應用分塊矩陣求逆解算約束秩虧間接平差模型

謝 波 劉連旺

1 合肥職業技術學院建筑工程學院，合肥市姥山南路1號，238000 2 桂林理工大學博文管理學院，桂林市雁山街317號，541006

在經典測量平差模型中，將附有限制條件的間接平差模型作為概括平差函數模型[1]具有列立誤差方程式規律性強、參數平差值即為結果、便于編程計算等優點[2]，但該模型中滿秩的誤差方程包含已知數據，約束方程也由已知數據建立，會混淆已知數據和觀測數據2類不同性質的數據。若將平差系統中所有點作為未知參數，利用觀測數據建立誤差方程，用已知數據建立約束方程或基準方程，兩者聯合組成約束秩虧間接平差模型，不僅可有效區分觀測數據和已知數據，并且在理解參考系效應和內部噪聲、評定觀測值的內部符合精度、分析已知數據對平差結果的影響[3-4]等方面具有明顯優勢。因此，約束秩虧間接平差模型被廣泛應用于變形監測、近景攝影測量、GPS測量、地球參考框架建立[5-8]等大地測量數據處理中。

國內學者對解算約束秩虧間接平差模型的方法進行過大量研究[9-12]，本文在這些研究基礎上進一步分析約束秩虧間接平差模型的法方程系數四分塊矩陣結構，研究其凱利逆矩陣的存在條件和顯性表達式，并驗證公式的正確性，為解算約束秩虧間接平差模型提供簡單準確的方法。

1 特殊分塊矩陣求逆

1.1 引理[13]

(1)

(2)

1.2 存在性條件

(3)

即

u≤r+s或u-r≤s

(4)

式(4)表明，C的行數大于等于N的秩虧數。

1.3 定理及證明

(5)

本文將通過廣義逆矩陣法和矩陣變換法2種方法驗證該表達式。

1.3.1 廣義逆矩陣法

(6)

根據矩陣分解性質[15]，存在u×u滿秩矩陣A，使得行滿秩矩陣：

(7)

同理，存在u×u滿秩矩陣B，使得列滿秩矩陣：

(8)

所以，

(9)

(10)

上述推算過程和結果表明，s×u行滿秩矩陣和u×s列滿秩矩陣相乘后可得s×s滿秩矩陣。

(11)

得證。

1.3.2 矩陣變換法

設

(12)

則：

NQ11+CTQ21=Iu

(13)

(14)

(15)

CQ12=Is

(16)

在式(15)左乘CT與式(13)相加可得：

(N+CTC)Q11+CTQ21=Iu

(17)

同理，將式(16)左乘CT再與式(14)相加可得：

(18)

聯立式(15)～式(18)，用矩陣形式可表示為：

(19)

(20)

可得：

(21)

得證。

2 約束秩虧間接平差模型參數的應用

2.1 約束秩虧間接平差模型的參數估計

約束秩虧間接平差模型可表示為：

(22)

(23)

上述參數估計為約束條件下的極值求解問題，按照拉格朗日乘數法構造函數：

(24)

(25)

(26)

令N=BTPB，W=BTPL，用矩陣形式可表示為：

(27)

則：

(28)

式中，N為u×u階秩虧矩陣，R(N)=R(B)=t

(29)

展開得：

(N+CTC)-1CT[C(N+CTC)CT]-1

C(N+CTC)-1}BTPL+(N+CTC)-1CT

[C(N+CTC)CT]-1WX

(30)

式(30)即為約束秩虧間接平差模型參數估計的一般顯性表達式。

2.2 數值算例

在圖1所示的水準網中，已知水準點A和B的高程分別為HA=237.483 m、HB=233.868 m，為求P1、P2點的高程，進行水準測量，表1為測量高差和水準路線。分別采用約束秩虧間接平差模型和間接平差模型解算待求點P1、P2的高程，并對結果進行比較。

圖1 水準網Fig.1 Leveling network

表1 觀測數據

2.2.1 約束秩虧間接平差模型解算

式中，未知參數的系數矩陣B為列秩虧，符號?表示等價的矩陣形式。

A、B為已知點，可以組成限制條件方程：

按觀測距離定義觀測值的權重，并令1 km的觀測高差為單位權，則觀測值的權陣為：

P=diag[1/2.01/1.01/2.01/2.01/2.0]

通過分析可知，上述誤差方程式系數矩陣B秩虧數為1，限制條件方程系數C為行滿秩，條件方程個數為2，大于秩虧數，滿足存在性條件。

將已知參數B、P、L、C、WX代入本文推導的約束秩虧間接平差模型參數估計公式(30)，計算可得：

2.2.2 間接平差模型解算

同理，按觀測距離定義觀測值的權重。

根據最小二乘原則，將已知參數B、P、L代入，解算得：

3 結 語

1)本文對左上角子矩陣秩虧、右下角子矩陣為零的特殊四分塊矩陣進行分析，在滿足左下角子矩陣為行滿秩及行數大于左上角子矩陣秩虧數的條件下，證明其存在凱利逆矩陣，該存在條件可為自由網附加條件法的平差提供理論依據。

2)在通常的四分塊矩陣求廣義逆矩陣和凱利逆矩陣公式的基礎上，利用廣義逆矩陣法和矩陣變換法推導該類特殊四分塊矩陣凱利逆矩陣的顯性表達式。該公式可用于解算約束秩虧間接平差模型的參數估計，為約束秩虧間接平差模型的解算提供簡單準確的方法，具有理論和應用價值。