Hopf流形上全純向量叢的數(shù)字特征

甘 寧

(集美大學(xué)理學(xué)院,福建廈門(mén)361021)

1 Hopf流形及相關(guān)概念

Hopf[1]在1948年引進(jìn)了經(jīng)典的主Hopf流形，并證明了它是非Kaehler流形從而是非代數(shù)流形.Kodaira[2]詳細(xì)研究了Hopf曲面的性質(zhì)，Ise[3]計(jì)算了Hopf流形上的Dolbeault同調(diào)群，Kato[4]研究了Hopf曲面的分類(lèi).近段時(shí)間研究的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)在Hopf流形上的向量叢，這方面的結(jié)果可參考文獻(xiàn)[5-9].

復(fù)流形上向量叢的Betti數(shù)、陳類(lèi)及Euler示性數(shù)等數(shù)字特征，是研究向量叢的全純結(jié)構(gòu)的基本不變量，例如對(duì)于2維復(fù)流形上全純向量叢是否存在可濾結(jié)構(gòu)，就與向量叢的陳類(lèi)密切相關(guān)，這方面的結(jié)果可參考文獻(xiàn)[10].本文計(jì)算了高維Hopf流形的數(shù)字特征，并且得到了Euler示性數(shù)與陳類(lèi)的關(guān)系.

Hopf流形M是一個(gè)n維的緊復(fù)流形，當(dāng)n=2時(shí)也稱(chēng)作Hopf曲面，其萬(wàn)有覆蓋空間雙全純等價(jià)于Cn-{0}，它可以表示為商空間的形式M=W/G，其中W=Cn-{0}，G是穿孔復(fù)空間Cn-{0}的自同構(gòu)構(gòu)成的群，且G是真的不連續(xù)以及固定點(diǎn)自由的，G被稱(chēng)為W在M=W/G上的覆蓋變換群.當(dāng)G是無(wú)限循環(huán)群時(shí)，M稱(chēng)為主Hopf流形，否則稱(chēng)為第二類(lèi)或者非主Hopf流形.

本文中稱(chēng)映射f:(Cn，0)→(Cn，0)，n≥2為一個(gè)收縮，它表示f∈Aut(Cn)，f(0)=0,且當(dāng)n→∞時(shí)，fn(B)收斂于0,這里B是Cn中的閉球.若f∈Aut(Cn)，f(0)=0,且具體形式為：f:(z1,z2,…,zn)→(μ1z1,μ2z2,…,μnzn),其中μ1,μ2,…,μn為f′(0)的特征值，且都落在單位圓盤(pán)內(nèi)，則稱(chēng)f為對(duì)角收縮.由文獻(xiàn)[2,11]可知Hopf流形的基本群G包含一 個(gè)收縮f，收縮f生成的無(wú)限循環(huán)群Z={f}在G中的指數(shù)有限，而且{f}位于G的中心，因此{(lán)f}是G的正規(guī)子群，群G/{f}同構(gòu)于G中的有限子群H.{f}稱(chēng)作G的無(wú)限部分，H稱(chēng)作G的有限部分.因此Hopf流形的基本群G可以寫(xiě)做G={f}·H，即覆蓋變換群為無(wú)限循環(huán)群Z和有限群H的半直積，且對(duì)于?h∈H，f·h=h·f.

2 Hopf流形上的Betti數(shù)和陳類(lèi)

n維緊復(fù)流形M的第k個(gè)Betti數(shù)定義為M的第k個(gè)de Rham同調(diào)群Hk(M,R)的維數(shù)，記為bk(M)，其Betti多項(xiàng)式記為

對(duì)于笛卡爾積有公式

P(M×N)=P(M)×P(N).

證明n維的主Hopf流形都微分同胚于S1×S2n-1[12]，這里Sn表示n維的實(shí)球面.對(duì)于球面Sk，P(Sk)=1+tk.因此有

P(M)=P(S1)×P(S2n-1)=(1+t)(1+t2n-1)=

1+t+t2n-1+t2n.

由此得到M的Betti數(shù)b0(M)=b1(M)=b2n-1(M)=b2n(M)=1,b2(M)=b3(M)=…=b2n-2(M)=0.

而M的Euler示性數(shù)

0-1+1=0.

由Gauss-Bonnet 公式

可得cn(M)=0.

對(duì)于k=2,3,…，2n-1，因?yàn)閎2(M)=b3(M)=…=b2n-2(M)=0,所以M的de Rham同調(diào)群Hk(M，R)=0.而M切叢的陳類(lèi)cq(M)∈H2q(M，R)，故c1(M)=c2(M)=…=cn-1(M)=0.

□

注1Grauert等[13]給出了Betti多項(xiàng)式求主Hopf流形Betti數(shù)的方法，Wehler[14]給出了主Hopf曲面的Betti數(shù)和陳類(lèi).

定理2n維的非主Hopf流形M的Betti數(shù)b2(M)=b3(M)=…=b2n-2(M)=0，M切叢的陳類(lèi)c1(M)=c2(M)=…=cn-1(M)=0.

證明由前面可知非主Hopf流形M的覆蓋變換群G可以寫(xiě)做G={f}·H，即無(wú)限循環(huán)群{f}和有限群H的半直積，且?h∈H,f·h=h·f.

這誘導(dǎo)出了上同調(diào)群的映射p*

注2對(duì)于Kaehler流形，其第2個(gè)Betti數(shù)b2(M)一定大于0.因此由定理1和2可知，任意的Hopf流形都是非Kaehler流形.

n維的Hopf流形M的萬(wàn)有覆蓋空間是W=Cn-{0}.M上的每一個(gè)全純向量叢都可以由覆蓋映射π:W→M提升到W上的全純向量叢，即E的拉回π*(E)，如果π*(E)是全純平凡的，那么就稱(chēng)E為具有平凡拉回的全純向量叢.具有平凡拉回的全純向量叢是比平坦的全純向量叢更為一般的全純向量叢.

當(dāng)全純向量叢E的秩r=1，即E為全純線叢時(shí)，由文獻(xiàn)[7]中Hopf流形上的全純線叢都是平坦的，因此都是具有平凡拉回的全純向量叢.下面這個(gè)定理為文獻(xiàn)[8]中當(dāng)p=0與E為線叢時(shí)定理3的結(jié)果.

設(shè)E是n維緊復(fù)流形M上的全純向量叢，Hp,q(M,E)為E的Dolbeault同調(diào)群，記Hq(M,E)=H0，q(M,E)，稱(chēng)

為向量叢E的Euler示性類(lèi).這是向量叢E的重要不變量.

定理3[8]設(shè)M是n維的Hopf流形，以及L是M上的全純線叢，那么有

(i) dimH0(M,L)=dimH1(M,L),

(ii) dimHi(M,L)=0, 2≤i≤n-2,

(iii) dimHn-1(M,L)=dimHn(M,L).

由定理3，可得定理4.

定理5設(shè)M是一個(gè)n維的非主Hopf流形，則M的第n個(gè)陳類(lèi)cn(M)=0.

證明任取M上的一個(gè)全純線叢L，由Hirzebruch-Riemann-Roch定理和定理4，有

因?yàn)長(zhǎng)是平坦線叢，故c1(L)=0,由此L的陳特征標(biāo)Ch(L)=1，從而TM的Todd類(lèi)Td(TM)有

假設(shè)M上的全純切叢的陳根為d1,d2,…,dn，則利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)有

Td(M)在M上積分不為零的項(xiàng)是一個(gè)n次的齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，因此可以用d1,d2,…,dn的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式來(lái)表示.由陳根的定義和定理1,有

d1+d2+…+dn=c1(M)=0,

d1d2+d2d3+…+dn-1dn=c2(M)=0,

?

d1d2…dn-1+…+d2…dn-1dn=cn-1(M)=0,

d1d2…dn=cn(M).

因此

這里k是一個(gè)常數(shù)，由此可得cn(M)=0.

注3由定理1、定理2和定理5,可以得到對(duì)于任意的n維Hopf流形，其陳類(lèi)ck(M)都為零，k=1,2,…,n.

3 Hopf流形上向量叢Euler示性數(shù)與陳類(lèi)的關(guān)系

設(shè)c0(E),c1(E)…，cr(E)是E的陳類(lèi)，稱(chēng)

1+c1(E)x+c2(E)x2+…+cr(E)xr

為E的陳多項(xiàng)式，這以多項(xiàng)式可以形式地分解為一次式的乘積

1+c1(E)x+c2(E)x2+…+cr(E)xr=

(1+a1x)(1+a2x)…(1+arx),

則其中a1，a2,…，ar和稱(chēng)為E的陳根.

向量叢E的陳特征標(biāo)Ch(E)和Todd類(lèi)Td(E)分別定義為

和

下面這個(gè)定理是著名的Hirzebrnch-Riemann-Roch定理[15].

定理6[15]E和TM分別是n維緊復(fù)流形M上的全純向量叢和切叢，則E的Euler示性類(lèi)

注4需要說(shuō)明的是，上式中，如果

中的一個(gè)同調(diào)類(lèi)不在H2n(M,R)中，則自動(dòng)視這一同調(diào)類(lèi)在M上的積分為零.

下面的定理需要一個(gè)關(guān)于n元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的n次求和公式，設(shè)σ1,σ2,…,σn分別是x1,x2,…,xn的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，則

這里的k1,k2,…，kn是非負(fù)整數(shù).

定理7設(shè)M是一個(gè)n維的Hopf流形，E是M上的全純向量叢，ck(E)表示E的第k個(gè)陳類(lèi)，那么有

證明由注3,知道ck(M)都為零，k=1,2,…,n，故M上切叢的陳根d1=d2=…dn=0,因此

由Hirzebruch-Riemann-Roch 定理，有

E的第k個(gè)陳類(lèi)ck(E)∈H2k(M，R)，由定理1和定理2，對(duì)于k=1，2，…,n-1,有b2k=H2k(M,R)=0,因此c1(E)=c2(E)=…=cn-1(E)=0.

設(shè)a1，a2,…，ar為E的陳根，則關(guān)于a1，a2,…，ar的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式

a1+a2+…+an=c1(E)=0,

a1a2+a2a3+…+an-1an=c2(E)=0,

?

a1a2…an-1+…+a2…an-1an=cn-1(E)=0.

a1a2…an=cn(E).

因此

c1(E)k1c2(E)k2…cn(E)kn,

這里k1,k2,…,kn是非負(fù)整數(shù)，但c1(E)=c2(E)=…=cn-1(E)=0,故當(dāng)k1,k2,…,kn-1=0,kn=1時(shí)，上式才有非零項(xiàng).因此得到

定理8設(shè)M是一個(gè)n維的Hopf流形，E是M上秩為n的可分全純向量叢，則

證明因?yàn)镋是可分全純向量叢，則存在M上秩分別為r和n-r的全純向量叢F和G，使得E=F?G，因此有

(1+c1(E)+c2(E)+…+cn(E))=(1+c1(F)+

c2(F)+…+cr(F))(1+c1(E)+c2(E)+…+

cn-r(F)).

由定理1和2，當(dāng)1≤k≤n-1時(shí)，b2k=dimH2k(M,R)=0,又陳類(lèi)ck(E)，ck(F)和ck(G)∈H2k(M,R)，故c1(E)=c2(E)=…=cn-1(E)，c1(F)=c2(F)=…=cr(F)=0和c1(G)=c2(G)=…=cn-r(G)=0.由上面的公式

(1+cn(E))=1,