活用函數(shù)性質(zhì)中“二級(jí)結(jié)論”突破抽象函數(shù)難題

高振寧

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

抽象函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，是教師講解的重點(diǎn)問(wèn)題.抽象函數(shù)問(wèn)題由于沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式,而只給出該函數(shù)所具備的某些性質(zhì)，不少學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)常感覺(jué)束手無(wú)策.雖然抽象函數(shù)具有一定的抽象性,構(gòu)思新穎,且性質(zhì)隱而不露，但抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)為背景.通過(guò)函數(shù)運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過(guò)常見(jiàn)的“二級(jí)結(jié)論“解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不荷、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

一、奇函數(shù)的最值性質(zhì)

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，則f(0)=0.

解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.

由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性,知g(x)max+g(x)min=0.

則M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.

二、抽象函數(shù)的周期性

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.

(4)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.

(5)如果f(x+a)=f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.

例2已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí),有f(x+3)=-f(x)，且當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)=x+1，則f(-2023)+f(2024)=____.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-2023)=-f(2023).因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，有f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí),自變量的值每增加6，對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次.

又當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)=x+1，

所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=2，

f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=3.

故f(-2023)+f(2024)=-f(2023)+3=1.

三、抽象函數(shù)的對(duì)稱性

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，

推論1若f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

推論2若f(x)=f(2a-x)恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

推論3 若f(-x)=f(2a+x)恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,即f(x)=2b-f(2a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；

推論1若f(x)+f(2a-x)=0恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱；

推論2若f(x)+f(-x)=2b恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱.

例3已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1,+)上單調(diào)遞減，且f(x+1)是偶函數(shù)，不等式f(m+2)≥f(x-1)對(duì)任意的x∈[-1,0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).

解法1由f(x+1)是偶函數(shù)，得f(1+x)=f(1-x).

因此函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.由y=f(x)在[1,+)上單調(diào)遞減，知f(x)在(-,1]上單調(diào)遞增，又x∈[-1,0]，知x-1∈[-2,-1].

①當(dāng)m+2≤1，即m≤-1時(shí)，f(m+2)≥f(x-1)對(duì)任意的x∈[-1,0]恒成立,則有m+2≥x-1對(duì)任意的x∈[-1,0]恒成立，得-3≤m≤-1.

②當(dāng)m+2>1,即m>-1時(shí)，f(m+2)≥f(x-1)=f(3-x)，則有m+2≤3-x對(duì)任意的x∈[-1,0]恒成立，則-1

由以上知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-3，1].

解法2 設(shè)f(x)=-(x-1)2，由f(m+2)≥f(x-1)，得-(m+1)2≥-(x-2)2對(duì)任意的x∈[-1,0]恒成立，則(m+1)2≤[(x-2)2]min,x∈[-1,0],[(x-2)2]min=4，則(m-1)2≤4，故-3≤m≤1.

例4 函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立，且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)=4，則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為_(kāi)___.

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4.

所以f(2020)+f(2022)=f(505×4)+f(505×4+2)=f(0)+f(2)=0.

所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.

利用常見(jiàn)的函數(shù)性質(zhì)的“二級(jí)結(jié)論“解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，值得我們進(jìn)一步作深入的研究.