initial aperture and slippage factor

圖6 所示為根據式（31）計算的平均地層壓力與表觀氣體滲透率和克氏滲透率比值的關系。從圖6可以看出：隨著地層平均壓力的增加，表觀氣體滲透率和等效液體滲透率比值不斷地接近于1，即當壓力無限大時，表觀氣體滲透率等于克氏滲透率。這是由于平均壓力越小，氣體密度越小，則氣體分子之間的碰撞就越少，氣體則更容易流動，即滑脫更嚴重，反之，平均壓力越大，滑脫效應逐漸消失。當壓力無限大時，氣體的流動近似于液體的流動性質，此時，滲透率即為克氏滲透率。

圖6 平均地層壓力與表觀氣體滲透率和克氏滲透率比值的關系Fig.6 Relationship between ratio of apparent gas permeability and equivalent liquid permeability and average formation pressure

圖7 所示為根據式（33）計算的滑脫因子隨裂縫開度分形維數變化關系。從圖7可以看出：滑脫因子隨裂縫迂曲度分形維數的增加而減小，這是由于迂曲度的增加會使氣體分子與裂縫壁面的碰撞概率增加，從而減小了滑脫效應。

圖7 不同迂曲度分形維數時滑脫因子隨裂縫開度分形維數變化關系Fig.7 Plot of gas slippage factor versus fractal dimension

圖8 所示為由式（24）計算得到的不同分叉級數時裂縫網絡克氏滲透率隨裂縫長度比變化關系。從圖8可以看出：裂縫網絡克氏滲透率隨裂縫長度比增加而減小，其他條件不變時，根據式（21），越大的裂縫長度比意味著裂縫越長，即流體的流動路徑越長，則滲流阻力越大，滲透率減小。從圖8還可以看出：無因次滲透率與分叉級數呈負相關，這是由于模型假設二叉樹裂縫網絡在分叉過程中長度比和高度比保持不變，導致了分叉級數越大，最大分叉級的裂縫高度和開度越小，即單根裂縫過流面積越小，滲流阻力增大，滲透率減小。

圖8 不同分叉級數時克氏滲透率隨長度比變化關系Fig.8 Plot of dimensionless permeability versus radio of fracture length at different branch level

圖9 不同分叉角度時克氏滲透率隨裂縫最大初始開度變化關系Fig.9 Plot of dimensionless permeability versus initial maximum fracture aperture at different branch angel

圖9 所示為由式（24）計算得到的不同分叉角度時克氏滲透率隨裂縫最大初始開度變化關系。從圖9可以看出：克氏滲透率與裂縫最大初始開度成正相關。當裂縫長度比小于0.3時，長度比和分叉級數均對克氏滲透率有明顯影響。當長度比大于0.3 時，長度比對克氏滲透率的影響較小。當裂縫最大初始開度一定時，隨著分叉角度增大，克氏滲透率減少。由式（21）可知，在相同直線長度下，分叉角度越大，裂縫的迂曲長度越長，則流動阻力增加，裂縫網絡的滲透率降低。

4 結論

1）提出了一種頁巖復雜裂縫網絡的克氏滲透率模型與表觀氣體滲透率模型，并推導了氣體滑脫因子表達式，利用文獻中的實驗數據對模型進行了可靠性驗證。

2）當裂縫的最大開度從100 μm 減小到1 μm時，滑脫因子先緩慢增大，隨后快速增大，表明小裂縫中滑脫效應對裂縫內氣體的流動影響不可忽略。滑脫因子與最大裂縫初始開度成反比，與裂縫開度分布分形維數成正相關，而與裂縫迂曲度分形維數成負相關。

3）隨著地層平均壓力的增加，表觀氣體滲透率和克氏滲透率比值先快速減小，然后緩慢減小，并不斷的接近于1，即當壓力無限大時，表觀氣體滲透率即等于克氏滲透率。

4）克氏滲透率與裂縫長度比、分叉級數和分叉角度成負相關，與裂縫最大初始開度成正相關。裂縫長度比小于0.3時，長度比和分叉級數均對克氏滲透率有明顯的影響，當長度比大于0.3時，長度比對克氏滲透率的影響較小。克氏滲透率與裂縫最大初始開度成正相關，與分叉角度成負相關。