巧變換、妙解題、悟化歸

張玲玲 戚有建

著名數學教育家波利亞曾說過：“解題過程就是不斷變更題目的過程，我們必須一再變更它的形式，重新敘述它，改變觀察問題的角度，使問題呈現出新的面貌，引發我們新的思考、新的聯想，直到最后成功地找到一些有用的東西為止．”而變換恰恰就是變更題目的一個重要途徑，高中階段常見的變換有：平移變換、對稱變換、旋轉變換、伸壓變換．通過變換，可以改變問題的呈現形式，凸顯問題間的相互聯系，揭示問題的內在本質，可以將陌生問題化歸為熟悉問題、將復雜問題化歸為簡單問題．本文結合實例談談數學變換在優化解題中的巧妙應用．

一、平移變換

例1（2021年江蘇聯考題）已知函數y=kx+b與函數y=ex-1-e1-x的圖象交于A,B,C，且則實數k=_______．

分析本題是調研考試的最后一道填空題，難度較大．不少同學選擇聯列方程組處理，但是由于參數較多，計算煩雜，只能放棄．由于平移不改變線段的長度和直線的斜率，此題可以將函數y=ex-1-e1-x的圖象向左平移1 個單位長度，得到奇函數y=ex-e-x的圖象，從而利用函數的對稱性解決問題．

收納袋

1．平移不改變線段的長度和直線的斜率．

2．函數y=ex-a-ea-x的圖象具有對稱性，對稱中心為(a,0)．

解析通過平移，問題簡單化為：

“已知函數y=kx+b′與函數y=e-xe-x的圖象交于A′,B′,C′，且，則實數k=_______．”

此時奇函數y=e-xe-x關于坐標原點對稱，且是遞增函數，由可知直線l′經過坐標原點B′(0,0)．

設A′(x,ex-e-x),x＞0，由得

觀察出x=1 滿足要求，下面說明唯一性，

令f(x)=e2x+e-2x+x2(x＞0)，則f′(x)=2e2x-2e-2x+2x＞0，所以f(x)在區間(0,+∞)上遞增，所以方程①僅有一根x=1，此時可求得

點評：本題的難點和關鍵是發現函數y=ex-1-e1-x的對稱性，通過平移將函數y=ex-1-e1-x轉化為奇函數y=ex-e-x；另外通過平移同時將問題進行了簡化，此時容易由及單調性發現直線l′經過對稱中心．由于平移僅改變圖形的位置，而不改變大小和形狀，這一特性給我們解決問題會帶來意想不到的效果．

二、對稱變換

例2（2020·山東卷）已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求實數a的取值范圍．

分析本題處理方法很多，例如：1.直接研究f(x)min；2．先從必要條件入手求出參數a的初步范圍，然后再研究f(x)min；3．主元法，以a為主元，研究h(a)=aex-1-lnx+lna(a＞0)．

當然，也可構建同構式，借助單調性處理；或者抓住對稱性（即反函數）處理．

解析1 構建同構式，借助單調性處理.

因為a=elna，所以aex-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna-1≥lnx．

兩邊加上x得elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx=elnx+lnx．

令g(t)=et+t,則g(lna+x-1)≥g(lnx),

可證得g(t)為單調增函數，所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1．

令h(x)=lnx-x+1,則h′(x)=所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，所以h(x)max=h(1)=0，所以lna≥0，即a≥1．

收納袋

借助原函數、反函數的對稱性命題的思路：先給定一個含參函數g(x)=ex+t，然后構建不等式g(x)≥g-1(x)（即ex+t≥lnx-t），再替換參數（令lna-1=t），最后對其變形改寫即得不等式aex-1-lnx+lna≥1．

解析2 借助對稱變換處理.

不等式aex-1-lnx+lna≥1即aex-1+lna-1≥lnx，令lna-1=t，則a=et+1，原不等式轉化為ex+t≥lnx-t．

因為函數y=ex+t與y=lnx-t的圖象關于直線y=x對稱，所以ex+t≥lnx-t轉化為ex+t≥x．

令g(x)=ex+t-x，則g′(x)=ex+t-1，當x<-t時，g(x)遞減，當x>-t時，g(x)遞增，故g(x)min=g(-t)=1+t≥0，所以t≥-1，所以a≥1．

點評：解法1 從題目的結構入手，構建同構式，借助單調性處理不等式，非常簡潔，但其中改寫成同構式的變形過程技巧性較強，不容易想到．解法2 則是從對稱性入手，將指數函數、對數函數之間的關系轉化為指數函數與一次函數之間的關系，從而簡化了問題．

三、旋轉變換

例3（2020·福建聯考題）已知動點P在函數的圖象上，定點A(-4,0)，則線段AP長度的最小值是________．分析構建目標函數求最值，即研究的最小值，但是目標函數的結構復雜，需對其變形改寫,此外也可以將原函數通過變換變形改寫．

解法1 換元處理.

令t=x+2，則所以當且僅當t=時，g(t)min=12，故AP長度的最小值為此時

收納袋

解法2 借助旋轉變換處理.

先向右平移2 個單位長度，再向下平移2 個單位長度，將函數簡化為從而得到一個等價問題：

“已知動點P在函數的圖象上，定點A(-2,-2)，則線段AP長度的最小值是________．”

“已知點P是雙曲線上的動點，定點則線段AP長度的最小值是________．”

此時，就轉化為我們很熟悉的雙曲線中的最值問題，于是有：

設P(x,y)，則當且僅當時取等號，所以AP長度的最小值為此時

點評：通過圖象的平移、旋轉變換，在函數與圓錐曲線間建起了一座橋梁，使得“天塹變通途”，將原本較為復雜的一個函數最值問題最終轉化為較為簡單的圓錐曲線中的最值問題，揭示了問題的實質．另外，方法1 中的換元實際上就是平移變換，但是我班同學并不是很輕松地想到了換元，值得反思．

四、伸壓變換

例4（2014·全國卷）已知點A(0,-2)，橢圓的離心率為F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為O為坐標原點．

（1）求E的方程；

（2）設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

分析第（2）中，可以構建關于面積的目標函數來研究最值，也可以通過壓縮轉化為圓中的最值問題來處理．

解析（1）（過程略）．

（2）解法1：構建目標函數求最值．

當l⊥x軸時不合題意，故設直線l∶y=kx-2，代入得(1+4k2)x2-16kx+12=0．

當Δ=16(4k2-3)＞0，即k2＞時，設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則從而

又點O到直線PQ的距離所以

解法2：借助伸壓變換處理．

先將橢圓沿x軸方向壓縮為原來的變成單位圓，從而轉化為圓中的問題，即下面這道題：

“過點A(0,-2) 的直線l與圓x2y2+=1 相交于P,Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．”

此時非常簡單，由于S△OPQ=OP×OQ×sin ∠POQ=sin ∠POQ，

故當∠POQ=90°時，

此時設直線l:y=kx-2，則由∠POQ=90°得解得

點評：方法1 是構建目標函數來處理，是通法，但是對我們的運算要求較高，而方法2 是將橢圓問題轉化為圓的問題來處理，由于圓具有很強的幾何性質，所以問題得到了簡化．另外，解法2 充分彰顯了橢圓和圓之間的內在聯系，也揭示了問題的幾何本質和命題背景．

小結變換的實質是對應,通過變換可以揭示不同問題之間的內在聯系，從整體上來把握數學問題．高中階段常見的變換有：平移、對稱、旋轉、伸壓等等，通過這些變換，可以化山重水復為柳暗花明，降低計算難度，明晰解題方向，優化解題過程，可以將陌生問題熟悉化、將復雜問題簡單化．變換解題體現了數學中的轉化思想，同時也彰顯了數學的神奇和魅力！

波利亞說過：“如果我們不將題目變更，就幾乎不能有什么進展，當原問題看起來不可解時，你不要忘記了人類的高明之處，就在于會遷回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個適當的輔助問題，會更自覺地變更題目．”