高中數(shù)學(xué)知識(shí)與方法大梳理（四）

龍艷文

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

類型一：冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為（ ）

[方法總結(jié)]

解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則：

（1）依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：

①在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸（簡(jiǎn)記為指大圖低）；

②在(1,+∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸（簡(jiǎn)記為指大圖高）．

（2）依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1 的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象（類似于y=x-1或或y=x3）來判斷．

類型二：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性的應(yīng)用

例1（1）函數(shù)y=ax-2+1(a＞0 且a≠1)的圖象過定點(diǎn)___________．

（2）函數(shù)y=2x+b的圖象不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____________．

例2（1）不等式的解集是____________．

例3（1）解方程：4×4x-5×2x-6=0．

（3）已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0，求函數(shù)y=a2x-ax+1（a>0 且a≠1）的最大值．

[方法總結(jié)]

方法：（1）指數(shù)方程與不等式問題關(guān)鍵是兩邊化同底．

（2）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問題，

方法一：復(fù)合函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；

方法二：換元法．

注意：若底數(shù)為字母，則需考慮分類討論．

例4已知函數(shù)

（1）證明：f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；（2）若f(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

類型三：對(duì)數(shù)函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性應(yīng)用

例1（1）當(dāng)a＞0 且a≠1 時(shí)，函數(shù)y=1+logax的圖象必定過定點(diǎn)____________．

（2）函數(shù)y=logax和的圖象關(guān)于____________對(duì)稱．

例2（1）求下列函數(shù)的定義域．

①y=；②y=

（2）方程log2x+log2(x-3)=2的解為_______________．

[方法總結(jié)]

方法：解對(duì)數(shù)不等式和方程關(guān)鍵兩邊化同底．

注意：考慮對(duì)數(shù)的定義域或最后檢驗(yàn)．

化同底的方法：0=loga1；1=loga a=a0；M=logaaM=alogaM．

例3（1）已知函數(shù)則它的值域?yàn)開___________．

（2）若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍，求a的值．

（3）求函數(shù)f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域．

[方法總結(jié)]

方法：與對(duì)數(shù)有關(guān)的最值問題，利用單調(diào)性或換元．

注意：考慮定義域和分類討論．

例4（1）函數(shù)y=log2(x2-4x-5)的單調(diào)區(qū)間為__________．

[方法總結(jié)]

方法：與對(duì)數(shù)有關(guān)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)，結(jié)合圖象分析．

注意：考慮定義域和分類討論．

例5（1）已知函數(shù)y=(x2-mx+2)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．

（2）已知函數(shù)y=(x2-mx+2)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．

[方法總結(jié)]注意：比較兩個(gè)問題的區(qū)別．

函數(shù)零點(diǎn)

類型一：函數(shù)零點(diǎn)判斷問題

例1（1）函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

（2）函數(shù)f(x)=x3-x2-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）

A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)

（3）函數(shù)f(x)=2x+x-4零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

（4）設(shè)f(x)=lnx+x-2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

例2（ 1）函數(shù)f(x)=lgx-x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________ ；

（2）函數(shù)f(x)=2x-x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________．

[方法總結(jié)]

方法1：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)數(shù)形結(jié)合．

合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象（易畫出圖象）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

注意：函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)（如漸近線，趨近點(diǎn)等）．

方法2：利用零點(diǎn)存在定理．

利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

方法3：解方程．

函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，即通過解方程，由方程是否有解來判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)著函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)．

類型二：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

例1已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

例2已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）

A.[-1,0) B．[0,+∞) C.[-1,+∞) D．[1,+∞)

例3已知函數(shù)f(x)=恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．

[方法總結(jié)]

方法：數(shù)形結(jié)合，合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象（易畫出圖象）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

注意：函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)（如漸近線，趨近點(diǎn)等）．

例4若函數(shù)f(x)=4x-2x-a，x∈[-1,1]有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．

例5若函數(shù)f(x)=2x--a的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

[方法總結(jié)]

方法1：轉(zhuǎn)化為方程有解問題．

方法2：參變分離，即a=F(x)，則a的范圍即為F(x)值域．

方法3：利用零點(diǎn)存在定理．

結(jié)論：已知函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(a,b) 上單調(diào)，若f(x) 在(a,b) 上存在零點(diǎn)，則f(a)f(b)<0．

注意：若y=f(x)在區(qū)間(a,b) 上不是單調(diào)函數(shù)，則上述結(jié)論不一定成立．

類型三：二次函數(shù)零點(diǎn)分布

例1（1）如果二次函數(shù)y=x2+mx+(m+3)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

（2）若方程x2-2ax+4a-3=0 的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

[方法總結(jié)]

方法1：韋達(dá)定理法，如對(duì)于二次方程根的分布情況．（兩根與某一非零常數(shù)的關(guān)系同理）．

例2（1）求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0．

①有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2 大，一個(gè)比2 小；②有兩個(gè)實(shí)根，且都比1 大；③有兩個(gè)實(shí)根α，β，且滿足0<α< 1<β<4；④一根小于1，另一根大于2；⑤兩根均在(1,4)之間．

（2）關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

（3）在下列條件下，分別求出m的取值范圍．

①方程x2-mx-4=0 在[0,1]有解；②函數(shù)f(x)=x2-3x+4-m在[-1,1]上有零點(diǎn)．

[方法總結(jié)]

方法2：圖象分析法