深度思考之三角函數(shù)
——數(shù)學(xué)文化中的三角問題

王思儉

中國古代數(shù)學(xué)的成果輝煌，涌現(xiàn)一大批數(shù)學(xué)家，他們留下了許多名著，如《海島算經(jīng)》《九章算術(shù)》等，許多成果在當(dāng)時(shí)都處于世界領(lǐng)先水平．繼承和發(fā)揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)文化是十分必要的，弘揚(yáng)古代科學(xué)家精神是永恒的文化自信．下面，一起來看看我班同學(xué)在一堂數(shù)學(xué)文化課上的表現(xiàn)吧．

真題再現(xiàn)1（2021·全國乙卷理科第9 題）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高，如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿，其高度稱為“表高”，EG長稱為“表距”，GC和EH的長都稱為“表目距”，GC與EH的長度差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=（ ）

勤奮的小A：我嘗試了一下，一直在簡單的三角形相似里繞圈，始終繞不出來．

“長手哥”支一招：讀懂題意是第一位的．多讀幾遍題，理解題目中各個(gè)名詞的含義，并對(duì)照圖形標(biāo)出這些名詞，如“表高”是哪條線段？“表目距”是哪條線段？再研究這些線段在哪幾個(gè)直角三角形中，最后解直角三角形．

收納袋

數(shù)學(xué)文化題中往往會(huì)出現(xiàn)一些新名詞，理解其含義是首要的；其次，我國古代數(shù)學(xué)比較注重應(yīng)用性，本題為測量海島的高，“如何測量”是接下來要理解的．

恍然的小A：表面上是關(guān)于線段長度的題，但如果脫離角度，很難得到結(jié)果，所以我嘗試設(shè)角度．

設(shè)∠AHB=α，∠ACB=β，由已知條件得DE=FG．

在Rt△DEH中，；在Rt△FGC中，

因此，在Rt△ABH中，

在Rt△ABC中，

代入AB的計(jì)算式子，得又怎么轉(zhuǎn)化呢？

機(jī)靈的小B：想辦法消去HC，同時(shí)要湊出分母CG-EH．

因?yàn)镠C=HG+CG=EG-EH+CG，代入AB的算式，

又因?yàn)镈E是表高，所以選A．

機(jī)智的小C：我有妙招！根據(jù)等高且垂直AC，這樣可以構(gòu)成矩形，同時(shí)選項(xiàng)中有“表高”，所以就想到連接FD．

收納袋

你發(fā)現(xiàn)測量高度問題一般要用到正切的原因了嗎？

要測量的高度為直角三角形的一條直角邊，而能簡單測出來作為已知條件的則有仰角以及位于地面的另一條直角邊長，正切便呼之欲出了！

連接FD并延長，交AB于M，則AB=AM+MB．

又DF∥AC，所以∠BDM=∠BHA=α，∠BFM=∠BCA=β，

“長手哥”有話說:解法一在兩組相似三角形中分別表示出AB的長，思路自然，解法二簡單明了，運(yùn)算速度較快．兩種解法都體現(xiàn)了“算兩次”的數(shù)學(xué)思想，且都跟正切聯(lián)系緊密．“算兩次”也是測量問題中常用的重要方法．

真題再現(xiàn)2（2021·全國甲卷第8 題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高度為8848．86（單位：m），三角高程測量法是珠穆朗瑪峰測量法之一，右圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′′C′,,滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°，由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100，由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（）（ ）

A．346 B．373 C．446 D．473

踴躍的小A：作CD⊥BB′于D，則BD=100，由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，所以由平面幾何知識(shí)得

敲黑板

你“get”到“三角高程測量法”這個(gè)名字的點(diǎn)了嗎？

上一題是在一個(gè)垂直于地面的平面上進(jìn)行測算，而此題測量法相當(dāng)于將原平面進(jìn)行了折疊，且A，B，C都不在地面上，這也為測量非常高的山峰，提供了合理的前期數(shù)據(jù)．（如CC′也可以同樣由更低的高度來測算得到）

在△A′B C′′中，由正弦定理得

但怎樣利用由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°求AA′CC′-？

機(jī)智的小B：過點(diǎn)B作BE⊥AA′于E，因 此∠ABE=45°，△ABE為等腰直角三角形，所以AE=BE．又可以證明四邊形A′B′BE為矩形，所以

過C作CF⊥AA′于F，于是AA′-CC′=AF，再利用正弦定理求出

但C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角不知道，又如何求AF呢？

“長手哥”支一招：你已經(jīng)求出再觀察圖形幾何特征，想辦法求EF．

恍然的小B：連接DF，因?yàn)镃′C∥B′D，C′C∥A′F，且C′C=B′D，C′C=A′F，所以四邊形A′B′DF為平行四邊形，且為矩形，因此DF∥B A′′，且DF=B A′′，所以DF∥BE，且DF=BE，所以四邊形BEFD為平行四邊形，也為矩形，于是有EF=BD=100．

“長手哥”做總結(jié)：解三角形文化背景的實(shí)際問題四部曲：

1.首先閱讀理解題意，從字里行間和幾何圖形中，分清已知條件是什么，要求的目標(biāo)是什么．

2.其次確定求解策略，從已知目標(biāo)到待求目標(biāo)應(yīng)該怎么走？有哪些可用的求解工具（正弦定理、余弦定理、面積公式等）？還缺少什么條件？又怎樣創(chuàng)造條件（如設(shè)相關(guān)未知量、整體代換等）？是否有隱含條件沒有找到（如銳角三角形）？

3.再其次建立數(shù)學(xué)模型（如三角函數(shù)、直角三角形中正切函數(shù)等），再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解（如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、換元法等）．

4.最后回到實(shí)際問題作答.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.（2020·北京卷）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（π Day）．歷史上，求圓周率π 的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π 的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π 的近似值的表達(dá)式是（ ）

2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=(弦×矢+矢2)．弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中的“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積存在誤差．現(xiàn)有圓心角，弦長等于9 m 的弧田．

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得的結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）