巧用“類比” 活學“實數”

潘海波

從前，有個縣遭了災，村民們推薦一個老者去衙門報告災情，請求減點稅。老者來到縣衙，縣官問他：“小麥收了幾成？”老者答：“五成。”“棉花呢？”“三成。”“玉米呢？”“兩成。”縣官聽了大怒道：“有了十成收獲，年景不壞，你還來報災，真是大膽！”老者忙說：“我活了180歲，還沒有遇到過如此嚴重的災情啊！”縣官聽了說：“胡說！你怎么活了180歲呢？”老者說：“大兒子50歲，二兒子30歲，小兒子20歲，老漢我今年80歲，合起來正好180歲，一點兒也不胡說。”縣官拍著桌子說：“哪有如此算法？”老者說：“大老爺息怒！剛才你計算收成，不也是這樣算的嗎？”

這則故事中，老者駁斥昏庸無道的縣官，用的就是類比的方法。在實際生活中，我們把一些“似曾相識”的事物加以比較，常常會有新的發現。在數學學習中，“把類似問題進行比較和聯想，由一個數學對象已知的性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”，這種思維方法就是類比。

實數的知識點與之前許多知識點有很多類似之處，下面我們將采用類比的方法加以學習。

一、概念類比

1.平方根與立方根。

從平方根與立方根的概念上看，兩者的表述方式完全一樣：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫二次方根，求一個數的平方根的運算叫作開平方，開平方與平方互為逆運算;如果一個數的立方等于a，那么這個數叫作a的立方根，也叫三次方根，求一個數的立方根的運算叫作開立方，開立方與立方互為逆運算。

從方根的個數上看，只有非負數才有平方根，正數有兩個平方根，它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根;任何一個數都有立方根，正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數。

從符號表示上看，一個數a的平方根，記作±[a];一個數a的立方根，記作[a3]。

2.有理數與實數的其他概念。

我們知道：一個正有理數的絕對值是它本身，一個負有理數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0。類似地：一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0。事實上，無論是在有理數范圍內，還是在實數范圍內，相反數、倒數的意義及求法都是一樣的。

另外，有理數與實數在數軸上的點的對應關系也是類似的。任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示，任何一個實數也都可以用數軸上的點來表示;反過來，我們要注意，數軸上的點都可以表示一個實數，這里既包括有理數，又包括無理數，而不僅僅只表示一個有理數。

二、分類類比

有理數，將其按性質可以分為整數和分數（如圖1），按符號可以分為正有理數、0和負有理數（如圖2）。

類似地，實數按性質可以分為有理數和無理數（如圖3），按符號可以分為正實數、0和負實數（如圖4）。

三、運算類比

在有理數范圍內，運算法則包括加、減、乘、除、乘方。運算順序為：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里的。運算律有加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。同樣，在實數范圍內，這些運算法則、運算順序、運算律仍然適用。

著名數學家波利亞說過：“類比是一個偉大的引路人。”希望同學們在以后的學習中不斷領會，并加強運用。

（作者單位：江蘇省常州市實驗初級中學天寧分校）