二階差分模型預測控制在熱工過程中的應用

李 軒，楊文健，秦鵬程

（華北電力大學 自動化系，河北 保定 071003）

0 引言

模型預測控制（MPC）在化工、汽車、航空航天等領域得到了廣泛的應用。在每個采樣時刻，MPC 計算控制律序列，以優化預測未來時刻被控對象的控制律。MPC 通過計算目標函數得到最優控制律，從而得到系統最優預測輸出值。如今，已經發展了多種基于MPC 的控制策略。

鍋爐過熱蒸汽溫度是發電廠機組安全與經濟運行的重要參數之一[1]。若溫度過高則容易損壞過熱器及汽機的進汽部件，影響機組安全；若溫度過低，則會影響到機組的經濟性。因此，鍋爐的過熱汽溫必須嚴格控制在規定的范圍內。但由于過熱汽溫對象具有非線性、大滯后和時變性，采用常規的串級控制策略往往難以獲得理想的控制效果。近年來，人們開始研究采用先進的預測控制策略來提高過熱汽溫的控制品質，得到了較為滿意的結果。

本文提出一種新的MPC 算法。基于二階差分運算內模型控制器，建立了一種新的預測模型[2]。不同于其他使用被控對象輸出的方法，該模型有兩個嵌入式積分器[3]，針對電站鍋爐過熱汽溫控制的大滯后和時變性，提出了魯棒性強的預測控制策略，并通過仿真研究證實了其有效性。

1 模型預測控制的增廣模型

考慮以下n 階離散SISO 對象：

其中，i 是離散時間指標，xn(i)∈Rn×1； un(i)∈Rn×1、yn(i)∈Rn×1分別是被控對象的狀態向量、輸入和輸出，An(i)∈Rn×n、Bn(i)∈Rn×1、Cn(i)∈R1×n組成被控對象模型。在式（1）兩邊同時進行一階差分運算，得到：

其中：

另有， yn(i+1)=Cnxn(i+1)。由式（2）、式（3）可得：

由式（3）、式（4）推導出被控對象的增廣模型[4,5]：

由于y(? + j|?) = Cx(? + j|?)，預測輸出為：

式（7）可改寫為矩陣形式：

其中：

設r(i)和R=[1,1…1]Tr(i)∈Rp×1分別為被控對象參考向量和設定點向量。根據式（15）中的目標函數，得到使預測輸出向量Y 與R 的誤差最小的U 的最優值：

其中，Ic為c×c 的單位矩陣, rw為調優參數。在式（14）中，假設R 在預測時域內為常數。由式（10）和式（15）可以證明?J/?U=2(φTφ+G)U-2φT(R-Fx(?))。式（15）的最優解使得?J/?U=0，則有：

在預測控制滾動優化中，僅使用U 的第一個樣本，即U(i)來計算控制律：

在式（6）中，u(?)=Δun(?)。因此，通過對式（17）中得到的u(?)積分，得到被控對象控制律un(?)。式（6）中的擴充模型具有嵌入式積分器。

2 基于二階差分模型的MPC方案

圖1 是基于二階差分算子(Δ2)的內部模型控制器（IMC）的MPC 模型。二階差分算子定義為：Δ2a(i)=Δ[Δa(i)]=Δa(i)-Δa(i-1)；內模控制器模型為：(t)=Aax(t)+Baün(t)。其 中，xT(t)=[nT(t)(t) e(t)]，xn(t)為被控對象狀態向量，un(t)為控制輸入，e(t)為跟蹤誤差，Aa和Ba取決于被控對象模型。

圖1 基于二階差分算子的內部模型控制器Fig.1 Internal model controller based on second order model

圖2 定值擾動仿真圖Fig.2 Simulation diagram of fixed value disturbance

設e(i)=r(i)-yn(i)為跟蹤誤差。類似于內模控制器模型，Δ2xn(i),e(i)和Δe(i)被用于創建一個新的增強模型，用于輸出預測。注意，e(i+1)=r(i+1)-yn(i+1)對式（3）、式（5）和e(i+1)進行了一階差分運算，由于算子具有線性，Δ2xn(i+1)、Δyn(i+1)和Δe(i+1)可以表示為：

其中：

將式（18）、式（19）組合，得到式（20）、式（21）所述的增廣模型。所提模型的輸入和輸出分別為Δ2un(i)和e(i)。

設e(?+j|?)為?+j時刻對誤差的預測；j= 1,……p，根據x(i)的值。設Δ2un(?+h)為模型在?+h 時刻的輸入；h =0,1,……c-1。式（6）和式（20）中的模型均基于狀態方程x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)。而且，式（8）和式（9）與x(i)、u(i)、A和B的值無關（不同于式（5）和式（21））。因此，可以使用式（10）來預測提出的模型輸出：

其中，F和φ定義在式（13）、式（14）中，Y和U的結構與Ya和Ua分別定義在式（11）和式（12）中相同，但其中元素分別為：u(?+h)=Δ2un(?+h)和y(?+j|?)=e(?+p|?)。

跟蹤誤差e(i)的期望值始終為零。因此，Ya的設定點向量R是一組零(R=0)，即對于所提出的增廣模型，預測范圍內的設定點是恒定的。因此，令（式（15）～式（17）中的R= 0，Y=Ya，U=Ua，可應用傳統MPC 中的反饋校正和滾動優化策略，得到u(?)：

在提出的增強模型中，u(?)=Δ2un(?)。因此，通過Δ2un(?)的雙重積分得到控制律：

3 仿真結果

為了驗證本文提出的方法的控制效果，對其進行MATLAB 仿真。以某電廠的過熱汽溫模型G(s)=1.24/(1+60s)2e-100s作為被控對象進行仿真研究，來評估所提方法的性能。將提出的控制器（使用c=2,p=5,rw=10）與傳統的MPC 控制器（p=2；c=5；rw=10）進行仿真實驗對比。

令rw=0，加入控制量擾動，對提出的控制器與傳統MPC 控制器進行仿真實驗對比。

圖3 控制量擾動仿真圖Fig.3 Simulation diagram of control disturbance

由圖2 可知，采用傳統MPC 算法時，主汽溫控制系統的超調量為19.15%，調節時間為79.83s，采用改進后的算法時超調量為9.68%，調節時間為31.46s。相比于傳統MPC 控制器，采用改進型MPC 控制器時主汽溫控制系統的超調量更小，調節速度更快。由圖3 可知，改進后算法具有更強的穩定性和抗干擾能力，通過實驗仿真可知改進后算法具有很好的控制品質。

4 結束語

本文提出了一種基于二階差分模型的模型預測控制算法，并將其應用于電廠過熱汽溫控制過程。與傳統模型預測控制算法相比，該控制方案具有良好的魯棒性和更快的響應速度。通過MATLAB 仿真實驗證明，該方法針對過熱汽溫被控對象大遲延和時變性進行了改善，使得系統抗干擾能力增強，最終的控制效果令人滿意。