基于無失效數據的某型發動機可靠性參數Bayes估計

李東兵，胡文林

（1.海軍參謀部某訓練中心，北京100841；2.92728部隊，上海200436）

在定時截尾試驗中，對于高可靠性、高精度的產品，經常會出現極少失效甚至是無失效數據的情形[1-4]。如何在無失效數據情況下對產品的可靠性參數進行科學合理的評估，具有重要的理論和實用價值[5-10]。

文獻[11]給出了泊松分布參數的期望Bayes（Expected Bayes，E-Bayes）表達式；文獻[12]給出了只有一個失效數據時失效概率的E-Bayes估計；文獻[13]在特定超參數先驗分布的條件下，推導了失效率的EBayes 估計；文獻[14]采用修正多層Bayes 方法對某型軸承的失效概率進行估計；文獻[15]研究了復雜系統可靠度的多層Bayes估計。

這些文獻雖然對可靠性參數作出了較為準確和穩健的估計，但大多只專注于某一類估計方法。

本文在某型裝備發動機無失效數據服從指數分布時，探討失效率的多層Bayes估計方法和E-Bayes估計方法，對比2種方法的推導證明過程，并結合實例數據分析得到可靠度的估計結果，指出E-Bayes 估計方法的結果更為準確和穩健，且計算更加方便。

1 失效率的多層Bayes估計

本文研究對象為某型裝備發動機，已知其儲存失效數據服從指數分布，其概率密度函數為：

式（1）中：t>0；0<λ<∞，λ 為指數分布失效率。

1.1 多層先驗分布的確定

在指數分布下，失效率對應的共軛先驗分布為Gamma分布[16]，其密度函數為：

根據超參數的減函數構造法[17]，對密度函數關于λ 求一階導：

因而，當00 時，π(λ|a,b)為λ 的減函數。基于對Bayes 估計的穩健性考慮，超參數b 取值越大，先驗分布的尾部將越細，這會使Bayes估計具有越差的穩健性[1]。因此，對b 設立一個上界s，s>0 為某一常數，由此確定超參數的取值范圍為0

1.2 多層先驗密度函數的確定

考慮a 和b 分別服從[0,1]和[0,s]上的均勻分布，則失效率λ 的多層先驗密度函數為：

1.3 失效率的多層Bayes估計

對壽命服從指數分布的產品進行m 次定時截尾試驗，結果為{ }(ni,ri,ti),i=1,2,…,m 。其中：ti為在第i 次試驗中的截尾時間，且t1

假設失效率λ 的多層先驗密度函數πHB(λ)可由式（3）給出，則在平方損失下，λ 的多層Bayes估計為：

證明：

1）似然函數。設隨機變量Xi表示第i 次定時截尾試驗中發生失效的樣品個數，則Xi～π(nitiλ)，即Xi服從參數為nitiλ 的泊松分布：

式中：ri=0,1,2,…,ni，i=1,2,…,m。

事實上，X1,X2,…,Xm是相互獨立的，則失效率λ的似然函數表示為：

試驗結果為無失效情形時，ri=0，i=1,2,…,m，由此得到無失效情形下失效率λ 的似然函數為：

2）后驗分布。依據Bayes 定理，λ 的多層后驗密度為：

記(b+Q)λ=ξ ，由于b>0，Q>0，0<λ<∞，故0<ξ<∞。代入式（5）右端的分母積分項可得：

代入式（5）可得

3）多層Bayes 估計。在平方損失下，失效率λ 的多層Bayes估計為：

令(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推導過程，可得：

證畢。

2 失效率的E-Bayes估計

2.1 先驗分布的確定

在式（1）、（2）的基礎上，與1.1節相同，對b 設立一個上界s，s>0 為某一常數，確定超參數的取值范圍為0

2.2 失效率的E-Bayes定義

2.3 失效率的E-Bayes估計

根據1.3 節的無失效數據的描述，假設失效率λ的先驗密度函數π(λ|a,b)由式（2）給出，則在平方損失下，λ 的E-Bayes估計為：

證明：

1）似然函數。與1.3 節證明相同，似然函數為L(0|λ)=exp(-Qλ)。

2）后驗分布。若λ 的先驗密度函數由式（2）給出，則依據Bayes定理，λ 的后驗密度為：

記(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推導過程，可得：

3）λ 的Bayes估計。在平方損失下，λ 的Bayes估計為：

4）λ 的E-Bayes 估計。在平方損失下，失效率λ的E-Bayes估計為：

證畢。

3 實例分析

3.1 可靠度的估計

產品壽命服從指數分布，則其可靠度函數為：

R(t)=exp(-λt)。

由1.3節和2.3節分別給出的λ 的多層Bayes估計和E-Bayes估計，得出可靠度R(t)的多層Bayes估計和E-Bayes估計如下：

3.2 參數估計的評價

穩健性是統計學中的一個專門術語，20世紀70年代開始在控制理論的研究中流行起來，用以表征控制系統對特性或參數擾動的不敏感性[18]。本文主要以可靠性參數估計值的極差來表征由2種估計方法得到的估計值的穩健性，極差值越小，反映得到的可靠性參數估計值越穩健。

3.3 可靠性參數估計及分析

表1 發動機無失效數據Tab.1 Zero-failure data of the engine

表2 λ 的2類估計結果Tab.2 Calculation results of different estimations on λ ×10-5

表3 R(t)的2類估計結果Tab.3 Calculation results of different estimations on R(t)

圖1 s=1 000 時可靠度的2類估計值Fig.1 Calculation results of two types of estimations while s=1 000

圖2 可靠度2類估計值的極差Fig.2 Ranges of two types of estimations on R(t)

（3）在推導和計算過程中，相比于含有二重積分的多層Bayes估計，失效率的E-Bayes估計計算更為方便簡潔，因而也更適用于工程應用中。

4 結論

下一步將針對壽命服從其他分布情形時的參數估計值進行討論，并探討超參數服從的分布類型對估計值的影響。