色噪聲下基于差分聚焦的寬帶DOA估計方法

曹司磊，曾維貴，王 磊

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001)

波達(dá)方向(direction-of-arrival,DOA)估計是陣列信號處理中的重要內(nèi)容，在雷達(dá)、通信及醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.空間譜方法是DOA估計的經(jīng)典方法，如多信號分類(multiple signal classification,MUSIC)方法、旋轉(zhuǎn)子空間不變(estimating signal parameter via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法等.但是，傳統(tǒng)的空間譜方法一般假設(shè)空間噪聲為高斯均勻白噪聲.在實際應(yīng)用中，大多數(shù)陣列信號處理中面臨色噪聲環(huán)境.因此，有學(xué)者提出了色噪聲環(huán)境下的陣列DOA估計改進(jìn)方法，主要可分為3類：參數(shù)化方法[1]、四階累積量算法[2-3]及協(xié)方差矩陣差分法[4-5].參數(shù)化方法一般需要預(yù)先知道噪聲協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)特征，以此來進(jìn)行預(yù)白化處理；四階累積量算法通過構(gòu)造觀測信號的四階累積量來消除非高斯色噪聲影響；協(xié)方差差分法一般假設(shè)色噪聲協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)，并通過將觀測信號協(xié)方差矩陣與線性變換后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分處理來消除色噪聲影響.

上述針對色噪聲環(huán)境下DOA估計算法的大多數(shù)只適用于窄帶陣列，在寬帶陣列中的使用受限.目前，寬帶DOA估計主要解決途徑有：基于頻率分解的非相干信號子空間方法[6-7](incoherent signal subspace method, ISSM)及基于頻率聚焦的相干信號子空間方法[8-10](coherent signal subspace method,CSSM).ISSM方法對信噪比要求較高，低信噪比條件下性能急劇下降；CSSM方法在低信噪比條件下性能優(yōu)于ISSM方法，但存在的問題是需要預(yù)估或者假設(shè)信號角度，以此來構(gòu)建信號子空間，這種角度估計會導(dǎo)致聚焦矩陣出現(xiàn)偏差，最終導(dǎo)致DOA估計誤差.為避免CSSM方法中角度預(yù)估帶來的失配誤差，有學(xué)者提出了改進(jìn)算法.文獻(xiàn)[11]提出基于頻域時延補償?shù)腄OA估計方法(DCF)，避免了角度預(yù)估的問題，但是算法復(fù)雜度較高，用于實時陣列信號處理難度較大.文獻(xiàn)[12]提出使用陣列自相關(guān)矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，避免了角度預(yù)估帶來的誤差，但是算法的估計性能有所下降.

結(jié)合來看，對于色噪聲下的寬帶陣列DOA估計問題，研究者提出解決一些方法.文獻(xiàn)[13]提出一種低復(fù)雜度寬帶色噪聲DOA估計方法，利用空間差分技術(shù)去除Toeplitz結(jié)構(gòu)的色噪聲，然后通過RSS方法計算通用協(xié)方差矩陣，最后應(yīng)用低復(fù)雜度的PM算法估計信號DOA；但是該算法對信源數(shù)較為敏感.文獻(xiàn)[14]提出了一種基于數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣修正及TOPS算法相結(jié)合的寬帶DOA估計方法(data covariance matrix correction with TOPS algorithm for DOA estimation, DCT-DE)，利用特殊構(gòu)造矩陣將色噪聲協(xié)方差矩陣從數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中剔除，然后利用平方TOPS算法實現(xiàn)寬帶DOA估計.文獻(xiàn)[15]提出基于FOCUSS的網(wǎng)格角度求解算法(MMV-FOCUSS)，通過差分算法去除色噪聲影響并構(gòu)建新觀測模型，采用分布優(yōu)化的方式進(jìn)行DOA估計，但是算法復(fù)雜度較高.

針對色噪聲背景下寬帶DOA估計存在的上述問題，本文提出基于差分聚焦的寬帶陣列DOA估計方法.算法首先對信號協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分處理，消除色噪聲影響；然后對差分矩陣進(jìn)行特征分解，以差分矩陣正特征值對應(yīng)的信號子空間為基礎(chǔ)重構(gòu)觀測信號模型；在此基礎(chǔ)上，分析了無需角度預(yù)估的特征向量空間聚焦DOA估計原理，并對特征向量矩陣進(jìn)行重新分塊排列，簡化重構(gòu)聚焦矩陣.理論分析及仿真結(jié)果表明，本文算法估計精度及穩(wěn)健性較好，且不需角度預(yù)估、復(fù)雜度低.

1 陣列信號模型

陣列排布為一維線陣，陣元數(shù)為K，陣元間距為d.空間中有I個寬帶遠(yuǎn)場信號s(t)=[s1(t),…,sI(t)]入射至陣列，且信號與噪聲相互獨立，入射角為θ=[θ1,…,θI]，則第k個陣元輸出信號xk(t)可以表征為

式中,τk,i為信號si(t)在第k個陣元相對于首個陣元的接收時延；nk(t)為第k個陣元接收非均勻噪聲矢量，并假設(shè)空間噪聲場為各向同性圓形或柱形場.

將足夠長時間內(nèi)陣列接收到的信號分割成若干獨立快拍，對每個快拍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)，得到J個頻域窄帶信號.寬帶陣列接收信號的頻域表示形式如下:

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,…,J;

X(fj)=[Xk(fj),…,XK(fj)];

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),…,a(fj,θI)];

S(fj)=[Si(fj),…,SI(fj)];

N(fj)=[Nk(fj),…,NK(fj)].

式中,A(fj,θ)為頻點fj處的陣列流形；a(fj,θi)為入射角為θi的信號在頻點fj的方位導(dǎo)向矢量.

頻點fj處的陣列輸出信號自相關(guān)矩陣可表示為

R(fj,θ)=E[X(fj,θ)XH(fj,θ)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+
E[N(fj)NH(fj)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+QN.

式中QN表示噪聲信號協(xié)方差矩陣.高斯相關(guān)色噪聲協(xié)方差矩陣QN的第(n1,n2)個元素為[16]

QN(n1,n2)=σ2γ|n1-n2|e|jpi(n1-n2)/2|.

式中σ2為噪聲功率，用于調(diào)整信噪比參數(shù)；γ為回歸系數(shù)，用于調(diào)整噪聲相干性.

2 協(xié)方差矩陣差分理論

由于假設(shè)空間噪聲場為同性圓形或柱形場，因此色噪聲信號協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)[4].可知，噪聲協(xié)方差矩陣分量旋轉(zhuǎn)不變，有

QN=ΦQNΦ.

式中Φ表示轉(zhuǎn)置矩陣.

對協(xié)方差矩陣變化前后求差得到

(1)

從上式可以看出，在差分協(xié)方差矩陣ΔR中，噪聲分量已被消除.對[A,ΦA(chǔ)]進(jìn)行分解，有

(2)

其中(·)*表示矩陣共軛.將式(2)代入式(1)中，可得

從上式可以看出，A對應(yīng)信源入射真實角度，而A*則對應(yīng)信源入射負(fù)角度.因此，利用ΔR進(jìn)行DOA估計的過程中，不可避免地會出現(xiàn)偽峰.

3 DOA估計方法

3.1 差分協(xié)方差矩陣特征分解

針對協(xié)方差矩陣差分過程導(dǎo)致的偽峰問題，本文對差分矩陣ΔR進(jìn)行特征分解，取正特征值對應(yīng)的信號子空間作為DOA估計基礎(chǔ)，有

ΔR=UΛUH=[U+,Un,U-]Λ[U+,Un,U-].

式中：U+是由I個正特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成的特征矩陣；Un對應(yīng)噪聲子空間；U-是由N個負(fù)特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成的特征矩陣；Λ可分別表示為

從上述分析知，U+可張成導(dǎo)向矢量A，因此可建立新的觀測模型如下：

U+=Aq+ε.

式中：q為新觀測模型對應(yīng)的信號矩陣；ε為新觀測模型對應(yīng)的噪聲分量.新的觀測模型經(jīng)過差分分解處理后，不再含有色噪聲分量，同時包含了全部目標(biāo)方位信息，可較好用于寬帶DOA估計.

3.2 DOA估計方法

3.2.1 DOA估計基本原理

在構(gòu)建新的觀測模型基礎(chǔ)上，本文提出特征向量信號子空間聚焦的方法進(jìn)行寬帶DOA估計.

首先，對于新的觀測模型，信號自相關(guān)矩陣R+可表示為

(3)

其中P表示無噪聲信號自相關(guān)矩陣.P為Hermitian矩陣，因此可酉相似于對角矩陣，表示為

P=VMVH.

本文以子空間Γj為聚焦空間，設(shè)定參考聚焦矩陣Ψ0，則有

(4)

式中Ω為參考聚焦矩陣Ψ0在聚焦空間Γj中的系數(shù)矩陣.聚焦矩陣為T，則T滿足

按照文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)，有

(5)

式中ξ為參考聚焦矩陣Ψ0的特征向量矩陣.若要實現(xiàn)完美聚焦，則應(yīng)有

上式可化為

(6)

式中,V0及Vj分別為頻點f0及fj處的特征向量矩陣.觀察式(6)，為了方便計算合并，令

式中W為未知矩陣.則式(6)可進(jìn)一步化為

式中B=Ω-WMjWH.由矩陣的范數(shù)特性可將上式進(jìn)一步化為

(7)

可知，W為酉矩陣，Mj為對角矩陣，則WMjWH亦為對角矩陣.因此，若要式(7)為0，可行解之一為

式中Ω為對角矩陣.對照式(4)，可知V0即為參考聚焦矩陣Ψ0的特征向量矩陣.因此，根據(jù)式(5)，有

3.2.2 聚焦矩陣重構(gòu)

為避免特征分解過程中零特征值所對應(yīng)的特征向量對分辨門限的影響，對聚焦矩陣進(jìn)行重構(gòu).目標(biāo)信號的方位區(qū)間為β，對區(qū)間范圍內(nèi)按角度間隔進(jìn)行功率譜積分可得

(8)

對Π(fj)進(jìn)行特征值分解，得出其顯著特征值個數(shù)ρ(即為信號數(shù)).

將V0及Vj按照對應(yīng)特征值遞減的順序進(jìn)行重新排列，表示為

式中V′0、V′j為K*ρ矩陣，即是由信號協(xié)方差矩陣特征分解后前ρ個顯著特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成.Vj為酉矩陣，則可知

(V″j)HA(fj)=AH(fj)V″j=0.

因此，

V′0(V′j)HPjV′j(V′0)H.

可得重構(gòu)后的聚焦矩陣

(9)

從上式看出，重構(gòu)后的聚焦矩陣避免了協(xié)方差分解過程中非顯著特征值所對應(yīng)的特征向量，提高了算法在整個信噪比范圍內(nèi)的適應(yīng)能力及分辨性能.

(10)

3.3 算法實現(xiàn)步驟

綜上，本文算法步驟總結(jié)為：

1)將陣列接收信號分割為獨立快拍片段，進(jìn)行DFT處理，計算各頻點處的陣列輸出信號自相關(guān)矩陣R(fj,θ)；

2)根據(jù)式(1)計算差分協(xié)方差矩陣ΔR(fj,θ)，并對其進(jìn)行特征分解得U+；

3)按照式(3) 求取R+(fj)，對R+(fj)進(jìn)行特征分解，得V0與Vj；

4)按照式(8)求取Π(fj)，對Π(fj)進(jìn)行特征分解，得ρ；

4 仿真分析

本小節(jié)通過仿真比較實驗，分析本文所提算法的測向準(zhǔn)確性、角分辨能力、算法穩(wěn)健性及復(fù)雜度特性.基本仿真參數(shù)為：陣元數(shù)為8，工作帶寬覆蓋X波段(8～12 GHz)，信號帶寬500 MHz，采樣頻率為2.4 GHz，陣元間距為2.5 cm.仿真實驗將本文算法與DCT-DE算法、MMV-FOCUSS算法及文獻(xiàn)[13]算法進(jìn)行比較分析.其中，MMV-FOCUSS算法的網(wǎng)格間距取1°.

4.1 噪聲背景下算法的測向精確性比較

在高斯白噪聲與高斯色噪聲背景下，仿真比較本文算法與另外3種算法在不同噪聲背景下的測向準(zhǔn)確性.仿真實驗中，設(shè)定2個獨立的寬帶輻射源，入射角度分別為-10°及20°，算法采用快拍數(shù)為200，白噪聲信噪比設(shè)定為5 dB，色噪聲信噪比設(shè)定為5 dB.4種算法的空間譜見圖1、2.

圖1 高斯白噪聲下空間譜

圖2 高斯色噪聲下空間譜

從圖1看出，白噪聲背景下本文算法、MMV-FOCUSS算法、DCT-DE算法及文獻(xiàn)[13]算法均具備較好的DOA估計性能.從圖2看出，高斯色噪聲背景下，文獻(xiàn)[13]算法及DCT-DE算法譜峰出現(xiàn)較大偏差，MMV-FOCUSS算法測向精度稍好，但估計方差仍在2°以上，而本文算法保持較好的估計性能，測向精度較高.

4.2 噪聲背景下算法的分辨能力比較

本次仿真實驗主要比較本文算法與其他3種算法在高斯色噪聲背景下的角度分辨能力.仿真條件為：空間環(huán)境中設(shè)定兩個獨立的等功率輻射源，快拍數(shù)為500，噪聲參數(shù)同上.入射角度間隔Δθ分別設(shè)定為Δθ=[2°,4°,8°,15°]，即入射角度θ為

θ=[(θ1,θ2)]=

[(-1°,1°),(-2°,2°),(-4°,4°),(-7°,8°)].

仿真實驗中，通過200次蒙特卡洛仿真實驗，統(tǒng)計各類算法的平均分辨能力，比較分析4種算法在色噪聲背景下的角度分辨性能.本文對角度分辨率η的定義為

Qmin=min[Q(θ)],θ∈[θ1,θ2].

可知，η代表兩譜峰與峰間谷值之間的平均差，η越高，表示分辨能力越強.統(tǒng)計4種算法的平均分辨率見表1.

表1 算法分辨能力比較

從表1看出，橫向比較表格數(shù)據(jù)，兩輻射源信號入射角度的間隔越大，則各算法的角度分辨率越高；縱向比較發(fā)現(xiàn)，相同的空間色噪聲環(huán)境下，本文算法的角度分辨能力相較于MMV-FOCUSS及DCT-DE等算法更好.

4.3 算法穩(wěn)健性分析

本節(jié)對4種算法的穩(wěn)健性進(jìn)行仿真分析，主要包括估計方差及快拍數(shù)影響等.仿真實驗中，單次估計誤差<3°認(rèn)為是有效實驗，而估計方差及快拍數(shù)影響是對所有有效實驗結(jié)果的統(tǒng)計.快拍數(shù)影響分析實驗中，信噪比取5 dB.背景噪聲為高斯色噪聲，參數(shù)不變.仿真結(jié)果為200次蒙特卡洛仿真實驗的統(tǒng)計平均.

從圖3看出，色噪聲背景下，隨著輸入信噪比的不斷提高，本文算法與MMV-FOCUSS始終保持較好的估計性能；而文獻(xiàn)[13]算法在低信噪比條件下的估計性能較差.從圖4看出，隨著快拍數(shù)的提升，文獻(xiàn)[13]算法的性能提升較大，但總體性能差于本文算法及MMV-FOCUSS算法；在仿真所取的快拍數(shù)范圍內(nèi)，本文算法性能始終優(yōu)于其他算法.

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖4 均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

4.4 算法復(fù)雜度分析

仿真條件設(shè)置為：設(shè)定兩輻射源入射場景及三輻射源入射場景，入射角度分別為θ=[0°,10°]及θ=[-10°,0°,10°]，快拍數(shù)取200，信噪比取5 dB.仿真平臺為MATLAB 2014a，運行于聯(lián)想P1移動工作站，進(jìn)行500次蒙特卡洛實驗，求取算法平均運行時間，結(jié)果見表2.

表2 算法運行時間比較

分析表2，本文算法的運行時間最短，MMV-FOCUSS算法的運行時間最長，而文獻(xiàn)[13]算法與DCT_DE算法運行時間相當(dāng).從算法實現(xiàn)過程看，MMV-FOCUSS算法需要在每個角度間隔內(nèi)進(jìn)行迭代運算，造成的計算量較大；文獻(xiàn)[13]算法在估計單頻點參考聚焦矩陣的過程中，需要進(jìn)行2次矩陣逆運算及4次矩陣乘法；DCT-DE算法需要進(jìn)行3次特征值分解及2次矩陣乘法；本文算法需要進(jìn)行3次特征值分解及1次矩陣乘法.因此，本文算法的運算復(fù)雜度相對較小.

5 結(jié) 論

針對色噪聲背景下寬帶陣列DOA估計精度差及穩(wěn)健性不足的問題，本文提出基于差分聚焦的寬帶陣列DOA估計方法.利用信號自相關(guān)矩陣差分去除色噪聲影響并以其正特征值對應(yīng)的信號子空間為基礎(chǔ)構(gòu)建新的觀測模型；通過對新模型信號協(xié)方差矩陣特征向量子空間的分析，提出無需角度預(yù)估的聚焦矩陣計算方法.理論分析及仿真實驗證明，色噪聲背景下，本文方法相較于對比算法具有更好的估計精度及分辨率，且算法穩(wěn)健性好、復(fù)雜度低.