立足課本 提升數學核心素養
——結合一道高考題談“零點”

黃少孟

(廣東省潮州市饒平縣華僑中學 515700)

在全國卷的備考中，若能深入研究全國卷的題型特點，充分發揮課本的功能，在復習中往往能起到事半功倍的效果.近幾年，全國卷對函數的主體地位明顯加強，且都是以函數導數的應用作為壓軸題，體現了函數在高中數學及后續學習中的重要作用.其中，函數的圖象與函數的性質、函數與方程、函數與不等式、函數與導數的結合更是命題人所青睞的熱門話題.

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

圖1

分析函數g(x)存在2個零點，即方程f(x)+x+a=0有兩個解，將所求問題轉化為方程f(x)=-x-a有兩個解，即直線y=-x-a與函數y=f(x)的圖象有兩個不同的交點.先畫出分段函數f(x)的圖象(部分圖象去掉)，再畫出直線y=-x，把直線y=-x上下移動，由圖1可知,當直線y=-x過點A時，直線與函數f(x)圖象有兩個不同的交點，并且當直線y=-x向下無限移動時，都滿足要求，也即方程f(x)=-x-a有兩個解，也就是函數g(x)有兩個不同的零點，此時得-a≤1，即a≥-1.

故選C.

點評從該題的分析求解過程發現，許多函數問題要用方程的知識與方法來支持；許多方程問題需要用函數的知識與方法去解決.而所有這些數學思想與數學方法都來源于課本最重要的基礎知識.立足課本，夯實基礎，構建知識網絡，形成完整的知識體系顯得非常重要.在復習備考過程中，一定要狠抓基礎，重點訓練和突破中檔題目，提高學生運用知識的能力；更要突出抓思維教學，強化數學思想的運用，堅持不懈地研究高考題是適度把握教學難度、深度、廣度，落實素質教育的重要方式.

一、常見函數的零點

例2下列函數中，既是偶函數又存在零點的是( ).

A．y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1

解析由選項可知，B，C項均不是偶函數，故排除之. A, D項是偶函數，但D項的二次函數與x軸沒有交點，所以不存在零點.故選A.

例3 如果二次函數y=x2+mx+(m+3)有兩個不同的零點，則m的取值范圍是( ).

A．(-2,6) B．[-2,6]

解析Δ=m2-4(m+3)>0,m>6或m<-2.故選D.

例8 已知函數y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c=( ).

A．-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1

解析因為三次函數的圖象與x軸恰有兩個公共點,結合該函數的圖象,可得極大值或者極小值為零即可滿足要求.而f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),當x=±1時取得極值.由f(1)=0或f(-1)=0,得c-2=0或c+2=0,即c=±2.

點評常見的基本初等函數有關零點的問題是一個最基本的問題.一般情況下，二次函數的零點問題主要依靠判別式來判斷；三次函數的零點問題，需要分析函數的單調性及極值情況，結合圖象進行求解，特別是三次函數求導之后是二次函數，要注意兩者之間的關聯所在，通過二次函數來研究三次函數問題，是這類問題的突破口.

二、判斷函數零點的個數

解析當x<0時，令x(x+4)=0，得x=-4；當x≥0時，令x(x-4)=0，得x=0或x=4.所以總共3個零點.

解析當x≤0時，令x2+2x-3=0,解得x=-3；當x>0時，令-2+lnx=0,解得x=e2.所以已知函數有兩個零點.故選C．

點評兩個例題都用了解方程法求零點.當對應方程f(x)=0易解時，可先解方程，然后再結合給定的區間范圍，判斷哪些符合要求，從而得到所求.此方法針對的是平時熟悉的一元二次方程、簡單的指數方程、對數方程等，所以對題目特點的觀察很重要，直接解方程有時候比其他方法來的更快更準.

例7 函數f(x)=lnx的圖象與函數g(x)=x2-4x+4的圖象的交點個數為( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

圖2

解析畫出函數y=f(x)的圖象與函數y=g(x)的圖象，通過圖象，直觀明了地可以看出兩個函數有兩個交點.故選C．

例8 函數f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

圖3

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點評上述這兩個例題都運用數形結合的方法進行求解.數形結合法是高考經常考查的重要思想方法，也是求解函數零點的一個重要方法，更是學生需要培養的一個重要數學核心素養.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，可以使復雜的問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題的目的.

三、判斷函數零點在給定的哪個區間

例9 在下列區間中，函數f(x)=ex+4x-3的零點所在的區間為( ).

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

解析構造函數g(x)=x3-22-x，可求得g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3)>0,g(4)>0.易知函數g(x)的零點所在區間為(1，2).故選B.

點評判斷零點在給定的哪個區間內，一般都是根據零點存在性定理，只需驗證端點值，凡端點值乘積異號就是答案.利用定理的同時不僅要求函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質.有時候需要構造新的函數，轉化為構造的函數與x軸的交點的范圍問題，相對來說，有時候比畫圖來的方便快捷.

四、含有參數的函數的零點問題

根據函數的零點情況，討論參數的范圍或求解參數的值，是最近幾年高考考查的重點和難點．針對此類問題，我們可以利用零點存在性定理、數形結合思想與分離參數思想(關鍵是轉化為常見函數或者容易畫圖的函數)來求解．把所求函數轉化為兩個函數時，特別要注意轉化得到的兩個函數的圖象應該是比較容易畫出的．在作圖時，注意考慮函數的定義域，利用函數奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質，并標注出函數圖象上的零點、最高點、最低點等一些特殊點，盡量把圖象畫準確，避免誤判．

圖4

解析函數g(x)=f(x)-m有3個零點，等價于方程f(x)-m=0有3個實數根，即函數y=f(x)的圖象與直線y=m有三個不同的交點，即m的取值范圍為(0,1).

例12 已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是( ).

圖5

點評函數思想與方程思想并不單單局限于函數與方程的問題，常常以函數圖象為橋梁，用函數與方程思想建立或確定不等式與參數的關系，結合直線方程的有關知識：斜率、定點、平行、垂直、交點、距離等.此類題目難度比較大，對學生的觀察化簡能力、不等式性質運用能力、快速準確畫圖能力、函數方程思想、數形結合思想等綜合能力的靈活應用要求很高.

小結判斷函數零點個數的方法.

(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點;

(2)數形結合法：如果題干是問零點的個數，一般通過畫圖，轉化為兩個函數圖象的交點個數問題,含有參數有關的問題，經常也是利用此方法求解;

(3)零點存在性定理法：如果題干是問零點所在的區間，一般是利用零點存在性定理.

總之，函數與方程中的零點問題滲透了豐富的數學思想方法，解題時需要具有敏銳的觀察能力和變更問題的手段，把復雜的問題簡單化，再運用等價轉化思想、函數與方程思想、分離參數方法、分類討論思想等解決問題.平時的學習根本是要立足課本、重視基礎知識的掌握、熟練運用通解通法，也需要我們用心去概括、提煉及抽象，讓自己的視角更加廣闊.