探析高中數學解題中數形結合思想的應用

田 昆 (山東省曹縣第一中學高中部，山東 菏澤 274400)

一、引 言

在高中數學的教學過程中，有很多教師過于在乎成績，使用“填鴨式”的教學方法，學生總感覺到枯燥乏味.在高中數學解題中，有很多解題方法，除了數形結合法，還有分類討論法、換元法、反證法、定義法以及待定系數法等等.這些都對高中數學的解題有著重要的作用，可以減輕學生負擔，縮減學生思考答題時間.而且，隨著研究的不斷深入，越來越多的教師贊同教導學生使用多種方法來解答題目，這樣可以幫助學生更好地進行高中數學的學習，幫助學生厘清解題思路，降低學生學習數學的壓力，從而緩解學生的抵觸情緒.伴隨著素質教育和新課標教學理念的全方位實行，數形結合等數學思想在高中數學解題中的應用越來越廣泛.在近幾年高考的題型中，數形結合較之前占比更大，由此，本文主要探討數形結合對于高中數學解題的思想應用，并從以下幾個方面展開論述.

二、數形結合概念的界定

數形結合，分開來看，主要是指數與形兩個方面.它是一種教學思路方法，也是一種解題思路方法，其使用情況大致可以分為兩種：一種是根據數據的精確程度，來判斷形的某些屬性，另一種是根據形的幾何關系，來判斷其與數據的關系.不管是哪種情況，都是為了在解題過程中更快地看出問題的重點，從而化復雜為簡單.在數形結合的過程中，學生要注意數與形之間的對應關系，同時，要學會舉一反三，根據數或者形中的某一特性，來達到對數或者形某一方面或者多個方面的認識.

三、數形結合的使用策略

數形結合的使用策略大概可以分為以下三種，以數化形、以形變數和形數互變.

1.以數化形

數和形是相對應的表達方式，與圖形相比，數字比較抽象難懂，而圖形比較具體生動形象，可以直觀地表達很多屬性，對于解決問題有著決定性的作用.因此，我們在解答問題的時候，可以將數字與圖形對應找出來，盡可能多地用圖形來解決問題.在解答問題的時候，我們可以把符合問題目標的模式找出來，而這種模式就是指在圖形與數字之間的某一個特定的關系.把數字轉化為圖形，進而通過圖形來解決問題的方法，就是圖形分析法.而這種將數字圖形化的問題解決方式，就是將數字轉化為圖形，最終通過圖形問題來解決數學問題的方法.這種圖形解決法有三種方式：首先是運用平面幾何，其次是運用立體幾何，最后是運用解析幾何.通過這幾種方式，我們能將數字問題轉化為圖形問題.一般而言，我們首先要對已知的條件進行分析，再與已知的目標相結合，找出它們之間的內在關系與聯系，最后運用圖形解決問題.將數字轉化為圖形是解決數學問題的重要方式，也是解決數學問題的基本的思路方法.所以，在解答問題的時候，要厘清題目中的條件和目標，運用圖形觀察分析，得出應該使用的公式方法，從而達到解決問題的最終目的.

2.以形變數

對于比較復雜的圖形，僅僅靠簡單的觀察是不夠的，它還需要與數字相結合，需要通過數字來解決其中的問題.在解決幾何問題時，高中學生由于學習知識的單一性，并不能在頭腦中高度地構建出題中所給的圖形，進而影響了做題的速度.因此，在計算的時候，學生要注意把復雜的圖形知識轉化為數字知識，而且，通過復雜的圖形結構可以挖掘隱藏的數字知識.在解析某些復雜的圖形時，我們往往要構建出坐標系、極坐標系等輔助工具，將復雜的圖形直觀化.對于這類題目，解答的基本思路在于結合圖形，找出在圖形中體現出來的幾何知識，即通過圖形表達出來的性質、概念、定理等，再結合所學習的數字知識解答問題.對于某些高考試題，學生在解決立體幾何類問題時，如果不借助以形變數的數學思想，則很難通過高強度的邏輯思維來強行畫出要求的圖形.因此，在做這種類型題時，教師最好引導學生使用數形結合的思想，即通過代數法來解決相關的圖形問題.

3.形數互變

在解決數學問題的時候，對于一些比較復雜的問題，我們不僅要將數字轉化為圖形，還要將圖形轉化為數字.由于圖形與數字同為數學最基本的兩個要素，二者在絕大多數情況下都能相互轉化，圖形明顯易懂，數字邏輯性強，所以，圖形與數字相互轉化時有極強的邏輯貫通性.我們通過結合數字與圖形的優點來達到解決問題的目的.在學習中，學生的重點往往是解決問題，如果通過抽象的數字和復雜的圖形不容易看出解決問題的方法，那么在解答這種問題的時候，最主要的方法就是將直觀的圖形知識轉化為嚴謹的數字知識，將嚴謹的、不易表達或者抽象的數字知識轉化為形象的圖形知識.只有這樣，才可以很好地解決數學問題.

四、數形結合在高中數學解題中的思想應用

高中數學的學習是枯燥乏味的，是難以理解的.由于學生對數學敏感程度不同，對老師所教的內容消化吸收得有所差異，因此學生的學習成績差異較大，這時學生就需要高效的學習思路和方法.在高中數學中有很多解決問題的思路和方法，而每一種思路和方法又可以解答不同類型的問題.數形結合也不例外.數形結合的最大好處在于它的直觀性，學生在運用具體的圖形時，能夠更好地解決抽象的數學問題.學生要想運用數形結合的解題思想，必須要有意識地將抽象問題向具體圖形進行轉化，培養自己的圖形理解能力、圖形認知能力.在高中數學的解答過程中，數形結合可以在多個方面發揮作用，比如，數軸類問題、三角類問題、不等式類問題、函數類問題以及方程類問題和立體幾何問題，這些都是運用數形結合就可以解決問題的題型.

1.數形結合在數軸類問題中的思想應用

顧名思義，數軸類問題主要使用的就是數軸，而數軸是數形結合方法之一.數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線，線是點的集合.數軸的圖形原理就是通過數軸上的點與對應的數字相結合，找到它們之間的對應關系，最終達到數形結合的方法.這種思維解答方式更加具有拓展意義，而且，可以更加快速有效地解決相關問題，從而使高中數學的學習不再枯燥無味，而具有生命力和活力，更重要的是，它可以幫助學生培養思維，提高學生的思維拓展能力.

例1假設集合A={x|x∈Z,且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},那么A∪B中的元素個數是( ).

A.11 B.10 C.16 D.15

解析數軸能形象地表示數，數軸上的點和實數一一對應，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示.如圖1所示，由題意結合圖形可知，此類數軸題是在高中數學中出現比較頻繁的一類題目，而且，這種圖形也是高中數學中比較直觀簡單的圖形之一.對于此類題目，我們只需要根據集合中的相關元素，將代數問題轉化為圖形問題，從而解決問題.在本題中，由圖可知，集合A與集合B的并集中共包含了16個整點數.

圖1

2.數形結合在三角類問題中的思想應用

數形結合的主要思路就是將數字轉化為圖形，將圖形轉化為數字，最終達到解決問題的目的.在解決三角類問題的過程中，我們可以將相對復雜的、難以理解和想象的代數問題，通過圖形表達出來，這樣可以更加直觀地找出題目的幾何背景，從而使學生對問題的思考更加深入，開闊學生的思維，降低學生的考試壓力，最終縮減學生的答題時間.

圖2

3.數形結合在不等式類問題中的思想應用

在解答高中數學問題的過程中，特別是在解答不等式或方程問題的過程中，學生往往喜歡運用代數的方法來解答.在這種情況下，學生的解答思路就會局限于數的解答上，從而縮減了學生的思路，使問題變得更加枯燥、復雜、難懂.而且，學生在解答到某一個階段的時候，往往會因為無法進一步思考，而不得不停止思考，題目也會成為只解答了一半的未解題.在解答不等式問題的過程中，若將代數融入圖形之中，則有利于學生更加深入思考.當然，這也需要學生具有很好的轉化能力，能夠將代數問題直接快速地轉化為圖形問題.

圖3

4.數形結合在函數類問題中的思想應用

函數類問題是高中數學中經常出現的問題，換句話說，它是高中數學的高頻考點.然而函數類問題也十分復雜.所以，在解決函數類問題的過程中，將相關的問題通過圖形表示出來，不僅可以幫助學生對題目的理解，厘清解答思路，還可以幫助學生對函數知識有一個更深入的認識，而且，可以幫助學生對函數的隱藏關系進行探索與挖掘，最終使學生的解題思路更加深入與靈活.

例4已知log2(-x)

解析如圖4所示，由題意以及所畫圖形，可以很直接地得出y=log2(-x)的圖象在y=x+1圖象的下方部分所對應的x的值，所以，可以很簡單地得出x的取值范圍，即(-1，0).

圖4

5.數形結合在方程類問題中的思想應用

在高中數學中，方程類問題是最適合運用數形結合思想解決的題型之一.在問題的解決過程中，學生可以結合圖形，使抽象的代數轉化為具體形象的圖形模式，最終使問題簡單、容易理解，從而幫助學生快速地解答問題.

例5已知方程ax-x-a=0,且a的取值范圍是(1，+∞)，方程有幾個解？

解析在本題中，老師可以引導學生畫出y=ax的圖象，以此來幫助學生進一步解答.同時，學生要牢牢記住經典的函數模型和其所代表的平面曲線，在遇到類似的題目時也能迅速厘清思路，完成題目.

6.數形結合在空間幾何問題中的應用

立體幾何在高中數學中同樣占有相當重要的比重.在解決立體幾何問題時，學生既可以采用畫輔助線這種純圖形式的做法，也可以使用以形換數，轉化為空間向量的做法.作為高中數學中比較經典的解題方式，空間向量也是數形結合在空間幾何中的重要應用.使用空間向量等以形換數的思想，能鍛煉學生以數換形的思維定式，增加對數據的理解能力.

例6正方體ABCD-A′B′C′D′中，M是AD的中點，N是DC的中點，P是A′C′的中點，求平面MPN與平面A′BC′的夾角.

圖5

五、結 語

在高中數學中，數形結合是一種簡單、直觀、形象的解答方法.對于學生而言，數形結合百利而無一害，它可以幫助學生更加深入理解題型，還可以幫助學生更加直觀地認識題目.高中數學復雜的題目往往涉及多個考量標準，而數形結合這種思想能長驅直入，直奔主題.換一句話說，它可以幫助學生更加簡單地解決相關題目，縮減學生的解題時間，同時讓學生認識到，數學不是簡簡單單的數字計算，也不是將數字代入現成的公式中，而是要思考解決辦法，即使遇見了不同的尚未見過的題型，也要有正確應對的心理素質和正確解決問題的數學能力.而且，數形結合方法可以拓展學生邏輯思維能力、轉化思維能力等等，從而提高學生的解題能力.所以，在高中數學學習過程中，學生要注重對數形結合方法的學習.