基于改進Maxwell 遲滯模型的氣動肌腱精確力模型

黃揚輝，朱堅民，孟聰，石園園，陳琳

（200093 上海市 上海理工大學）

0 引言

氣動肌腱力模型的研究，最大的難點在于遲滯問題[1]。目前，針對遲滯模型大體分為2 類：一類是基于現象的唯象模型，包括Bouc-Wen 模型、Prandtle-Ishlinskii 模型等[2]；另一類是基于機理的物理模型，包括Maxwell 模型等。經典Bouc-Wen 模型是關于中心點嚴格對稱的微分型遲滯模型且參數較多。JIE Zhao[3]等采用Bouc-Wen 遲滯模型描述氣動肌腱遲滯特性，由于忽略非對稱性，上升段和下降段出現較大誤差。為了克服對稱性的局限性，Wang G 等通過修正線性分量，提出非對稱Bouc-Wen 模型，需要用粒子群算法對9 個參數辨識。文獻[4]提出了一種基于改進型差分進化算法的參數辨識方法。這些尋優算法都無法避免地增加辨識時間，且模型參數為定值，無法表征氣動肌腱在不同狀態下的時變性。Prandtl-ishlinskii 遲滯模型是將整個系統當作黑箱來處理，不考慮系統的內在特性關系，只根據系統的輸入輸出關系進行遲滯建模，但是，單從輸入和輸出不能涵蓋所有的遲滯情況，不具有普適性。Aschemann 等基于Prandtl-ishlinskii 遲滯模型建立氣動肌腱力學模型，采用最小二乘優化技術確定了相應遲滯模型的參數，但忽略了工作狀態氣壓對遲滯項的影響?？傊?，上述兩種模型都為對稱模型，并需要大量的實驗數據作為基礎支撐，運用尋優算法辨識參數，相比前兩種遲滯模型，Maxwell 模型不僅參數少，容易辨識且快速，有著清晰的物理背景解釋遲滯原因，目前用此模型來描述氣動肌腱遲滯非線性特性的研究還很少。

綜合來看，遲滯模型主要存在3 個問題：唯象模型遲滯模型，需要辨識的參數較多，優化算法辨識參數，不如積分型遲滯模型方便，并且上述遲滯模型適用范圍有限，都只適用于描述對稱遲滯現象，對于氣動肌腱的非對稱遲滯特性建模誤差較大[5]，未能達到精確建模的目的；氣動肌腱的遲滯特性具有時變性，但大多遲滯模型都是定參數，極易產生較大誤差，遲滯輸出不僅與現在的輸入及其歷史狀態有關，還與輸入狀態的氣壓值有關，忽略氣壓值對模型參數的影響，導致力模型精度不高；忽略了遲滯模型算子個數、取點方式對系統力模型的精度影響，沒有給出最優辨識方法。

1 基于非對稱假設氣動肌腱力建模

1.1 氣動肌腱建模

精確力模型從氣動肌腱最直觀方便的兩個變量入手，考慮輸出力和充氣壓力、氣動肌腱長度三者之間的關系。將力特性分解為靜態部分和遲滯部分，各項因素分別建模，簡化模型難度。

式中：F——非線性輸出力；Fc——靜態力；Fhys——遲滯力；x——肌腱工作時長度；p——肌腱腔內氣壓值。

1.2 經典Maxwell 遲滯力建模

Maxwell 遲滯模型是基于物理機理的模型，設計巧妙且參數簡單易辨識，利用干摩擦現象來類比解釋遲滯特性。Maxwell 遲滯模型由若干個彈簧滑塊算子并聯疊加組成，每個算子由一塊無質量滑塊、一條無質量彈簧組成，外界通過彈簧拉動滑塊，由于靜摩擦力的作用，只有當彈簧的彈力大于最大靜摩擦力時，滑塊算子才會由靜止狀態進入滑動狀態，此時輸出力達到飽和，即使輸入位移增大也不能讓滑塊算子的彈簧伸長，輸入位移和輸出力之間出現遲滯現象。

每個滑塊算子表達式如下：

式中：x——輸入位移；Fi——第i 個滑塊算子的輸出力；ki——第i 個滑塊算子的彈簧剛度；xbi——第i 滑塊初始位移；fi——第i 個滑塊的最大靜摩擦力；Fhys——遲滯力。

1.3 改進Maxwell 遲滯力建模

首先，經典Maxwell 遲滯建模是對稱模型，加載和卸載過程模型參數相同，僅模型正負號隨方向改變。但是，氣動肌腱的力特性是強烈不對稱的，模型顯然不能再適應。本文提出非對稱算子，加載和卸載過程中模型參數發生改變；其次，對于大多數遲滯建模，只對一個氣壓下最大遲滯環特性研究?？紤]到不同等壓條件下遲滯環情況，根據不同狀態下遲滯環形狀上的差異，提出關于氣壓值的自適應比例因子動態修改已辨識滑塊算子的剛度參數；再其次，現有Maxwell 方法是通過將最大遲滯環離線辨識模型參數再預測輸出力，但氣動肌腱遲滯輸出不僅與現在的輸入有關，還與歷史狀態有關。本文提出在線動態辨識方法，利用歷史狀態辨識出的參數值預測現在狀態。

1.3.1 考慮非對稱性遲滯力學建模

氣動肌腱外部采用纖維編織層套住，纖維隨著長度壓縮相互擠壓、層疊，相對密度變大致使氣動肌腱材料剛度發生非線性變化。而Maxwell遲滯模型是基于拉伸和壓縮剛度不變理論，只適用于對稱遲滯環，氣動肌腱遲滯曲線并不是嚴格對稱曲線，為避免因彈簧負剛度變化引起的誤差，本文提出一種變剛度滑塊算子來辨識遲滯環參數，滑塊算子在加載拉伸和卸載收縮時，滑塊彈簧單元隨方向改變其剛度。每個滑動單元表達式如下：

滑動區域：

滑塊輸出力：

式中：Δi——第i 個滑塊算子彈簧最大形變量；kui，fui，kdi，fdi——第i 個滑塊算子加載拉伸和卸載收縮過程彈簧剛度系數、最大靜摩擦力；xubi，xdbi——第i 滑塊算子加載拉伸和卸載收縮過程的初始位移；wui，wdi——第i 個滑塊算子加載拉伸和卸載收縮過程的氣壓值自適應參數比例因子。

圖1 為改進后的變剛度滑塊算子，如圖所示改進后滑塊算子遲滯特性表達由原來的斜率相同的平行四邊形轉化為斜率不同的梯形，更接近氣動肌腱的真實情況，將若干個改進后的滑塊算子并聯疊加表現為氣動肌腱的非對稱遲滯特性，從算子角度解決Maxwell 非對稱遲滯模型精度差問題。對于模型參數的辨識，需要對加載曲線和卸載曲線中每個滑塊，算子初始位置和彈簧剛度一一辨識，為簡化辨識過程，提高效率，本文對原長狀態的彈簧進行參數辨識，即初始曲線辨識。

圖1 變剛度滑塊算子坐標表示圖Fig.1 Coordinate representation of variable stiffness slider operator

1.3.2 考慮工作壓力變化的遲滯建模

經典Maxwell 遲滯模型認為每個滑塊算子的剛度是恒定的，它取決于材料的性質和彈簧的幾何形狀。但氣動肌腱在不同等壓條件下，遲滯環的大小、形狀都會發生變化，說明每個滑塊算子的剛度是一個可變參數，它不僅取決于上述的原因，還取決于內部的工作氣壓。變剛度算子有2種剛度調整方式：方向變剛度調整模式和氣壓變剛度調整模式。這是由于氣壓改變肌腱材料初始相對密度，使得纖維相互接觸時間和作用力改變，滑塊算子彈簧剛度存在著新的變化。在某一等壓條件下辨識得到的模型參數，只適用于這個氣壓下遲滯情況。在眾多學者對氣動肌腱的建模中，都只是在同一等壓條件下辨識參數建立模型，一旦氣壓值發生改變，模型的精度將大大降低，沒能充分研究氣壓值對遲滯環的影響。如果對每個等壓下都進行參數辨識，太繁瑣，失去模型便捷性，得到的各模型參數之間又缺乏物理聯系性。為最大程度預測不同等壓條件下的軸向力，提出關于氣壓值自適應參數比例因子w，達到動態修正滑塊算子的彈簧剛度，快速得到不同等壓下遲滯模型參數。

關于氣壓值的自適應參數比例因子w 確定方法如圖2 所示，圖中A、B 氣壓下遲滯環之間可以通過橫向和縱向的拉伸或者收縮相互轉化，轉化的因子為拉伸比例因子。根據不同氣壓的遲滯環走勢和方向，確定一個最具代表的遲滯環為變化基準。氣動肌腱工作氣壓范圍在0.5～6.0 bar，氣壓過大、過小都不具有典范，一般選取中高段氣壓，工作行程范圍大，當選取氣壓值φbar，以等氣壓φbar 下的遲滯環為基準，計算不同等壓遲滯環橫向拉伸比例因子α和縱向拉伸比例因子β，再由α、β計算關于氣壓值的自適應參數比例因子wui、wdi，利用最小二乘法將自適應參數比例因子擬合出函數，以加載為例，卸載同理。

圖2 不同等壓下的遲滯環圖Fig.2 Hysteresis loops at different isobaric pressures

加載遲滯環橫向拉伸比例因子αuxi：

加載遲滯環縱向拉伸比例因子βuyi：

式中：αuxi——加載遲滯環曲線橫向拉伸的比例因子；βuyi——加載遲滯環曲線縱向拉伸的比例因子；Luxi——加載初始曲線橫向長度；Ldxi——卸載初始曲線橫向長度；Lux-φ——等壓φbar 加載初始曲線橫向長度；Llx-φ——等壓φbar 卸載初始曲線橫向長度；i——氣壓值。

最終求得關于氣壓值的自適應參數比例因子?；瑝K加載時，比例因子計算如下：

式中：wui——滑塊加載時的自適應參數比例因子。

1.3.4 參數辨識方法

Maxwell 遲滯模型由n 個滑塊算子分段擬合遲滯效應，滑塊的選取方式和個數多少都決定了氣動肌腱力模型的精度。本文采用不均等取點方式，設置斜率差閾值，只有前后兩段斜率差大于閾值時，就認定下一個點在新的分段里，簡單地判斷初始曲線趨勢，當斜率變化較快取點就多，斜率平緩取點就少。將初始曲線分為10 段，加載和卸載的初始曲線各5 段，加載和卸載辨識方法相同。以加載曲線辨識為例，則模型需要辨識的參數有滑塊彈簧剛度k1，k2，k3，k4，k5，和滑塊最大靜摩擦力f1，f2，f3，f4，f5，通過觀測初始曲線走勢，各個取的點接測得a1，a2，a3，a4，a5和b1，b2，b3，b4，b5,對應是肌腱長度和遲滯力。

式中：k1，k2，k3，k4，k5——加載時各滑塊算子的剛度；f1，f2，f3，f4，f5——各滑塊算子的最大靜摩擦力；ka，kb，kc，kd，ke——加載遲滯初始曲線每段的斜率，每個滑塊算子最大靜摩擦力如下：

以上為加載初始曲線的參數辨識，同理，卸載初始曲線也需要進行參數辨識。辨識出卸載初始曲線滑塊算子的剛度系數和最大靜摩擦力,原理相同不再重復。

2 實驗研究

2.1 實驗設計

氣動肌腱力學特性測試平臺中，上位機編寫LabVIEW 交互式界面，通過NI 數據采集卡控制氣壓輸入、步進電機伸縮和檢測拉力傳感器測量值等。

等長實驗設置肌腱工作長度，兩端固定在實驗機架，停止步進電機轉動，保證實驗過程中氣動肌腱長度不變。通過LabVIEW 界面控制比例閥電壓，充氣壓力從大到小依次減少，拉力傳感器和壓力傳感器分別記錄肌腱輸出力和腔內氣壓，然后設置新的肌腱工作長度，重復上述步驟；等壓實驗通過控制比例閥電壓，保持實驗中肌腱腔內氣壓大小不變，步進電機牽引肌腱進行長度卸載直至拉力傳感器檢測值為零，再進行長度加載，運動過程中拉力傳感器和位移傳感器分別記錄肌腱輸出力和肌腱位移，然后設置新的肌腱充氣氣壓，重復上述步驟。

2.2 實驗結果

氣動肌腱等長實驗共采集31 組不同定長下輸出力變化數據。通過MATLAB殘差和比較分析，發現定長下軸向輸出力與氣壓呈二次函數時，此時殘差值最小。圖3 為等長實驗結果圖，從圖3可以看出，氣壓無論增大還是減少，定長下的氣壓加載和卸載曲線都是重合的，因此可以認為只要肌腱工作長度不發生改變，就不會有遲滯力的產生，驗證了運動過程中纖維摩擦是遲滯產生的主要原因。

圖3 氣動肌腱等長特性實驗測試曲線Fig.3 Experimental test curve for isometric characteristics of pneumatic tendons

采用MATLAB 最小二乘法擬合不同定長條件下曲線，雖然不同等長條件下的二次函數系數不相同，但在一個等長下系數是固定的，系數大小與肌腱長度有關，因此在各定長下氣動肌腱不含遲滯的靜態力模型表示：

式中：Fc——不含遲滯的非線性輸出力；p——肌腱內腔氣壓；a（L），b（L），c（L）——系數團函數；L——肌腱長度。

同理，利用最小二乘法對系數團擬合求解得到Fc（L，p），至此得到任意氣壓和任意肌腱長度下不含遲滯的非線性輸出力模型，與真實的等壓實驗存在差距，這差距便是遲滯力，表現為圖4 所示：各個氣壓不同大小的遲滯環，氣壓越大遲滯環越大。選取其中氣壓4.5 bar 的等壓特性曲線，辨識得到變剛度滑塊算子的剛度系數和最大靜摩擦力。

圖4 氣動肌腱各等壓下的遲滯力環Fig.4 Non-linear output force and static force at each constant pressure

再結合圖4 各個等壓下的遲滯環，求得關于氣壓值自適應比例因子，如圖5、圖6 所示，圖中為不同氣壓下對應的加載、卸載比例因子。通過擬合曲線得到函數如下：

圖5 加載自適應比例因子Fig.5 Load adaptive scale factor

圖6 卸載自適應比例因子Fig.6 Unload adaptive scale factor

2.3 分析

根據上述辨識得到的模型，首先在4.5 bar驗證改進型變剛度滑塊算子理論的正確性，對比經典Maxwell 遲滯模型精度；然后在不同等壓條件下對比，驗證提出的關于氣壓值的自適應比例因子的正確性和泛化性；通過不同狀態工作長度變化，再次驗證改進Maxwell 可以解決遲滯次環和保證力模型精度。參見圖7。

圖7 不同氣壓下改進Maxwell 和經典Maxwell 對比圖Fig.7 Comparison of improved Maxwell and classic Maxwell at different pressures

從對比結果可以看出，改進 Maxwell 遲滯模型的確能夠有效模擬氣動肌腱的非對稱遲滯現象，提高力模型精度；采用改進后的Maxwell 遲滯模型，最大誤差下降50%～80%，整體相對誤差穩定在5%以內，誤差和相對誤差波動平穩，驗證模型的精度性和泛化性。

3 結論

本文提出非對稱變參數型Maxwell 遲滯模型方法。提出變剛度滑塊算子，解決肌腱非對稱遲滯特性；考慮工作氣壓和工作長度對遲滯特性的影響：分析在不同工作氣壓下遲滯環的差異，提出關于氣壓值的自適應參數比例因子，解決不同氣壓下遲滯環參數辨識的繁瑣，快速得到模型參數；提出動態加權辨識方法，在線實時辨識上一個工作狀態（長度）變化前的遲滯模型參數，解決遲滯特性隨著工作狀態的改變。實驗結果表明：改進型Maxwell 法與實驗值有較高的一致性，精確模擬氣動肌腱遲滯現象，比經典Maxwell 遲滯理論精度高，更具泛化性。本文方法適用于FESTO 型氣動肌腱，該方法還可以推廣到市面上已有的其它氣動肌腱中，也適用其它領域中含有非對稱遲滯的驅動元件。