基于不確定性理論的乳品降膜蒸發器設計

張 霞 田 瑋 朱傳琪 張安朝 吳海濱

(1.天津市輕工與食品工程機械裝備集成設計與在線監控重點實驗室，天津 300222；2.天津科技大學機械工程學院，天津 300222)

乳品加工過程中，為了避免牛奶因為蒸發脫水導致其熱敏感性物質遭到破壞，常采用降膜蒸發器進行乳品蒸發濃縮。降膜蒸發器具有較高的傳熱系數和較低的溫差，且物料停留時間短，適用于熱敏性物料的濃縮[1]。但同時降膜蒸發裝置也具有高能耗的特性，對環境有非常顯著的影響[2-3]，因而對蒸發器的傳熱性能、設計方法等進行研究有重大的現實意義。Gourdon等[4]研究了液體降膜的流動特性，發現干物質含量、流速、蒸發溫度都會對其產生明顯影響，而且流量、氣泡和蒸發傳熱系數均與熱流密度相關。而且依據傳熱原理開發出牛奶降膜蒸發過程的計算工具，計算結果表明壓降通過對飽和溫度的影響[5]，從而影響蒸發器傳熱性能。Díaz-ovalle等[6]在研究食品熱處理過程中產生污垢現象時，發現污垢是牛奶熱處理過程中不可避免的。牛奶蒸發過程在非最佳操作條件下會產生積垢，對蒸發器的傳熱性能產生副作用。因此，建立了考慮污垢厚度、膜厚、溫度和干物質含量等變量的降膜蒸發器結垢模型，用來預測污垢的形成。Zhang等[7]建立了降膜蒸發器的性能預測模型，并比較常規五效蒸發和機械蒸汽再壓縮三效蒸發的能耗情況。Madoumier等[8]利用化工過程模擬的流程模擬方法，提出了一種在化工過程模擬中模擬食品液體物性的方法，并將這種方法應用于牛奶蒸發過程中的熱容、沸點升高、導熱系數、密度、黏度、表面張力等特性分析中。

國內外學者的研究對深入了解乳品蒸發過程中的降膜流動和傳熱特性有很大作用，但對于牛奶蒸發過程中的傳熱不確定性和降膜蒸發器設計過程中的不確定性鮮有研究。牛奶蒸發器在設計和操作過程中都有非常大的不確定性，分為參數和模型兩類不確定性，參數不確定性指進料溫度、進料濃度、蒸發溫度等在合理波動范圍內的變化；模型不確定性指計算蒸發傳熱時采用的不同傳熱關聯式導致的計算誤差。如果對于這些不確定性沒有充分考慮，將導致設計出的蒸發器不能正常地在實際操作條件中運行，進而導致產品質量不合格或能耗過高。全面考慮這些不確定性的影響可以精確、合理地設計降膜蒸發器，降低制造成本，并提高設備操作可靠性。此外，分析乳品降膜蒸發器傳熱性能不確定性時所采用的研究思路和研究方法，對于合理分析其他類型換熱器性能的不確定性也有重要的理論借鑒意義。

1 研究方法

以全脂生牛奶作為流體物料，三效乳品降膜蒸發器為計算模型，采用蒙特卡洛隨機抽樣法，建立三效降膜蒸發器傳熱面積計算模型，分析研究參數和模型的不確定性對降膜蒸發器傳熱面積設計計算的影響。多效蒸發器是使用上一效的二次蒸汽作為下一效的加熱蒸汽，因其節能減耗的特點被廣泛用于乳制品的蒸發濃縮過程中。在降膜蒸發器中，料液通過分布器被均勻地分配到所有管道上，進入垂直管上部，在重力的作用下呈膜狀在管的內表面向下流動[9]。根據傳熱方程，在降膜蒸發器的工藝設計中，總傳熱系數根據式(1)計算：

Q=UA(TV-TL)，

(1)

式中：

Q——傳熱量，W；

U——總傳熱系數，W/(m2·K)；

A——傳熱面積，m2；

TV——加熱蒸汽溫度，℃；

TL——蒸發溫度，℃。

三效乳品降膜蒸發器蒸發量為6 000 kg/h，三效的蒸發溫度依次為70，59，48 ℃，加熱源是81 ℃的生蒸汽，物料入口牛奶濃度11.5%，出料牛奶濃度46%。降膜蒸發器采用06Cr19Ni10不銹鋼換熱管，管徑Φ50 mm×1.5 mm，管長6 m，管壁導熱系數為46 W/(m·K)。在降膜蒸發器的設計計算過程中，需要計算物料的熱物理性質，黏度、比熱容、密度和導熱系數是牛奶較為重要的4種物理性質，其計算公式：

(2)[10]

ρ=1 042.01-0.37T+3.6×10-4T，

(3)[11]

Cp=3 833.194 1-0.280 083-1.758 6T-0.109 81×10-4X2+0.234 1×10-2XT+0.050 4T2，

(4)[12]

λ=(326.58+1.041 2T-3.37×10-3T2)(0.46+0.54X)×1.73×10-3，

(5)[8]

式中：

μ——黏度，Pa·s；

ρ——密度，kg/m3；

Cp——比熱容，J/(kg·℃)；

λ——導熱系數，W/(m·K)；

T——溫度，℃；

X——濃度，%。

1.1 定量化降膜蒸發器設計不確定性因素

為了定量化降膜器設計過程中蒸發傳熱因素，將主要影響因素分為參數不確定性和模型不確定性兩類。參數不確定性分為乳品進口濃度和蒸發溫度，模型不確定性分為管內傳熱和管外傳熱關聯式。

1.1.1 參數不確定性 在降膜蒸發裝置中，濃縮將使牛奶的許多性質發生變化，包括離子強度、pH以及熱物理性質[13]。對蒸發傳熱影響最大的流體物性是黏度，其他較為重要的物理性質有密度、比熱容和導熱系數[14]。蒸發過程中，牛奶的物理性質會隨蒸發溫度和牛奶干物質含量而改變。在蒸發器進料處，由于奶源不同，很難確保每一次蒸發時進口的牛奶干物質含量相同，且蒸發過程中，由于測量及控制誤差，蒸發溫度存在浮動，那么不確定性參數牛奶濃度和蒸發溫度會對計算總傳熱系數產生影響，從而影響傳熱面積的計算。奶源不同，生牛乳濃度會有所不同，一般在11.5%～12.0%[15]。牛奶屬于熱敏性物料，蒸發溫度不宜過高，不超過72 ℃。因此，假設牛奶濃度和蒸發溫度均服從均勻分布，采用蒙特卡洛隨機抽樣方法，在牛奶濃度(11.5%～12.0%)和蒸發溫度(69～71 ℃)分布范圍內抽取樣本進行計算。

1.1.2 模型不確定性 在降膜蒸發器傳熱面積設計計算過程中，總傳熱系數計算至關重要。在影響降膜蒸發器總傳熱系數的不確定因素中，模型的不確定性主要考慮物料側管內與冷凝管外的分傳熱系數關聯式，總傳熱系統的計算公式：

(6)

式中：

hi——管內分傳熱系數，W/(m2·K)；

ho——管外分傳熱系數，W/(m2·K)；

di——管內徑，m；

do——管外徑，m；

dm——平均管徑，m；

Rdi——管內污垢熱阻，m2·K/W；

Rdo——管外污垢熱阻，m2·K/W；

λ——管壁導熱系數，W/(m·K)。

蒸發過程中污垢熱阻的影響非常復雜[16]，管內污垢熱阻選為1.76×10-4m2·K/W，管外污垢熱阻設為0。

不同學者總結出的管內和管外試驗關聯式如式(7)～(14)所示。

料液側管內分傳熱系數關聯式：

Nu=1.1Re-0.333，

(7)[17]

Nu=0.606Re-0.22，

(8)[17]

Nu=[(0.008 5Re0.2Pr0.65)2+1.43Re-0.3332]0.5，

(9)[5]

Nu=1.663 6Re-0.264 8Pr0.159 2，

(10)[18]

hi=2.65Re-0.158Ka0.056 3，

(11)[19]

式中：

Nu——努塞爾數；

Re——雷諾數；

Pr——普朗特數；

Ka——卡皮查數；

hi——管內分傳熱系數，W/(m2·K)。

冷凝側管外分傳熱系數關聯式：

ho=λlρl0.333g0.667μl-0.667(Re-0.44+5.82×10-6Re0.8Pr0.667)0.5，

(12)[20]

(13)[21]

(14)[22]

式中：

μl——水黏度，Pa·s；

ρl——水密度，kg/m3；

ρv——水蒸氣密度，kg/m3；

λl——水導熱系數，W/(m·K)；

Re——雷諾數；

Pr——普朗特數；

ho——管外分傳熱系數，W/(m2·K)。

這些試驗關聯式用于研究傳熱模型對總傳熱系數的不確定性影響，同時也用于最終蒸發器傳熱面積計算。管內乳品的分傳熱系數主要受牛奶流動特性、牛奶熱力學狀態、結垢等情況的影響。Adib等[23]總結和分析了不同的管內試驗關聯式，比較了式(12)、(13)和(14)的管內傳熱試驗關聯式在相同條件下的計算值。

管外的冷凝分傳熱系數主要受加熱蒸汽和管子排布等因素的影響。Broom[20]提供了一個在Chen等的試驗關聯式的基礎上精度更高的試驗關聯式。HTRI(Heat Transfer Research,Inc.)[21]根據工程經驗數據，推薦了一個可用于管外冷凝的經驗關聯式，也可用于換熱器中管束冷凝的情況。林紀方等[22]依據前人試驗數據，推導出一個適用于高、低速冷凝氣流并層流與湍流區域都適用的普遍關聯式。這3個試驗關聯式的使用范圍各不相同，由于實際工程問題的使用條件很難與這些公式得出時的試驗條件準確對應，研究中根據模型集成法聯合使用這些試驗關聯式，以提高模型預測可靠性。

1.2 降膜蒸發器不確定性設計分析方法

蒙特卡洛模擬法是在自變量分布已知的情況下，求因變量分布的一種有效方法，是一種基于概率論和統計分析的基礎方法。首先需要將所求問題與概率模型相關聯，再經過模擬抽樣、數據分析來進行最后的求解。

圖1為研究降膜蒸發器不確定性設計的技術路線圖。如圖1所示，首先假設獨立變量蒸發溫度和入口濃度是均勻分布，采用蒙特卡洛隨機抽樣法在兩個設計參數分布范圍內抽取1 000組樣本，代入計算模型進行蒸發傳熱計算。在每一次計算總傳熱系數與傳熱面積時，采用迭代計算的方法，首先假設不同效中的蒸發量和總傳熱系數值，然后將不同管內與管外的試驗關聯式兩兩組合，每個關聯式賦予權重后進行計算，得到最終的總傳熱系數和傳熱面積分布，并與假設值比較，如果相對誤差小于4%，則認為所得結果符合要求。因此，每一個管內和管外傳熱關聯式使用1 000個總傳熱系數，并得到1 000個傳熱面積數值，用于確定三效蒸發器設計面積的累積分布函數和概率密度函數。

圖1 降膜蒸發器不確定性設計技術路線圖Figure 1 Technology roadmap for uncertainty design of falling film evaporation

考慮計算精度和計算成本后，確定抽樣次數為1 000。如圖2所示，隨著樣本數量的增加，三效傳熱面積的變化逐漸趨于平穩。在抽樣次數達到400次后，三效蒸發器的中位數相對抽樣誤差都可以小于0.5%，對應的傳熱面積約為0.4 m2，對于蒸發器設計而言已有足夠精度，可認為達到收斂。對于2.5%和97.5%分位數蒸發器設計面積，需要更多的抽樣次數達到收斂，在600次抽樣可達到相對誤差小于0.5%，為了確保結果可靠性，研究中選定1 000次為抽樣次數。

對于使用不同關聯式導致的模型不確定性，采用類似于機器學習理論中的集成學習法，能將多個不同的模型聚合從而提高模型性能。若在蒸發器信息模糊的情況下，可以通過每個模型權重相等的bagging方法計算總傳熱系數，從而避免在聯合使用多個試驗關聯式的情況下，造成設計傳熱面積不確定性過大的問題。如果蒸發器有更加完善的信息，且與文獻報道的試驗條件符合度高，也可以根據所設計蒸發器的具體應用情況和文獻試驗數據的分布，運用類似boosting的機器學習算法賦予模型不同的權重。在這種情況下，計算權重的方法可以采用近似貝葉斯法反演不同的模型權重。此外，也可以采用主觀賦權法，即根據傳熱學專家投票決定屬性權重的方法[27-28]，將不同試驗關聯式模型賦予不同權重，進而提高總傳熱系數計算模型可靠性。在蒸發器工程設計中，通過采用如上所述的不同模型集成方法，降低模型方差和偏差，提高最終傳熱模型的預測精度[29-30]。

圖2 樣本數量對傳熱面積分布的影響Figure 2 Effects of different size of the sample on heat transfer area distribution

2 結果與討論

2.1 蒸發器總傳熱系數不確定性的結果分析

當參數不變時，即固定三效的入口濃度和蒸發溫度，選取5個不同管內分傳熱系數和3個管外分傳熱系數的試驗關聯式，研究模型不確定性對傳熱性能的影響。圖3為不同的管內試驗關聯式與管外試驗關聯式模型計算對比圖。圖3(a)是三效蒸發溫度依次為70，59，48 ℃，第一效入口濃度為11.5%的情況下，選取式(7)～(14)的管內分傳熱系數試驗關聯式進行建模研究，隨著牛奶從前一效逐效流向后面各效，其濃度增高，蒸發溫度降低，致使溶液的黏度增加，降膜蒸發器的傳熱系數下降。以第一效為例，這5個管內試驗關聯式計算數值最高值6 055.656 W/(m2·K)，最低值為2 146.201 W/(m2·K)，相差64.5%。由于式(7)推導過程假設過多，而且有些假設與實際情況誤差很大，因此其理論值較低，而且采用純工質進行試驗推導試驗關聯式——式(8)的理論值也較低[17]。圖3(b)是第一效蒸汽溫度為81 ℃時，選取式(12)、(13)和(14)的管外分傳熱系數試驗關聯式進行對比研究，其最高值為7 497.301 W/(m2·K)，最低值為4 059.379 W/(m2·K)，相差約45.8%。可以看出，參數確定時不同管內與管外試驗關聯式的計算結果相差較大，在設計計算時使用不同關聯式計算會產生較大誤差。

降膜蒸發器計算中將5種管內與3種管外試驗關聯式兩兩組合得15種組合模型，其計算得到的第一效總傳熱系數如表1所示。15種模型組合中總傳熱系數的中位數最小為1 104.33 W/(m2·K)，最大為2 006.80 W/(m2·K)，相差902.47 W/(m2·K)。圖4為蒸發溫度和進料濃度均變化時降膜蒸發器三效總傳熱系數的分布。由圖4可知，三效的總傳熱系數的概率密度均為先增大后減小，在中位數處密度最大。對比三效的總傳熱系數小提琴圖，第一效的總傳熱系數分布最為集中，第三效的總傳熱系數分布最為分散。采用模型集成的方法計算出的三效總傳熱數的中位數分別為1 472.65，1 435.61，1 363.73 W/(m2·K)，變異系數分別為0.009 83，0.011 4，0.013 4。由此可知，第三效蒸發器總傳熱系數的離散程度最大，第一效的總傳熱系數離散程度最小。總傳熱系數的計算是降膜蒸發器設計計算的關鍵，因此總傳熱系數的不確定性會對最終傳熱面積的確定產生很大影響。

2.2 基于概率和模型平均蒸發器傳熱面積的結果分析

降膜蒸發器三效傳熱面積的累積分布函數和概率密度函數圖如圖5所示，3個圖可用于確定滿足不同概率情況下所需的蒸發器設計面積。如果第一效面積取77 m2時，則只有5%可能性滿足設計條件不確定性；如果面積提高到82 m2時，則有50%可能性滿足設計條件不確定性；如果需要將設計概率提高到95%，則需要將面積提高到88 m2。對于第二效蒸發器，如果將設計滿足概率由50%提高到95%，則換熱面積需要從82 m2增加到92 m2，面積需要提高10.87%。對于第三效蒸發器，如果將設計滿足概率由50%提高到95%，則換熱面積需要從88 m2增加到100 m2，面積需要提高12%。因此，研究所得的傳熱面積概率分布圖可根據不同概率設計要求，定量確定所需的蒸發器面積。在蒸發器設計計算過程中，確定蒸發器的生產任務和操作條件后，通過考慮參數和模型不確定性合理設計蒸發器傳熱面積，有助于提高蒸發器設計可靠性。若根據使用單位要求蒸發器操作彈性較小，可以選擇比較保守的設計概率(如60%)用于工程設計；若使用單位希望蒸發器操作彈性較大，可以將概率提高(如90%)以增加蒸發器面積。定量化蒸發器的操作彈性范圍，可看作選定蒸發器后的校核性問題，同樣可以采用文中的不確定性方法，將蒸發器面積設為定值，計算得到符合最終濃度要求的蒸發器操作條件(即操作參數的不確定性)。

圖3 三效蒸發器中不同管內和管外試驗關聯式所得分傳熱系數的對比Figure 3 Comparison of heat transfer coefficients scored by different experimental correlations in and outside the tube in a three-effect evaporator

表1 降膜蒸發器第一效5種管內和3種管外傳熱模型共15組總傳熱系數中位數Table 1 Median of the total heat transfer coefficient of dairy first-effect falling film evaporator from 5 inside and 3 outside heat transfer coefficients W/(m2·K)

圖4 蒸發溫度和進料濃度變化時蒸發器三效總傳熱系數分布圖Figure 4 Distribution of the total heat transfer coefficient of the three-effect evaporator for the evaporation temperature and feed concentration change

虛線分別為5%，50%，95%的傳熱面積數據圖5 三效傳熱面積累積分布函數圖Figure 5 Cumulative distribution function diagram of three-effect heat transfer area

3 結論

(1) 提出基于概率和模型集成的乳品降膜蒸發器設計方法，充分考慮降膜蒸發器設計和操作過程中不同類型不確定性，以設計出高可靠性低能耗的降膜蒸發器，這種基于不確定性理論的設計方法也適用于食品工業中其他類型蒸發器。

(2) 與蒸發器設計中的參數不確定性相比，由于模型不確定性導致乳品降膜蒸發性能的變化更加顯著，所以提出可調節模型權重的模型集成法，提高蒸發器傳熱模型預測可靠性。

(3) 降膜蒸發器設計中管內和管外的不同傳熱系數關聯式，導致蒸發器傳熱性能不確定性，管內分傳熱系數最大相差63%，管外分傳熱系數最大相差45%，管內傳熱性能不確定性更為顯著，需要在降膜蒸發設計過程中認真考慮處理方法。

(4) 更多降膜蒸發傳熱試驗關聯式的不確定性集成問題，以及其他蒸發器設計參數(例如管厚度、材料導熱系數等)同樣具有不確定性，尚需深入研究。