干濕循環作用下基于Laplace分布的裂土應變硬化損傷模型

周峙，張家銘，寧伏龍，羅易

（1.中國地質大學（武漢）工程學院，湖北武漢，430074；2.地質探測與評估教育部重點實驗室，湖北武漢，430074）

裂土是一種弱膨脹和強收縮的黏性土，在安徽沿江壟崗地區廣泛發育。長期的濕度周期性變化導致該類特殊土裂隙叢生，在荷載作用下極易誘發工程問題[1-2]。為揭示裂土災變力學機理，探究合適裂土的本構關系，干濕循環作用的影響不可忽視。裂隙的萌生、發展本質上是微裂隙、空洞、微孔隙等“天然缺陷”發生連續損傷的宏觀結果[3]。在損傷力學框架內研究裂隙土體的本構關系是適宜的。唐春安[4]將統計損傷理論引入了巖土工程的變形模擬，曹文貴等[5-7]遵循該思路開展了不同角度的研究工作，例如，研究損傷閾值對巖石變形過程影響[8]。巖石應變硬化與軟化的轉變[9-10]，初始損傷對巖石力學變形的影響[11]，高溫熱損傷本構模型[12-13]，不同強度準則下的巖石統計損傷本構模型[14-15]以及巖石硬化損傷流變模型[16]等。以上研究表明，統計損傷模型可以很好地模擬巖石材料的力學性能規律。受此啟發，學者們基于宏觀力學試驗，采用統計損傷理論研究特殊性土體變形過程，發現諸如黃土[17]、風積土[18]、高液限黏土[19]和凍土[20]等特殊性土的三向應力狀態的應力-應變曲線均呈應變硬化型。此外，盧再華等[21]基于室內CT、核磁共振試驗結果，研究了干濕循環對損傷變量和損傷演化規律的影響。但是，目前的研究仍然有以下幾方面需要值得關注：1）僅考慮荷載或環境單一因素對土體損傷狀態的影響。實質上，裂土損傷的物理本質是環境和外載作用下缺陷逐漸加劇的過程，因此本構關系中應同時考慮二者的作用。2）對于土體材料，多數學者采用具有峰值效應的Weibull和Normal概率密度函數表征損傷演化方程，盡管Weibull 分布中的模型參數在一定范圍內可以模擬巖土材料的軟化-硬化過程的轉變，但是多數土體變形模型研究中并未考慮初始損傷門檻值的影響。由于土體與巖體壓縮性不同，在圍壓的影響下會導致土體固結，引起經過干濕循環后的裂土出現“愈合效應”，提高初始損傷門檻值，進而影響黏土在受荷初期的線彈性變化過程。為此，本文在統計損傷力學框架內，針對裂土應變硬化特性，嘗試假定裂土微元強度服Laplace 分布，同時考慮初始損傷門檻影響，引入雙損傷變量分別描述裂土干濕循環開裂和荷載作用下損傷演化規律。通過與不同循環次數和圍壓下的裂土三軸壓縮試驗結果進行對比，驗證模型的合理性與適用性。

1 干濕循環與荷載作用下裂土應變硬化特點及模型

圖1所示為含初始損傷的裂土應變硬化模型曲線示意圖。由圖1可見：對于應變硬化的裂土，加荷初期（OM 段）應變變化較緩，隨著應力增加，達到轉折點M 后，應變變化增快，彈性模量逐漸降低（MN 段）。因此，轉折點M 可以認為是初始損傷門檻，即初始損傷點，對應的偏應力qc0和軸向應變εc0為初始損傷閾值。f0（ε）為未達到初始損傷門檻值的軸向應力-應變函數，f1（ε）為超過初始損傷門檻值的應力-應變函數，f1'（εc0）為f1（ε）在初始損傷門檻εc0的導數。

圖1 含初始損傷的裂土應變硬化模型曲線Fig.1 Curve of strain hardening model with initial damage

圖2 所示為圍壓對初始損傷門檻的影響示意圖，其中，E0為初始狀態彈性模量，EN為N次干濕循環狀態下的彈性模量，ENd為N 次干濕循環狀態下和荷載水平作用下的彈性模量，qN，c0為第N次循環后試樣的初始損傷應力門檻值。由圖2可知：在干濕循環過程中，初始狀態彈性模量E0逐漸降低至N 次干濕循環狀態下的彈性模量EN。但是，隨著圍壓增加，脹縮裂隙發生“愈合效應”，導致應力水平作用下的ENd在（EN，E0）范圍內變化，相應初始損傷應力門檻值也在N次循環狀態和初始無損狀態（qN，c0，qc0）之間變化。在干濕循環作用和荷載水平作用下，應力未達到相應損傷門檻值前，土體仍然被假定為線彈性體，當應力超過初始損傷閾值后，土體開始逐漸屈服，損傷不斷擴展演化直至土體破壞。

圖2 圍壓對初始損傷門檻的影響示意圖Fig.2 Schematic diagram of the influence of confining pressure on initial damage threshold

因此，基于上述裂土應變硬化特點，干濕循環與圍壓作用下且同時考慮初始損傷門檻值影響的裂土應變硬化損傷模型可由分段函數表示：

式中：偏應力q = σ1- σ3，σ1和σ3分別為最大主應力與最小主應力；qc0為初始損傷應力門檻值。

2 損傷演化方程和本構模型建立

2.1 損傷變量的確定

分別定義干濕循環作用下損傷變量DN和荷載作用下損傷變量為DNd。DN表示N 次干濕循環后，裂土因干濕循環造成的損傷，可以采用初始彈性模量的折減進行表征。

受荷時，裂土微單元體應力水平超過一定強度時，單元產生新的破裂，定義荷載作用下的損傷變量DNd表示為N次循環后的破壞微元數Sf與總微元數S的比值，即

若總微元數S 足夠大時，可采用Laplace 分布表示DNd。因此，假設經歷干濕循環作用后的微元體的概率密度函數P（F）為

式中：F為隨機分布變量，表示微元強度；m0和T0為Laplace 分布參數，分別反映不同干濕循環后試樣的平均微元強度和彈性模量的變化。

微元強度FNd在一定強度范圍即[FNd，FNd+dFNd]內，微元體間發生斷裂形成損傷，在這一過程中損傷的微元數目為S。

因此，式（3）可表示為

2.2 損傷演化方程的確定

LEMAITRE[22]認為，對于受損彈脆性材料，在真實應變ε作用下，受損狀態下的應力等效于有效應變作用下虛擬的無損狀態的應力，即

式中：E和E*分別為無損材料與受損材料的材料特征模量；σ為作用于含損傷材料的有效應力；σ*為作用于無損材料的等效應力；D為損傷變量。采用張全勝等[23]推廣應變等價原理，對于基準狀態（初始未損傷）、干濕循環狀態，有：

式中：A0為初始狀態微元材料承載有效面積；AN為干濕循環狀態微元材料承載有效面積；σ0為初始未損傷時微元材料承載有效應力；σN為干濕循環N次后的微元材料承載有效應力。

聯立式（7）~（9）可知：

式（11）即為干濕循環后的統計損傷模型，當在圍壓作用下，若裂隙完全閉合，認為土體達到未損傷狀態，即DN= 0。

同樣，以干濕循環后的試樣為基準狀態，再次對干濕循環荷載作用的試樣采用應變等效原則，

式中：ANd為干濕循環N 次后，荷載作用狀態的微元材料承載有效面積；σNd為干濕循環N 次后，荷載作用狀態的微元材料承載有效應力。則有

式中：εNd為干濕循環N 次后，荷載作用狀態的微元材料應變，式（13）即為干濕循環后荷載作用下的統計損傷模型。

聯立式（10）和（13）可知：

其中，Dtotal= DNd+ DN- DNDNd，表示干濕循環后試樣在荷載作用下的總損傷變量。

將式（2），（6）和（13）代入式（14）可知，干濕循環和荷載作用下，同時考慮初始損傷門檻值的影響的總損傷演化方程為

式中：qN，c0為N 次干濕循環后的初始損傷應力門檻值。

由式（15）可知，當圍壓作用下，若裂隙完全閉合時，EN= E0，總損傷演化方程退化為僅為荷載作用下的損傷方程。

2.3 本構模型的確定

將式（15）代入式（7），根據廣義虎克定律，N次干濕循環后的土體在荷載作用下，同時考慮初始損傷門檻值的影響時，裂土的損傷統計本構方程為

式中：（i，j，k）分別為（1，2，3）或（2，3，1）或（3，1，2）；v為泊松比；σi，σj和σk為主應力；εi，εj和εk為主應變。

2.4 干濕循環后微元強度FNd的確定

通過式（16）可知，要確定損傷變量Dtotal，必須求解出表征干濕循環后荷載水平下的微元強度FNd。因此，假定裂土在三向應力狀態下，經干濕循環后荷載水平下微觀破壞準則可用有效應力和土體材料參數表示：

式中：σe*為裂土微元體有效應力；f （σe*）為微元體應力函數。當f （σe*）≥FNd時，干濕循環后應力水平下微單元體發生破壞。根據Mohr-Coulomb準則，

式中：c 和φ 分別為黏聚力與內摩擦角；σ1*和σ3*分別為最大有效主應力和最小等效主應力。假定微元強度FNd破壞服從Mohr-Coulomb準則，則有

將基準狀態變為干濕循環后的狀態，使D=DNd，由式（7）可知：

則

其中i=1，2，3，分別表示有效應力的3 個主應力分量，由廣義虎克定律可知：

在常規三軸狀態下，σ2=σ3，將式（21）代入式（22），可知干濕循環和荷載作用下的損傷變量為

聯立式（19），（21）和（23），可知干濕循環后荷載作用下的微元強度為

3 模型參數確定

本構模型中，干濕循環后彈性模量EN、泊松比v、內摩擦角φ 和軸向應力與應變均可通過常規三軸試驗獲取。由于裂土的應力-應變曲線為硬化型，并不存在峰值點，因此，采用線性擬合獲取統計損傷模型的參數。

聯立式（6）和（23），對函數兩邊分別取對數：

圖4所示為不同圍壓和循環次數的裂土本構模型參數變化規律。由圖4（a）和4（c）可知：微元強度均值m0與循環次數呈反比，與圍壓呈正比；5次干濕循環后，微元平均強度m0降幅顯著，相比初始狀態降低39.7%~78.5%，說明干濕循環對微元強度有顯著影響，增大圍壓會導致平均強度m0增加。由圖4（b）和4（d）可知：反映試樣的彈性模量變化趨勢的T0也表現出與微元平均強度變化的相似規律，5次干濕循環后，T0相比未循環試樣降低53.51%。

圖3 不同干濕循環次數下模型參數擬合圖Fig.3 Fitting diagram of model parameters under different dry-wet cycles

圖4 不同圍壓和循環次數的裂土本構模型參數變化規律Fig.4 Variation of parameters of the constitutive model of cracked soil with different confining pressures and cycles

4 討論與驗證

研究試樣取自安徽池州長江公路大橋接線某邊坡，裂土試樣縮限為8.2%，飽和含水率為36%，天然干密度為1.59 g/cm3，相對密度為2.71。采用西安康拓力儀器設備有限公司研制的三軸試驗系統，對初始試樣經歷5，8和12次循環的共計48個試樣，分別進行100，150，200 和300 kPa 圍壓下的固結不排水剪切平行試驗（CU），設置破壞軸向應變為15%，控制剪切速率為0.075 mm/min，采用60 s間隔自動計數，軸向應變1%時刻所對應的偏應力增量與軸向應變增量的比值作為本次研究的初始彈性模量E0。

4.1 圍壓與干濕循環次數對初始損傷應力門檻值的影響

根據試驗的應力-應變曲線，參考文獻[7]，對應力應變曲線中偏應力取對數，并繪制ln（σ1- σ3）與ε1相關圖。限于篇幅，僅列出圍壓為300 kPa時的初始損傷應力門檻值隨干濕循環次數變化圖，如圖5所示，圖5中的拐點值即為損傷應力初始門檻值。由圖5可知：在相同圍壓下（300 kPa），隨著干濕循環次數增加，初始損傷應力門檻值逐漸左移遞減。相比未循環時試樣，5，8 和12 次循環后試樣的初始損傷應力門檻值分別降低37.77%，45.67%和57.43%。

圖6所示為初始損傷應力門檻值隨干濕循環次數變化，由圖6可知：隨著圍壓增加，初始損傷應力門檻值總體呈增大趨勢。以12 次循環后的試樣為例，300 kPa 應力水平下的試樣初始損傷應力門檻值比100 kPa應力水平下高74.27 kPa，表明圍壓對干濕循環階段產生的裂隙有壓密作用，導致干濕循環造成的損傷程度降低。值得注意的是，在前8次循環的過程中，由于裂隙發育隨機性，導致圍壓200 kPa時的初始損傷應力門檻值略小于圍壓150 kPa初始損傷應力門檻值。

圖5 不同干濕循環的初始損傷應力門檻值（圍壓σ3=300 kPa）Fig.5 Initial damage stress threshold values of different dry-wet cycles（σ3=300 kPa）

圖6 初始損傷應力門檻值隨干濕循環次數變化Fig.6 Threshold value of initial damage stress varies with dry-wet cycles

4.2 模型與試驗曲線驗證

圖7 不同干濕循環次數的三軸試驗與理論曲線圖的對比Fig.7 Comparison between the triaxial test curves and the theoretical curves of different wet-dry cycles

將模型參數代入式（16）可獲得干濕循環和荷載作用下考慮損傷門檻值的裂土應力-應變理論曲線，將其與試驗曲線進行對比驗證，如圖7 所示。對比圖7（a）和7（d）可知：在較低圍壓下，經歷5~12次干濕循環后的裂土試樣全應力-應變曲線顯著低于未經干濕循環的試樣全應力-應變曲線，破壞時的剪應力顯著降低；隨著圍壓增加，線彈性階段變化的斜率逐漸變陡，初始損傷應力門檻值逐漸提高，導致因干濕循環造成的試樣初始損傷逐漸減弱，引起干濕循環后試樣應力-應變曲線與初始狀態間的降幅縮小，因此，圍壓具有降低初始損傷的作用。

試驗結果和理論計算結果吻合度較高，理論結果可反映裂土在干濕循環和荷載作用下的強度和變形隨干濕循環次數和圍壓變化的整體趨勢，表明所提出裂土應變硬化損傷模型能夠較充分地反映裂土在濕度交替環境和外載作用下的應力-應變全過程，且隨著圍壓逐漸增高，模型的符合程度越高。

值得注意的是，由圖7（a）和7（b）可知：對于初始狀態（0 次循環）的試樣在較低圍壓時（100 kPa 和150 kPa），模型的理論峰值應力與實測峰值應力略有偏差，達到14.14%~16.13%，其原因在于模型假設初始狀態是無損材料，未循環時不存在任何微裂隙、孔隙等天然缺陷，導致理論計算損傷應力門檻值較試驗值偏低。在實際過程中，完全無損材料是不存在的，試樣受天然缺陷壓密閉合影響，初始損傷門檻值提高，導致試驗最大剪應力高于理論剪應力。但是，隨著圍壓的壓密裂隙作用，上述影響會逐漸降低，如圖7（c）和7（d）所示；隨著圍壓增加，初始狀態的試樣的理論峰值應力與實測峰值應力相對誤差縮小至2.29%~5.48%。

5 結論

1）本文所建立的本構模型能充分反映干濕循環作用后裂土受荷時的應變硬化特征，模擬裂土在干濕循環和圍壓共同作用下的應力-應變曲線。干濕循環次數愈多，圍壓愈高，模型吻合程度越高。

2）基于Laplace 分布的損傷演化規律能較好地反映裂土損傷規律，模型參數易獲取，且具有明確的物理意義。反映平均微元強度與彈性模量的Laplace 分布參數m0與T0均與圍壓呈正比，與干濕循環次數呈反比。

3）模型在低圍壓和低循環次數時忽略天然缺陷的壓密作用，導致理論初始應力損傷門檻值偏小，圍壓的壓密裂隙作用或者干濕循環促使天然損傷擴展至初始裂隙損傷，模型的吻合程度提高。