p-adic數域上的小波集和譜集

買買提艾力·喀迪爾

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844000)

1 預備知識

(v∈，an∈{0，1，…，p-1}，av≠0).

令χ(x)∶=e2πi{x}是p上的一個加法特征，設是一個Borel集，且0

這里1Ω表示集合Ω的示性函數．

令M?GL(d，p)是p上的非奇異(d×d)矩陣所組成的集合，如果{M(Ω):M∈M}構成的一個劃分(除了零測集外)，則說集合Ω通過M乘積乘積tile等價于

譜集猜想:一個具有正有限Lebesgue測度的Borel集Ω?d是一個譜集當且僅當它是一個平移tile．

譜集猜想困惑了數學家們30年，直到2004年菲爾茲獎得主陶哲軒[2]在維數大于等于5的時候構造了一個反例說明譜集未必是tile.現在這些反例的維數降低到d≥3[3-4].至今，譜集猜想在一維或者二維空間上是否成立還不清楚.在任何局部緊的Able群上可以考慮譜集猜想.最近，范愛華等已證明譜集猜想在p-adic數域p上成立[5-6]，在高維p-adic空間上的笛卡爾積中和局部域上的向量空間上考慮了譜集猜想[7-10]，這一猜想在有限域Fp上的2-維向量空間上也成立[11]．

{φM，t(x):M∈M，t∈T}

2 主要定理的證明

證明設t∈T，M∈M，取Fourier變換，利用變量替換，對任意ξ∈有

根據等式1Ω(M*x)=1MT(Ω)(x)，引理的第二部分也成立．

引理2設t∈T，M?GL(d，p)，函數族

{φM，t(x):M∈M，t∈T}

(1)

對任意M1≠M2∈M，有

3 結論

本文主要討論了p-adic數域p上的小波理論及其有關的概念，得到了d-維p-adic空間上的具有正有限Haar測度的可測集合成為小波集的一個充分必要條件.這個條件由乘積tile和譜集來給出的.此結果將歐氏空間d上的結果推廣到非阿基米德空間上去.