量子力學中測不準關系、方程和時空等基本問題的新探索

張一方

(云南大學 物理系,云南 昆明 650091)

Dirac指出[1]“哈密頓量對于量子理論才真正是十分重要的”“只能通過哈密頓量或其概念的某種推廣”發展理論.其基本程序是由相對論不變的作用量積分得到拉氏量,再導出哈密頓量,得到量子理論.而“將來的量子理論”“一定有某種東西與哈密頓理論對應”.

已知量子力學最初的兩種形式：Schrodinger波動力學主要起源于波動性；而Heisenberg矩陣力學主要起源于不連續性.其中能量體現粒子性,波函數體現波動性.經典波動方程就是質量為0的Klein-Gordon(KG)方程,而Dirac方程是KG方程的一階推廣.基于對量子力學結構的邏輯分析,筆者認為它只有一個基本原理：波粒二象性.統計性是其相應的數學特性.而其他原理都是由此導出的物理或數學結果[2,3].量子場論只是把二象性推廣到場.

量子力學的發展是基于長、短波時分別是Rayleigh-Jeans公式和Wien公式,這已經暗含其主要適用于中能,而高能(短波)是Wien公式,即Maxwell-Boltzmann(MB)分布、Gamma分布.量子力學必然聯系于光子、電磁相互作用,例如黑體輻射、光電效應、氫原子等.反之,目前量子力學、量子場論也主要適用于電磁相互作用[1],而對強、弱、引力相互作用則理論必須發展.量子力學中波包瞬間塌縮是超光速的.

筆者提出粒子物理中的基本原理是必須區分已經檢驗的實驗事實和優美的理論假說.由此提出粒子理論中的7個重大問題,并且討論了相應的量子理論某些可能的發展[4].本文對測不準關系、量子方程等量子力學和量子理論的基本問題進行了某些新探索.

1 量子力學的基礎和各種解釋

由于量子力學的基本性和復雜性,對其的解釋和探索一直是理論物理議論紛紛的熱點之一.Jammer對量子力學中的基本問題和各種解釋進行了全面的經典論述[5].量子力學最著名的解釋是哥本哈根的幾率解釋,它的兩個基本原理是定域(干涉)原理和波譜分解原理.在量子力學中幾率守恒,幾率密度(即粒子數平均密度)守恒及總幾率都不變.幾率守恒是物質不滅定律在微觀世界的精確表現,它與幺正條件緊密聯系.1970年Ballentine系統討論了量子力學的統計解釋[6].

對幾率解釋提出不同觀點的眾多理論中最著名的是de Broglie-Bohm非線性理論和隱變量解釋.基于Everett的多世界理論[7,8],1971年Dewitt等提到多世界解釋和隱變量理論[9].1972年Van Fraassen提出消除波包塌縮的模態解釋(model interpretation).以后發展為著名的Kochen-Dieks-Healey理論.1986年Cramer提出量子力學的相互作用解釋[10],其與Bell不等式的檢驗和非局域性一致.1987年Ballentine提出量子力學的主要解釋是[11]：統計系綜解釋,新哥本哈根解釋,R.B.Griffiths一致性歷史解釋,多世界解釋和量子勢5種.1992年Home和Whitaker系統討論了量子力學的現代系綜解釋[12].從1954年起A.Lande集中批評波粒二象性,而提出一種被Born稱為“唯粒子論”的解釋方案,但Jammer認為這是“統計系綜解釋的一種特殊版本”[5].此外,還有量子力學的去相干理論等.

1992年Omnes提出量子力學的新解釋[13],并提出其認識論[13,14].其中的關鍵概念是“退相干”(decoherence).通過糾纏態(entangled state)在受到環境的作用時,會發生退相干效應這種機制,從量子力學的基本原理出發,就可以統一描述宏觀世界和微觀世界的物理學.1995年Rob Glifton及Bub、Goldstein理論的基本方法是區分為理論(動力學、數學)態(theoretical state)和事件(值、物理)態(state of affairs).近年Jeffery Bub等提出量子力學信息解釋.這聯系于量子信息論.Thom在《結構穩定性與形態發生學》中提出波函數作為按一定頻率改變拓撲類型的超曲面上的形態就是局域曲率[15].趙國求等具體提出相互作用是在與量子力學的曲率解釋[16,17],其中波長聯系于粒子環流半徑,曲率波包取代質點,波函數是曲率波,曲率的大小表示粒子性,曲率在時空中的變化表示波動性.并且特征曲率R=1/Δx=p/η.Thom和趙國求等的量子力學曲率解釋是把波函數理解為曲率函數.筆者認為這其實是量子力學和廣義相對論結合的結果,其中質量大小決定曲率大小,就是廣義相對論中質量決定空間的彎曲程度.根據公式ρ=|ψ|2,密度越大,幾率越大,曲率越大.這樣就可以聯系于量子引力.結合黎曼幾何,還可以結合筆者計算電子磁矩的方法[2].

薛定諤貓的佯謬是微觀不確定、統計性與宏觀確定性的關系.這可以聯系于非線性,可能發展出非線性量子理論[2.18].Monroe等[19]用囚禁在Paul阱中的9Be+實現介觀尺度上的貓態,質心運動相干態波包與內部態糾纏.觀測結果肯定了量子態疊加原理的正確性,展示了量子力學中的非定域性.量子性最早類比于波動性中的駐波.如波動性有所改變,量子性也許有所不同.量子數h可能可變或者連續.這就聯系于泛量子論[20-25].貓態聯系于宏觀量子現象,對應2個或多個世界.這些世界不能交流,則拓撲分離,是平行世界.這些世界互相糾纏,則可以包括生與死,陰和陽等不同狀態.而狀態變化可能與參量達到混沌值等有關,出現幽靈.

非線性理論的多次迭代導致混沌,但對應一種統計性及分布函數.這類似多個粒子、多次事件測不準,然而具有統計性及分布函數.它聯系于電子云的概率分布和相應的統計解釋.由此可以提出量子力學的非線性混沌-孤子解釋.筆者證明在各種具有孤子解的非線性方程中都可以得到混沌,而只有某些具有混沌解的非線性方程有孤子解.兩種解的條件是不同的,某些參數是某個常數時得到孤子,而這些參數在一定區域變化時出現分岔-混沌.這種混沌-孤子雙解可以對應于量子理論中的波-粒二象性,由此聯系于非線性波動力學的雙重解,并且存在若干新的意義[26,27].某些實驗證明,改變測量方式完全可以將實驗結果從波動條紋改變為粒子行為.Yanhua Shih(1983)可以確定粒子性和(或)波動性.Mandel等測量在兩點的兩個光子的聯合幾率作為分離函數,證明在信號干涉中存在非經典效應[28].在實驗設置1中單個光子不出現干涉.在實驗設置2的情況1中光子也不出現干涉,但在情況2中光子出現干涉.所以不僅單個光子,而且作為一個整體的一對糾纏光子也不出現干涉.并且由非線性解釋可以聯系于流體力學解釋.

通常h→0時,量子力學化為經典力學,這即對應原理.如此量子場論應該化為經典場論.但這與大量子數n→∞并不普遍等效.Liboff對二者的不同作了明確區分[29].例如在大原子中.n→∞可能是形式對應原理,如Gamma分布.Blasone提出一個量子系統近似等價于兩個經典系統[30].這對應de Broglie-Bohm非線性量子力學的雙重解.

J.von Neumann在《量子力學的數學基礎》中指出：Hilbert空間的點表示物理系統的狀態,物理系統的可觀測量由Hilbert空間的線性算子表示,而能量算子的本征值和本征函數就是該系統的能級及相應的定態.結論必須在4條公理假定成立的條件下.其中

E(A+B+C+…)=E(A)+E(B)+E(C)+…

(1)

E是線性算符,A、B、C等無相互作用.而它們可以互相糾纏.

因此,目前的量子理論本質上應該是線性的[1,18].這一般可能對應于自由粒子,即無相互作用,如無引力相互作用時就是歐氏空間.而電磁相互作用也是線性理論,只有附加流時才是非線性.但光子-光子相互作用時就是非線性光學.這應該聯系于電磁廣義相對論[31,32].一般的電磁理論僅涉及單個光子.而其余的三種相互作用場必然產生非線性.

張永德認為相互作用必定導致量子理論的非線性,相對論量子場論和考慮相互作用的非相對論量子力學的基本方程組都是非線性的；量子理論的量子化條件是非齊次二次型非線性的[33],因此整體而言,量子理論本質上是非線性的.

2 測不準關系

1934年K.R.Popper已經指出[34],從量子力學的基本原理可以導出測不準關系,因此它不是具有獨立地位的原理.Margenau指出只應當限于在多次測量的統計意義上理解測不準關系[35].對于時間-能量的測不準關系,爭論更大.1933年Pauli就指出,不可能引進一個時間算符,因此根本不存在能量和時間的對易關系[36].

粒子在運動,有速度v和動量p,其位置x就不確定；反之,x確定,則不運動.特別對于波.這似乎可以聯系于布朗運動.測不準應該基于無相互作用或某種特殊的波,如線性波等.前提改變,如是非線性波、孤波等時,測不準應該有所不同.基于此可以具體推導.

H.Dehmelt開創了俘獲單個電子和原子的研究,由此獲得1989年諾貝爾物理獎.20世紀80年代中期Maryland大學和Munich大學的實驗發現,打開探測器時光表現為粒子,關閉探測器時單個光子也表現出波動.1990年艾戈勒用掃描隧道顯微鏡(STM)移動氙原子排列成IBM.氙原子固定,則Δx=10-8cm,

Δp=mΔv=h/Δx.

(2)

氙質量m=131mN=1.229×105MeV/c2,所以Δv=h/mΔx=481.33 cm/s.氙原子每秒運動4.81m,此時測不準關系是否成立？1993年IBM研究可以直接看到單個電子的波動性(波函數).這些結果與測不準的關系值得研究.

量子糾纏態和遠距離移物已經被實驗證實.其難點在于測不準原理.但該原理在一定條件下也可能被突破.

波的測不準關系ΔxΔk=1表示波包長度和波長之間的測不準.這是波的性質,與量子理論無關.同時,粒子波動性及其方程導致能量的分立態(即量子化).Bohm指出測不準原理是由三個基本假定：波粒二象性,幾率,能量-動量的不可分性,互相結合導出的[37].三者的統一體是整個量子論的基礎.

原子中的測不準關系ΔEnΔt=η,即

(3)

(4)

通常是n、t測不準,更一般是

(5)

其中R是Rydberg常數.對Z、n一定的原子,如Z=1,n=1的氫原子只能是Δt→∞,或者△R不等于0,其測不準.或者ΔEn測不準,公式不成立.這就是李茲組合原理

(6)

與△t的關系,即

ΔνΔt=1.

(7)

△v→0,則Δt→∞,必須承認其在時空中無法描述.而目前光譜已經相當精確.n大時更易精確檢驗.

目前形式的波動性如果不成立[2],測不準原理就應該有所發展.例如對非線性理論[2,18].進一步,測不準關系可以推廣到各種測不準量Δpi,Δxi(△p,△E；△x,Δt)的關系.Δp相當于ΔE=(Δp)2/2m,因為ΔEΔt≥h,所以

(Δp)2Δt≥2mh;

(8)

反之Δp≥h/Δx,則ΔE=(Δp)2/2m≥h2/2m(Δx)2,所以

ΔE(Δx)2≥h2/2m.

(9)

(ΔpΔx)2≥h2除以式(8)可得

(Δx)2/Δt≥h/2m,或者ΔxΔv≥h/2m.

(10)

這與我們得到的光速測不準公式[38,39]是一致的.

然而,測不準關系與守恒定律存在不一致之處.ΔEΔt≥h,如果Δt是測量能量或能量變化ΔE所需的時間間隔,則光子穩定Δt→∞,ΔE→0,光速不變.但如此一切穩定粒子運動速度都應該不變.

場方程及其孤子解原則上可以描述粒子的軌道.它可能聯系于de Broglie-Bohm的波導理論.這樣孤子與測不準關系不一致.更一般是非線性量子理論[2,18]與測不準原理的關系.

彼此算符化的量構成共軛量.不可對易的兩個算符量不能同時測定,這就是最普適的測不準關系.在此討論其一般的數學形式,設[M,N]=MN+NM=iG.其特例是G=0時是反對易關系.G就是測不準度.彼此用算符表示：

(11)

(12)

于是ΔMΔN≥G.

(13)

3 量子理論、不可逆性和統計性

量子理論的根本困難,Prigogine等認為在于無法處理不可逆過程.它應該結合廣義熵(信息),引入微觀熵、量子熵等.量子力學是統計性的,而統計性可以描述不可逆性,所以量子力學應該描述不可逆性.

量子力學方程和分子運動論的統計方程相似,所以其具有統計性.統計性又源于摩擦和信息缺失,因為經典和量子各是任意值和離散值.

布朗運動,基態能h/2,絕對零度不能達到等都表明微觀領域的永動.布朗運動在一定條件下也許可以放大為宏觀布朗運動效應,雖然放大時可能已經輸入能量.

根據熵的定義

dS=dE/T,

(14)

引入熵必然引入溫度T.而根據

S=-klgP=-2klgψ,

(15)

ψ變化導致S變化.熵增大對應于波包必然擴散.由式(14)得

(16)

(17)

k/η是組合常數.這類似ψ=Aexp(ipμxμ/η).此時就是dS對應于四維動量.

對定態

(18)

(19)

S和t都可逆或都不可逆,二者變化成正比.封閉系統熵增大,能量守恒是定態,所以時間也有方向性.

考慮時間箭頭和統計性時,發展能量為熵.Prigogine引入微觀熵算符,這可以結合粒子物理中溫度和熵的引入方法.他的超算符導致不可逆性.這可能對應于非線性算符.更一般,可重整化的量子理論應該結合半群,引入溫度等,導出不可逆性.

假設熵與量Y共軛,ΔS=ΔE/T,ΔEΔt=(ΔS)(TΔt),所以T不變時Y=Tt.

dF/dY=dF/Tdt=[F,S]=[F,H]/T.

(20)

由此表示熵的算符為

(21)

ΔTμνΔX≥η,TμνX-XTμν=iη.

(22)

結合測不準關系

pμvνX-Xpμvν=pμxμ-xμpμ=iη,

(23)

(24)

量子力學和統計力學都基于平均值.二者應該類比發展.密度ρ方程是劉維定理,其對應Heisenberg方程,而不是Schrodinger方程.量子力學類似于統計力學發展為量子統計；統計力學類似于量子力學發展為動力學、方程.特別是量子統計應該包括托馬斯-費米方程.

量子力學、量子場論和統計性都是對多個粒子事件,對系綜成立.應該用統計學的方法全面整理、表述、修改量子力學、量子場論,然后再推廣、發展量子論.

4 量子力學方程的研究

Dirac提出[40]“不應認為量子力學的現在形式是最后的形式”,它只是“迄今為止人們能夠給出的最好的理論”,可能將來“會得到一個改進了的量子力學,使其回到決定論.”但這必須放棄某些現在認為沒有問題的基本思想[40].筆者在探討微觀相對論的基礎上,提出對極小時空,光速應存在統計起伏.特別在高維柱形卷曲空間中光速是可變的和量子化的.由此討論修改、發展相對論和量子論的可能的某些方法,并且定量提出存在勢和相互作用時幾種新的量子力學方程[41,42].

Heisenberg方程只是Poisson括號變形的經典方程.Schrodinger方程

(25)

只是pi的算符表示方程,而它都可以化為方程

(26)

這和一般的算符方程

(27)

又有所不同.

(28)

也就是Klein-Gordon(KG)方程.這是KG方程和Dirac方程之間的又一種關系.對此再求導,

(29)

即γμ?μ(m2ψ)+m(m2ψ)=0.

(30)

這是m2ψ=ψ'的Dirac方程,是求導二次的結果.這是波函數的標度變換.

廣義函數類似算符,前者可用于多重產生,粒子理論等；后者已用于量子理論,并將用于多重產生等.Poisson括號都是對易關系,應該可以推廣為反對易關系等廣義形式.

5 量子理論中的二象性問題

衍射中運動的非全同性導致整體的統計性.量子理論的各種不足可能基于原來就無法完全一致的波粒二象性[2],因此波爾才發展出互補原理.Yutaka等的實驗證明[43]單個光子具有粒子性(在縫隙處不劈裂為兩半)和波動性(具有隧穿效應,顯示出自干涉,最后反射和折射各占50%,符合粒子波的幾率性).單個光子在遠處平板上看不到干涉條紋.

二象性把連續、不連續統一起來.波動有周期性就會有一種不連續,對應著粒子.光子和粒子的衍射、折射、反射、色散等反映連續性；而光子和粒子的發射、吸收等瞬時過程則是不連續的.最小能量、hv是不連續的,而頻率v又是連續可變的.對駐波,波長、頻率都是量子化的.零點能hv/2可能與自旋s=h/2相關,二者是僅有的h的半整數.

應該從二象性及新二象性,對稱性、統計性描述量子力學、量子理論,夸克-靴帶互補等.但量子力學的某些特點,如自旋、量子統計、Pauli原理等似乎不能歸為波粒二象性.Lamehi-Rachti和Mittig用13.2 MeV和13.7 MeV的質子實驗值符合量子力學的不可分隔的預言[44].Ghirardi等提出瞬時通訊或超光速通訊是不可能的.二物體互不接觸因而沒有直接的相互作用,則對其中一物體的測量不會立刻影響對另一物體測量得到的統計結果.這稱為統計可分隔性[45].Chu討論了經典力學和量子力學的統計性起源,其中力學的基礎建立在統計上,因此應當從統計中而不是用其他方法推導出力學,并且討論了弦的作用、廣義相對論和量子力學的結合等[46].

波粒二象性是微觀粒子最基本的內秉性質,其是不確定關系和全同性原理的物理根源,是二次量子化成功的充要條件和路徑積分公設的物理基礎,其必然導致量子理論的空間非定域性、糾纏疊加和概率性[33].任何種類的波都存在類似測不準關系的表示,這也是對波動過程進行Fourier分析所得的基本結論之一,不確定關系是波動性的一個普適關系式[33].