偏振對于光纖光柵傳感器工作性能影響的研究

陳 江，肖遙王戈，張繼武

（國網湖北省電力有限公司 武漢供電公司，武漢 430012）

0 引言

基于布拉格衍射理論的光纖光柵傳感器[1]，被廣泛應用于溫度、濃度、應力等參量的高精度測量，尤其是在豎井、管道一類的特殊環境，可以更大程度上發揮光纖光柵傳感器的體積小、抗干擾、高精度、易陣列等優點。在光纖光柵感器中，光柵是重要的光學衍射結構，通過相位掩膜方法分布刻寫在光纖中。從光柵用于衍射光學元件以來，對于光柵的研究應用也越來越多。在光纖光柵傳感器波前精密測量中，光柵刻寫的精度，衍射場分析都是重要環節。本文所分析的矢量光柵衍射場中，采用二維相位型光柵作為衍射光學元件，根據矢量波前衍射理論[2-4]，確定偏振波前理論模型，可為光纖光柵波長解析的研究建立正確的矢量分析模型。

圖1 （a） 棋盤光柵結構示意圖Fig.1(a) Schematic diagram of checkerboard grating structure

圖1 （b） 棋盤光柵單元結構示意圖Fig.1(b) Structure of checkerboard grating unit

1 二維相位光柵傳統衍射理論分析

二維棋盤光柵的微結構與國際象棋的棋盤相同[5]，圖1 為光柵示意圖。

二維相位光柵的光柵面入射光復振幅函數可以表示為：

其中，tu為光柵單元面的入射光復振幅函數：

對光柵復振幅函數做傅里葉變換，可以得到衍射光復振幅函數：

因此，棋盤光柵的（n1，n2）級衍射光的衍射效率可以表示為：

圖2 棋盤光柵的（±1,±1）級衍射效率隨光柵槽深的變化關系曲線Fig.2 (± 1, ± 1) Order diffraction efficiency of checkerboard grating versus grating groove depth

圖2 為衍射效率隨光柵槽深的變化關系，因此剪切光柵的選擇原則就是盡可能地使光柵1 級衍射光衍射效率高，而盡可能地抑制其他級次的衍射光，所以選擇相位型棋盤光柵，它的（±1,±1）級衍射效率是最高的，可以達到16.43%。光柵的刻蝕深度等于入射波長，即為632.8nm。

2 矢量衍射場分析

通常光柵衍射場的分析與計算主要采用標量衍射理論，在光柵空間頻率較低時，標量衍射理論與實際吻合地很好，但是它丟失了衍射光場中的重要偏振矢量信息。時域有限差分方法（Finite Difference Time Domain，FDTD）[6]作為一種新發展的數值計算方法，有更寬松的模擬要求和更精確的模擬結果。FDTD 方法與其他的矢量場計算方法相比具有明顯的優勢，可以直接在時域中求解含時間變量的Maxwell旋度方程組，避免了其他算法中不符合物理意義的解，方程含時間變量，不僅能求得穩態解，還能夠求得瞬態解。

圖3 (a)和(b)為棋盤型相位光柵優化設計前后的遠場衍射圖Fig.3 (a) and (b) are the far-field diffraction patterns of the chessboard phase grating before and after the optimization design

光波場的麥克斯韋方程：

式（5）中，E、D、H、B、J、Jm分別為電場強度、電能量密度、磁場強度、磁場能量密度、電流密度、磁流密度。空間是無源的，在直角坐標系下，式（5）可寫成如下6 個標量方程：

圖4 FDTD算法中電磁場分量在Yee網格中的分布Fig.4 Distribution of electromagnetic field components in Yee grid in FDTD algorithm

在有限時域差分算法（FDTD）中，可以把電場與磁場的空間節點按圖4 所進行空間排布。由圖可見，磁場分量與電場分量在空間交替排布，一個電場分量與4 個與之鄰近的磁場分量對應，一個磁場分量與4 個與之鄰近的電場分量對應。這種電磁場的分布關系，與電磁學理論完全相吻合，符合法拉第電磁感應定律與安培環路定律，而且這種電磁場的分布關系能夠完全地描述電磁場的空間傳播特性。

在單元結構中電場與場各分量的空間與時間取值見表1。

對式（6）和式（7）進行離散化處理。首先，在直角坐標系中，用Δx、Δy 和Δz 分別表示單元沿3 個軸向的長度，用Δt 表示時間增量。這樣網格單元頂點坐標（x,y,z）可記為（I,j,k）=(iΔx, jΔy, kΔz)，如圖4 所示。任意一個空間和時間的函數可表示為Fn(i,j,k)=F(iΔx, jΔy, kΔz, nΔt)，其中I，j，k，n 均為整數。另外，對于采用中心有限差分來表示函數對空間和時間的變化率，整體具有二階精度，可以表示式為：

表1 單元結構中電場與場各分量的空間與時間取值Table 1 Space and time values of electric field and field components in unit structure

通過式（8）和式（9）的差分形式來替代式（6）和式（7）中的微分形式，可得FDTD 中電場隨時間的推進計算公式：

式中的系數CA(m)和CB(m)為：

式中的m 分別為（i+1/2,j,k）、(I,j+1/2,k)、(I,j,k+1/2)。

FDTD 中磁場隨時間推進的計算公式為：

式中，系數CP(m)和CQ(m)分別為：

式（15）～式（19）中的m 分別為（I,j+1/2,k+1/2）、(i+1/2,j,k+1/2)、(i+1/2,j+1/2,k)。

根據以上分析可以看出，在空間取值上，電場與磁場主要取決于3 個因素：①該點在上一時間步的電場值；②與所計算電場處于正交位置的磁場修值；③媒質的電參數σ 和ε。磁場值同理。

3 二維相位光柵矢量衍射場分析

采用刻蝕深度等于入射光波長（632.8nm），占空比為（0.5，0.5），材質為K9 玻璃（n=1.516），光柵周期等于0.5λ ～7λ 的光柵進行仿真分析研究，觀察當平面波入射進，在光柵后距離光柵1mm 處的衍射場分布，得到的光場衍射分布如圖5 所示。

圖5 中，（a）～（i）分別為光柵周期為0.5λ，λ，1.5λ，2λ，3λ，4λ，5λ，6λ，7λ 時，光柵后1mm 處的遠場衍射圖。

圖5 二維棋盤光場遠場衍射圖Fig.5 Far field diffraction pattern of two-dimensional checkerboard lightfield

通過編程仿真模擬計算，可以得到如下結論：

1）光柵周期與入射光波長近似相等的情況下，棋盤光柵的衍射場為一個近似的矩孔衍射，與單一的矩孔衍射的夫朗和費衍射圖樣近似一致。

2）當光柵周期在小于5 倍的入射光波長時，光柵衍射場分布不滿足標量理論計算結果。在圖5 中依然可以看到明顯的中心零終衍射光，而且強度與1 級衍射光相當。

3）當光柵周期大于5 倍的光波長時，光柵衍射場分布與標量計算得到的分布情形一致，中心零級衍射光得到了最大程度的抑制，四周1 級衍射光得到了很好加強。

4 結束語

基于相位型光柵的光柵結構與光在光柵中的輸特性及光柵矢量衍射理論，建立一種具有全矢量場分析的光柵衍射理論模型。介紹了該模型的基礎理論，并進一步根據該方法建立了一種二維光柵矢量衍射場的數據模型，最終仿真分析給出不同光柵結構在矢量分析理論中的遠場衍射場結果。本文建立的光柵矢量衍射場分析方法，可以應用于精密光學測量系統的矢量精度分析與分光元件的其他研究中。