探尋試題考查本質 聚焦數學核心素養
——2019年高考全國Ⅱ卷理科數學第21題的探究

丁智辰

(甘肅省定西市教育局 743000)

一、考題呈現

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連接QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面積的最大值.

二、試題解答

本題的第(1)小題利用題設條件直接列出方程，通過化簡得到曲線軌跡方程及軌跡，是解析幾何軌跡求解中的常見問題，關鍵在于除掉雜點；第(2)小題主要考查利用直線與橢圓的位置關系，判斷三角形形狀以及求解三角形面積最大值問題，強化基礎知識和運算求解的基本技能，考查推理論證、數形結合、函數綜合應用的思想，立意深刻、內蘊厚重.2019年全國Ⅱ卷高考數學答案已給出本題的具體解答，本文不再贅述.

三、延伸拓展

高考解析幾何試題年年歲歲題相似，歲歲年年意不同.該題作為高考數學壓軸題，看似成規舊例，平淡無奇，但其蘊含著豐富的知識方法及深厚的試題背景，值得我們仔細研讀，深度思考.我們應堅持以學生為本、落實新課標精神，引領學生發現問題、分析問題、解決問題，透過表面現象看其本質，加以引伸、拓寬、變化，引導學生從形式的“變”發現本質的“不變”，從本質的“不變”探索形式的“變”的規律，逐步提升學生的解析幾何基本思想及數學核心素養.本題我們進一步將命題從特殊推廣到一般，揭示事物的普遍規律，探本搠源.

1.問題拓展

證明(1)設直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k>0).

(a2k2+4b2)x2-2ua2k2x+u2a2k2-4a2b2=0.

①

從而直線PG的斜率為

所以點G到直線PQ的距離

評注本結論探討橢圓焦點在x軸上的情形，焦點在y軸上的情形可以自行探討，結論仍然成立.

結論2 如圖2，已知圓C的方程為x2+y2=r2，過坐標原點的直線交圓C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連接QE并延長交C于點G.

求證：(1)直線PQ，PG的斜率乘積等于-2；

2.問題探究

由結論1和結論2可以看出，在封閉曲線圓和橢圓中具有kPQ·kPG為定值及△PQG面積存在最大值的結論.在教學中，我們將進一步探索在其他圓錐曲線中是否具有一定的結論.至此，我們可以聯想到，問題在雙曲線中是否成立？下面我們將在非封閉曲線雙曲線中加以探究.

(2)△PQG的面積不存在最值.

證明(1)設直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k>0).

(a2k2-4b2)x2-2ua2k2x+u2a2k2+4a2b2=0.

③

因此，當k趨近于0時，t趨近于+，則S趨近于0；當k趨近于時，t趨近于ab，則S趨近于+.

綜上，△PQG面積的范圍為(0,+)，即無最大最小值.

四、探究感悟

縱觀近幾年的高考解析幾何試題，“依綱扣本”是命題的主方向，教材成為高考命題取之不盡，用之不竭的源泉.2019年高考全國Ⅱ卷理科數學第21題真正體現了高考試題“源于教材，高于教材”的命題理念，試題起點較低，容易入手，植根課本，注重創新，不落俗套，自然清新.第(1)小題完全與人教A版選修2-1第41頁例3相同；第(2)小題在教材中多呈現直線與橢圓相交問題，特別是過焦點的直線與橢圓相交的相關問題，本題則涉及過坐標原點的直線與橢圓相交的三角形形狀判別及三角形面積的最值求解問題，考生感覺似曾相識，又未曾見到過原題，對考生的思維是一種新的挑戰，具有啟迪思維，引導考生在探究活動中感悟數學，探究新知.

數學問題的探究，有助于學生體驗數學研究的過程，有助于學生形成發現問題、探究問題的意識，有助于學生發揮自己的想象力和創造性.高考數學壓軸試題很好地體現了數學基礎、重視能力立意，引領中學數學回歸課本，重視數學基本概念、基本方法.為了引導考生靈活應用解析幾何的基本思想方法將問題合理轉化，試題第(2)問進行了很好地設計，對考生的邏輯推理、直觀想象等素養具有一定的要求.因此，試題不僅有利于高效選拔人才，也有利于中學數學教學的改革.

為此，在平時的教學中，通過問題的拓展探究，我們可以看到試題考查的實質所在，力促高考真題的引領活力，展現真題功能，挖掘真題潛能.從學生認知規律的角度，注重由淺及深，展開變式，引領學生在其思維水平的“最近發展區”探索，拾級而上，層層探究，真正做到“悟其必然，品其真味”，逐步落實數學核心素養，體現數學教學的核心所在.