淺談立體幾何中的數學文化

馬正芳 何章鳴 (.南雅湘江中學,湖南 長沙 4008 .國防科技大學文理學院，湖南 長沙 4007)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學學科的思想體系，數學的美學價值及數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，使其逐步形成正確的數學觀.同時，《2016年高考考試大綱(修訂版)》中增加了數學文化的要求，重申了數學文化的重要性，使數學文化成為高考的重要考點之一.《義務教育數學課程標準》也提出教材應當把數學文化融入學習內容中.因此，在教學過程中，教師可以適當地介紹數學科學研究的成果，開拓學生的數學視野，激發學生的學習興趣與好奇心，培養學生的科學精神.高中數學立體幾何部分蘊含了一些數學文化，本文就此來簡單分析一下.

一、數學文化的內涵

作為學科文化中的一類，數學文化被人們廣泛認識和認同的時間要早于物理文化、化學文化等學科文化.與其他學科不同，數學學科所研究的不是具體的物質運動形態或者組織屬性，而是從自然界眾多物質運動狀態中抽象出來的數學概念、數學關系和數學性質.換言之，諸如點、線(包括直線和線段)、面、體等數學學科中的概念及其關系是對自然界和人類社會發展過程中的多種多樣的現象進行抽象提取而得出的數學規律.

目前,關于數學文化的概念，學術界并沒有形成一致性的觀點，但不同學者從研究與實踐的層面給出了相應的看法.有人認為數學學科中的各類思想、方法以及數學活動中所涉及的語言、思維方式、歷史等均屬于數學文化的范疇[1-3].也有人認為數學文化是數學學科發展過程中衍生出來的思想、精神、知識、方法、技術、理論等內容，是相關文化領域在數學學科的具體體現.更有人認為數學文化是從具體的數學知識和其應用中提取出來的文化元素，是能對人的數學思維和行為習慣產生深刻影響的內容.

學術界和教育界關于數學文化的認知尚處于深化階段，學生和教師對數學文化的認識也多是伴隨數學教學實踐而自然產生的，這就使得許多人并未真正理解數學文化的精髓，進而限制了他們對數學文化的概念認知.對應到高中數學課程教學中，雖然沒有明確對數學文化進行教學的內容，但通過分析《普通高中數學課程標準(2017年版)》可以發現，文化素質培養是高中數學教學中的一項基本內容和要求.總體而言，高中階段的數學文化主要體現在數學教材中，一般為兩個方面，一方面：數學精神的培養.在高中階段的數學教學中，教師要有選擇性地向學生介紹一些數學家的人生經歷，展示其在數學探索道路上所形成的不畏艱難、勇于進取的精神；另一方面：數學文化的滲透.教師在編寫數學課程教案時，要將與教材相關的數學文化合情合理地進行展示.換言之，高中數學教學中的數學文化不僅涵蓋高中數學中的基本數學知識及其應用、數學發展史、數學家、數學哲學、數學活動、數學語言、數學思維、數學觀念、數學精神、數學方法、數學美，也包含數學家的人生經歷及科學精神，甚至數學典故、數學作文、數學游戲等都是數學文化所包含的內容[4].當然，數學文化的內涵也會隨著數學學科的發展而不斷完善，并且在數學教學中發揮越來越重要的作用.受知識、思維等因素的影響，不同的人或者同一人在不同時間段內，對數學文化內涵的理解往往也存在一定的偏差，因此，對數學文化內涵的理解，要從數學教學的實際情況入手，將數學文化理解為數學課程中的一種內在的思想品質和行為精神.

二、高中數學教學中數學文化的體現

培養學生良好的數學文化素養是數學核心素養培育中的重要內容，也是高中階段數學教學中貫徹素質教育理念的內在要求.對于教學主體，尤其是教師來說，需要重點把握數學教學中數學文化的具體體現.結合高中數學教學實踐，數學文化主要體現在以下四個方面.

1.科學價值

法國數學家高斯曾說：“數學是科學的皇后.”意在表明數學較高的地位及其對科學發展的重要性.高中數學的科學價值主要體現為抽象性和邏輯嚴謹性.在“立體幾何”一章中，抽象性體現為將日常生活中的空間場景抽象概括為圖形，運用點、線和面進行描述，而邏輯嚴謹性則是指在4個公理的邏輯基礎下，對4個判定定理、4個性質定理以及等角定理進行了嚴格的推理驗證，而后再將它們作為工具進行應用.教材在編寫上也是從生活中常見的柱、錐、體出發，逐步走向更加抽象的概念，這符合學生的認知規律.另外，由于數學作為一種工具被廣泛地應用于各門學科，“盡心盡力”地發揮著所特有的服務功能，所以，有人將數學視為“科學的仆人”.立體幾何可抽象上升為空間解析幾何，其重點在于提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等數學核心素養.

2.應用價值

數學不只是存在于紙上的符號，更重要的是在現實社會中的應用意義，而數學的發展作為數學文化中的重要一環，受到學生數學應用能力的影響.對于學生來說，學習的內容最終落腳于應用，一旦知識無法使用，學生就會十分沮喪，甚至放棄知識的學習.但立體幾何這部分內容能很好地被學生在實際生活中使用，從而激發了學生的學習熱情.例如，教室的門閂之所以可以把門固定，運用的就是基本公理2，即過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.兩個門軸和另一側的門閂，可以抽象為不共線的三點，這就是我們身邊的數學.在教學線面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩直線平行時，教師可以采用中國現代作家茅盾的著名散文《白楊禮贊》作為導入.在聆聽和觀看中，學生不僅能觀察到平坦的大地上傲然挺立的這一排排白楊樹之間的位置關系，還能體會到堅持抗日戰爭的北方農民所代表的質樸、堅強、力求上進的精神.學生在學習數學知識的同時升華品質，潛移默化地接受了思政教育.此外，根據異面直線既不平行也不相交的性質，人們創造了人行天橋和立交橋，大大減輕了交通的擁堵；利用線面垂直的判定定理來檢驗建筑物的墻體是否合格等，也是立體幾何的實際應用.

3.人文價值

數學的歷史是一部充滿創新的著作，經歷了大量的里程碑式的定義與定理：從有理數到無理數，從實數到復數，從笛卡爾的解析幾何到牛頓、萊布尼茲的微積分的理論等等，所以，數學被稱為“創造性的藝術”.在教學中，教師要充分挖掘數學文化中所蘊含的創新價值，鼓勵學生敢于質疑、勇于創新，進而創造性地解決各種問題.例如，立體幾何中對祖暅原理進行了詳細介紹，這比其他國家要早一千多年，在歐洲直到17世紀，才被意大利數學家卡瓦列里提出.充分地向學生展示中國數學發展史中的優秀成果和數學家的創新精神，不僅能增強學生的民族自信心，還能激發學生超越前輩的激情.許多數學史料都能夠讓學生看到我們的國家和民族在數學領域中的巨大成就，進而激發他們的民族自豪感和愛國主義情感，同時也能讓學生懂得數學學習從來都不是一蹴而就的，它是一個長久的過程，需要持之以恒的毅力和頑強拼搏的精神.當然，這對任何一個科目的學習都是適用的，沒有人能隨隨便便成功，成功需要付出加倍的努力.

4.美學價值

數學從邏輯性、抽象性、對稱性和簡潔性等方面體現了數學之美.正因為如此，很多數學家都認為數學是美學.著名數學家巴拿赫說：“數學是最美的，也是最有力的人類創造.”而數學的理性美就是數學文化的精髓所在.當然，數學還可以體現形式美、對稱美，最直接的體現就是立體幾何圖形：正方體、球體、圓柱等.在教學過程中，黑板上優美的圖形、工整的板書都會給學生以美的享受，便于學生根據現有的美來創造屬于自己的美.研究數學美，一方面，學生可以通過欣賞和感受美來提高學習數學的興趣；另一方面，學生可以借助數學美的方式和標準來研究和解決問題.例如，2021年全國卷Ⅰ第3題，此題考查圓錐的立體圖與展開圖，體現了圖形的美.將空間圖形平面化是有效解決問題的方法.當然，也有很多情況是先將平面圖形通過折疊成立體圖形，再研究其性質，這也是考查空間想象能力的常用方法.

三、數學文化的應用

在高考中,如何考查立體幾何中的數學文化呢？不妨以2020年全國卷Ⅰ第3題為例.如下圖所示，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

胡夫金字塔

這道題以胡夫金字塔作為引入，沒有給定任何具體的數值，要求的其側面三角形底邊上的高和底面正方形的邊長的比值也是一個固定值，由此可見，這個固定值和具體的四棱錐的某個邊長沒有直接關聯，因此，容易想到設定一些未知數作為中間過渡量來表示題目里的一些幾何關系，即“設而不求”的思想.利用已知條件建立待定未知數之間的幾何關系，利用方程思想解出答案.對于這種考查學生應變能力以及思維轉變能力的題目，在未來的高考中會不斷出現.但是，萬變不離其宗，就算考到一些數學文化，例如本題中的胡夫金字塔，或者是2019年高考數學選擇題中的斷臂維納斯雕像，我們都可以先將其轉化為與數學相關的幾何圖形，再將數據代入幾何圖形中，最后用公式進行計算.

四、結論

一位數學教育家說：“不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數學的思想精神、數學的思維方法和看問題的著眼點等，都會隨時隨地產生作用，使人們終身受益.”數學教育不僅僅是知識的傳授、能力的培養，更是一種文化、一種精神的傳播.因此，數學文化必須走進課堂，滲透到課堂教學的各個環節中.作為教師，要不斷提高自身文化修養，深挖課內教材，結合課外素材，將數學文化與數學學科知識有機地融合，潛移默化地影響學生，從而提高學生的綜合素質.利用立體幾何講好數學故事、開展數學教學，能夠提升學生的品德修養、空間想象能力、邏輯推理能力和解決實際問題的能力，為高等教育奠定夯實的數學基礎.