考慮換道過程影響的城市交通流動力學方程

吳 中，熊天成，楊海飛

（河海大學土木與交通學院，江蘇 南京210098）

城市主干道、快速路的換道區、交織區因受客觀條件限制，已經成為約束城市交通通行能力提升的瓶頸之一[1]。 在有限的時空范圍內換道時，主線車流受側向換道流率和換道行為發生時加減速過程的影響，可能發生明顯的速度波動和交通流紊亂，通行能力也會受到損失[2]。 研究城市車流高密度條件下的換道行為，有助于提高對城市道路產生擁堵的機理認識，也是提升科學管理與控制城市交通流的重要理論依據。 作為描述城市交通一般規律的交通流方程，需將車輛換道行為（包括換道過程）對交通流的影響考慮在內。

1 交通流方程與換道模型發展

國外對交通流方程的研究起步較早，大多依靠對高速公路或隧道等連續交通設施的交通流觀測進行研究，已形成了以LWR 模型為代表的守恒類方程[3]，其求解需要和基本圖模型聯立；此外，還形成了參考流體動力學動量方程、引入車輛守恒關系的速度梯度類動力學方程[4]，Daganzo（1995）[5]在速度梯度的引入和替代密度梯度上做出了重大貢獻。

描述車輛變道的換道模型仍然在發展之中，目前主要成果分為換道決策(lane-changing decision，LCD)模型和換道影響（lane-changing impact，LCI）模型兩大類[6]。 LCD 模型通常是換道決策經驗的總結，由換道規則表達，并設定包括安全距離、車頭時距等多參數的效益選擇，但模型難以量化換道流量和換道過程對道路通行能力的影響，其代表模型有Gipps 類模型[7]和Ahmed 效用選擇類模型[8]等。 LCI 模型則主要考慮換道行為發生后或者換道行為發生過程中對車流的影響。 Laval 和Daganzo（2006）[9]提出了高密度條件下的自由換道車流遵循各車道速度平衡的原則， 克服了換道后主線車流沒有明顯變速的缺陷； 張培雷、 吳曉層等（2006）[10]提出了考慮側向駛入駛出的多車道非均衡交通流模型及其Godunov 差分計算方法，對高密度交織車流有較好的適應性；朱輝（2008）[11]結合實測數據進行綜合分析，提出了三車道交織的Payne 方程類模型；Jin（2013）[12]提出了考慮換道強度的側向基本圖模型，重點研究了換道時空條件、道路幾何特征以及換道差異對車流速度產生的影響；吳中（2018）等[13]提出了考慮交織影響累積效應的交通流模型。 此外，學者還提出了解釋換道機理的間隙接受模型和加減速接受模型[14]。

在應用方面，LCD 模型提供的換道決策流程，主要作為換道的元胞自動機模型的依據。 LCI 模型則考慮換道式引起的車流密度及相應的速度變化，其思想可通過守恒方程或動力學方程表達。 Laval 模型和Jin 模型基于守恒方程描述了換道過程前后的穩定車流（車流加速度為0）狀態的變化；文獻[11]并未給出換道影響項的具體表達；文獻[10]和文獻[13]模型雖然基于速度梯度的動力學方程，但都是將相鄰車道速度差作為換道難度考慮的，加減速系數不反映換道車輛在整個道路層面上的競爭與平衡。

本文通過對Laval 模型的深入挖掘，考慮換道競爭與平衡狀態中的車流加速度變化，提出了一種城市交通流的動力學方程，主要針對城市高密度交通流的換道過程影響。

2 換道競爭與平衡狀態理論

Laval 和Daganzo[9]提出的高密度交通流狀態下的適用于高速公路的換道模型具有代表性。 基于運動波（kinematic wave，KW）理論的擴展分析，模型將LWR 模型右端項改寫為非齊次形式

式中：kl和ql分別為l 車道的密度和流量；?l′l、?ll′為單位時間內側向換道流率。

Laval 模型表達了車輛換道競爭與平衡過程，模型考慮換道區內各車道的速度平衡和換道極限，在滿足競爭平衡原則的選擇比例下產生自由換道流率， 并通過目標車道最大可用容量對強制換道流率進行限制。模型的核心是通過換道折減系數影響單位時間、單位長度內的側向換道流率。 模型中換道折減系數可以表示為

式中：μl為l 車道的單位時間內最大可用容量；Tl為l 車道除駛出流量以外的前進流量；Ll′l為設計換道流率，它表示單位時間內相鄰車道所有需要換道的流率。 換道折減系數既表示車輛換道的難度，也是多車道換道平衡的依據。

由于競爭與平衡需在離散狀態下表達，用i 表示道路空間坐標，j 表示時間坐標，對式（1）進行離散處理，設定仿真空間步長Δx=uf·Δt，計算過程可表達如下

式中：Sji，l=Δt·min{ukji，Q}為單位時間內l 車道總的行進車輛數；Q 為l 車道最大通過能力；w 為l 車道擁擠狀態下的阻塞波波速；kjam為l 車道的阻塞密度。

模型中，在自由換道時換道車流遵循車流速度的平衡，強制換道也必須使得車流進入目標車道而不致其完全堵塞，Daganzo 利用三角形基本圖給出了可用容量μl的計算式。 依據Daganzo（1997）[15]提出的換道規則和折減系數，Laval 模型將自由、強制換道行為綜合考慮，給出了表達換道競爭與平衡狀態的守恒類方程及其輔助差分式。 然而，Laval 模型無法反映偏離基本圖的交通流狀態，也不能任意表達車流加減速過程，其應用也受到了一定限制。

3 考慮換道過程影響的交通流方程

3.1 控制方程

基于交通流動力學方程成果[16]并受Laval 模型的啟發，本文提出包含換道過程影響項的交通流動力學方程，見式（8）

其中

式（8）中：方程左端項為車流加速度，右端第一項（ue，l-ul）/τ 為跟馳模型中因偏移平衡速度而產生的加減速回歸項，ue，l為l 車道的平衡速度，ul是l 車道的車流平均速度；右端第二項（1/τ）·（γ/kl）·（?ul/?x）為前端加速度改變引起的后端車流加速度變化項，其中γ=-（du/dk），為大于0 的常數，kl為l 車道的車流密度。 考慮跟馳過程中駕駛員的反應延遲，因此上述兩項加速度變化項存在一個滯后時間τ，能夠更準確地描述跟馳中的動態變化。 式（9）中：δ=（ul-ue，l）/ul，Ql-1→l，Ql+1→l，Ql→l-1，Ql→l+1分別為第l-1、l+1 車道側向駛入第l 車道和第l 車道側向駛出至第l-1、l+1 車道的側向流率，pcu/（km/h），該項表達了換道完成后因車道密度改變引起平衡速度變化而產生的加速度變化。

在擁擠狀態下（最佳密度km至阻塞密度kjam之間），車輛的換道過程會顯著影響上游交通流狀態，產生兩股及以上車道交通流之間的粘性，這種影響的強度由式（10）表達。

3.2 換道過程影響項

現有研究表明，目標車道車流在非擁擠狀態下，車頭時距較大，車輛換道過程順暢（不考慮大量車輛在同一時刻換道的特殊情況），換道過程中幾乎不產生加速度影響，即（k＜km）時ξ 項為0，此時式（8）可以用于描述低密度自由換道車流的交通特征。 而在高密度狀態下，換道車輛未必能順暢并入，且經常伴有加減速、轉向、等待等過程，車輛從轉向開始一直到駛入目標車道車隊中的過程往往會影響車流的運行狀態。 一般而言，影響換道難易程度的最主要因素是目標車道可用容量。 如果目標車道剩余可用容量不足，車輛在換道過程中速度降低，不僅對目標車道有影響，同時也對出發車道有影響，產生所謂的車道交通流之間的粘性，影響程度與換道流率相關。 車輛并入過程越困難，對相鄰車道車流速度的影響就越大。

ξ 項僅在目標車道車流處于擁擠時才發揮作用，且換道流率越大，側向干擾的強度就越大。 式（8）～式（10）同樣適用于非擁擠狀態下的交通流，只是換道過程影響為0。

3.3 參數標定

式（10）中，無量綱換道影響系數φ（εl）可以通過動力學方程與Laval 模型的計算比較來確定。 在給定工況、給定基本圖的條件下，利用Laval 模型差分式計算車流換道前后的各個狀態參數，并將計算所得參數代入動力學方程（8）差分計算格式，求解不同工況下φ（ε）的值。 在兩模型差分計算中，空間和時間網格的剖分完全一致，初始條件和邊界條件以及基本圖模型也一致， 可以將Laval 模型換道狀態變化等效地轉化為動力學方程中車流加速度變化，從而得到φ（ε）的值。

不失一般性，設定兩車道換道區，上游車流以均勻分布駛入，考察車輛從出發車道并入目標車道的工況。 選擇工況都發生在擁擠狀態內，即車流密度km＜k＜kjam(km為車道最佳密度)，確保目標車道車流處于高密度狀態。 標定得到高密度條件下的換道難度ε 和換道影響系數φ （ε） 的關系，如圖1 所示。

圖1 高密度條件下的車輛換道影響系數變化情況Fig.1 Change of lane-changing influence coefficient under high-density condition

難度的定義不僅與換道流率有關，也與目標車道剩余容量、總容量有關，難度綜合反映了換道車流并入的難易程度。在密度相對較低的情況下，換道難度ε 增加時φ（ε）增速較慢（圖1 中E3、E4曲線）；而在高密度條件下，換道難度ε 增加時φ（ε）的指數增長較為快（圖1 中E3、E4曲線）。

此外，在換道難度低于0.2 時車流基本處在穩定狀態，加速度變化不大，換道影響接近常量。 當換道難度高于0.8 時，依據Laval 模型計算的排隊換道流率很大，側向車流基本處于阻塞狀態。

φ（ε）可用式（11）擬合

式（11）中：ε0=0.2 為設定的換道影響閾值；A、b 為待定系數，在實際應用中，因道路條件、天氣條件等發生變化，可以通過事先的調查數據進行標定，也可參考相似條件的其它換道數據進行線性回歸分析獲得；c（ul）為換道難度較低時的常量，與目標車道車流速度相關。

表1 擬合結果檢驗Tab.1 Test of regression equation

4 實例驗證

根據2020 年8 月18 日南京市鼓樓區江東快速路草場門隧道出口至定淮門大街隧道入口段的交織區路段早高峰8:05—8:35 的通勤交通量建立模型，研究城市道路交織區在高密度條件下（km＜k＜kjam）的車輛換道過程及換道影響。該路段入口處為4 車道，出口處減少為3 車道，高峰小時內車道1-2、2-3 間存在大量駛入和駛出的換道車輛且強制換道比例較大；車道3-4 間車流主要發生自由換道，僅在部分時段的擁擠狀態下產生強制換道。 取Δx=15 m，Δt=2 s。 采用三角形基本圖，單車道限速uf=40 km/h，阻塞波波速w=20 km/h，阻塞密度kjam=150 pcu/km，滯后時間τ=3 s。

圖2 研究路段空間劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of space division at research road section

選取密度較高且短期內發生多次自由、強制換道的時段(8∶23∶30～8∶24∶00)進行檢驗。 網格模型中有流量為1 800 pcu/h、密度接近100 pcu/km 的初始車流，仿真時段內輸入流量為900～1 800 pcu/h，φ（ε）由式（11）、式（12）及表1 確定。 網格模型中車流速度變化過程見圖3。

圖3（a）中計算開始的前4 個時間步內，由于網格上游相鄰車道存在大量排隊換道車輛，車道1 的整體車速不斷降低。 在第5 個時間步內發生了一次瞬時速度為27 km/h 的快速側向駛入，但由于此時網格2 內的密度較低（83.3 pcu/km）且后車跟馳距離較大，網格內的車流速度在下一個時間步內繼續下降。

圖3（b）中，仿真開始后也出現了明顯的速度下降。 在第5 個時間步內，網格3 在高密度（124 pcu/km）情況下發生一次強制側向駛入，后端車流速度迅速下降，然后緩慢提升，一段時間后趨于穩定。

圖3 車道1-網格2& 網格3 的速度實測數據與模型計算數據對比Fig.3 Comparison of measured speed data and model calculation data of Grid 2 and Grid 3 in Lane 1

從圖3 可以看出，由于車道1 內密度較大且相鄰車道排隊換道流率較大，車流速度整體呈下降趨勢，且增加的幅度較小、穩定性較低。在高密度條件下發生的強制換道導致的車流速度降低更為明顯。模型結果接近實測數據，并表現出了車流實際運行中的速度調整過程，雖然數據有波動，但所提的動力學方程得到初步驗證，計算誤差比Laval 模型有所降低。 模型計算相對誤差見表2。

表2 實測數據與模型計算數據相對誤差值Tab.2 Relative error between measured data and model calculated data

5 結論

實驗結果表明，引入描述換道競爭與平衡狀態的換道過程影響項，可以使交通流方程更加準確地描述城市交通流高密度條件下的換道行為，并列求解多個車道的本文交通流動力學方程可以研究因換道誘發的城市道路擁堵狀態的演變，也為研究特殊天氣或工況下交通流擁堵的形成提供了一種新方法。

Laval 模型可以描述自由換道與強制換道，由換道折減系數予以區分。 動力學方程的換道難度基于上述換道折減系數，可以確定城市道路交通的強制換道流率以及排隊換道流率在相鄰車道的等待累積過程。

從交通流方程完備性考慮，可以認為換道過程影響項是交通流方程的粘性項，其性質與流體粘性相似。流體動力學N-S 方程描述的三維空間內一個方向上的粘性項是由X 方向速度對Y、Z 兩個方向的二階變化率來確定的。 交通流中一個車道可看作一個維度，車道上交通流的粘性項應由跨越相鄰車道線的換道行為決定。 實例驗證本文方程表現出較好的精度，這也反映出Laval 模型的合理性。