基于核心素養的數學建模的案例設計

趙麗娜 (長春市十一高中，吉林 長春 130024)

2003年在《普通高中數學課程標準》(以下簡稱“課標”)中，把數學建模列為數學學習活動，強調把數學建模的思想滲透在模塊內容之中，并提出了具體活動設計與要求.2017年修訂的《普通高中數學課程標準》中明確把提出數學建模作為高中數學核心素養之一.數學模型是用數學的語言講述現實世界中與數量、圖形有關的故事，其依賴于所描述的學科背景.數學建模是一個從現實世界到符號世界的轉化，再回到現實世界的循環方式.可見，數學建模具有動態特征，是對現實問題進行數學抽象，感悟數學與現實之間的關聯，積累數學實踐的經驗，培養用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.

數學建模活動是運用模型思想解決實際問題的一類綜合實踐活動，也是中學數學課程的一條主線，它逐漸成為數學教育的熱點問題之一.本文基于核心素養討論急剎車距離模型案例，以期為高中數學建模的研究提供參考.

一、數學模型的內涵

數學模型需要從數學和現實這兩個出發點開始，就像建筑橋梁一樣，在建筑之前必須清楚要把橋梁建在哪里，要在此岸和彼岸同時設計橋墩的具體位置.也就是說，數學模型依賴于所描述的學科背景.數學建模是一個從現實世界到符號世界的轉化，再回到現實世界的循環方式將建模過程形象化.數學模型更側重于用數學創造出來的概念、原理和方法描述現實世界中的那些規律性的東西，其適用范圍通常表現為模型的假設前提、模型的初始值及對模型中參數的限制.在這個意義上，所有數學的形式，諸如函數、方程等，本身都不是數學模型，而是可以用來構建模型的數學語言.

二、數學建模的設計思路

從課程標準來看，數學建模設置屬于教育性建模，關注從實用主義角度去理解現實世界的案例，促進數學概念與算法的發展；以從學生能力角度對建模過程分階段進行能力培養為目標，以項目為導向，基于急剎車距離問題，成于活動經驗，達于核心素養，落實“三會”和“四能”目標，將積累數學活動經驗、培養學生的應用意識和創新意識貫串整個設計之中.

三、案例的設計

【問題情境】

我們知道物體的運動速度是時間的一次函數，物體的位移是時間的二次函數.因此，人們通常用二次函數表達物體的運動規律，用二次函數對應的二次曲線描述物體的運動軌跡.一輛汽車急剎車的距離，不僅對駕駛員非常重要，對交通安全管理也非常重要.顯然，急剎車的距離與駕駛員的反應時間有關，也與剎車前汽車的行駛速度有關；并且，在一般意義上，急剎車的距離因人而異，因車而異.因此，只能給出平均狀態下的數學模型.

【變量選擇】

排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響，我們把這個平均狀態下的數學模型用自然語言表達為：停車距離=反應距離+剎車距離.如果用d表示停車距離，用d1表示反應距離，用d2表示剎車距離，那么可以把模型用數學語言表達為：

d=d1+d2

①

這樣，我們需要得到d1和d2的具體表達式.

(設計意圖：學會抽象，選擇變量，去掉干擾變量，確定主變量)

【模型假設】

首先，考慮反應距離.假設反應距離只是反應時間和汽車速度的函數.其中，反應時間是指駕駛員意識到應當急剎車到實施急剎車所需要的時間；汽車速度是指駕駛員在實施急剎車之前汽車的速度.在一般情況下，反應距離d1與反應時間t和汽車速度v都成正比，因此可以把這個關系表示為d1=αtv，其中α>0為待定系數.但是在現實應用中，需要把這個關系式化簡為：

d1=αv

②

這主要有兩方面原因:一方面，反應時間t的具體數值很難確定；另一方面，無法建立公式計算待定系數α的值，就像下面將要進行的那樣，只能通過若干個形如(d1,v)的能夠觀察到的成對數據，用統計學的方法估計αt的值，因此舍去t反而會更加準確.

其次，考慮剎車距離.排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響，還需要假設汽車的剎車系統和輪胎完好，這樣，剎車距離就是剎車受力與汽車速度的函數.對于剎車受力，假定一次剎車就把輪胎抱死，則剎車受力大小基本就是汽車輪胎與路面的摩擦力.

(設計意圖：學會選擇變量，分析關系，提出模型假設)

汽車剎車速度與停車距離數據表

根據表格中的數據能夠建立停車距離與汽車速度的函數模型.

【建立模型】

d2=βv2

③

其中β為待定系數，蘊含了剎車加速度、道路摩擦系數等許多很難確定的數值.這樣,綜合②和③就可以給出模型①的數學表達式：

d=αv+βv2

④

其中α和β均為待定系數.

在一般情況下，現實數學模型的待定系數不可能通過理論計算得到，這是因為在構建模型的過程中有許多因素不可能考慮清楚，于是把這些因素的影響都融入待定系數之中.這樣，即便我們建立的是確定性的數學模型，但仍然需要用統計學的方法估計模型中的待定系數.

這樣，得到下面的急剎車停車距離模型：

d=0.006475v2+0.2065v，

當v=120時，停車距離d的預測值為0.006475×1202+0.2065×120=118.02.

(設計意圖：根據模型假設，建立等量關系，根據數據確定參數)

【模型選擇】

【模型求解】

解得a=1.2425，b=-38.85，

故d=1.2425v-38.85，

當v=120時，停車距離d的預測值為1.2425×120-38.85=110.25；

解得a=0.9996875，b=-1456.875，

解得a≈0.0081607，b≈379.2857，

由實驗數據可知：當v=120時，停車距離為118 m.

(設計意圖：選擇不同的模型，根據結果和模型擬合，選擇最佳模型)

【歸納提升】

精簡背景.最初模型的預測值更接近118 m，故模型d=0.006475v2+0.2065v的擬合效果最好.所以這個模型被普遍應用于路面交通管理及汽車剎車設計.

【模型應用】

在一個限速40 km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發現情況后同時剎車，但還是發生了相撞.測得甲車的剎車距離為12 m，乙車的剎車距離為10.5 m，如果已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)的關系分別為：

s甲=0.1x+0.001x2,

s乙=0.05x+0.05x2.

請計算出相撞事故的主要責任車輛.

d=0.208v+0.006v2.

(設計意圖：根據最佳模型去判斷、預測和分析，體會建模的意義)

四、案例設計的反思與討論

在上面的討論中可以看到，我們精簡了很多因素與變量.這樣的精簡必將影響表達式對客觀現實的描述，所以，我們只用數學的語言刻畫物體運動的規律，而不是探究物體運動的原因.

在數學模型的發展歷程中，從建模過程動態的角度來看主要是循環特征，構建數學模型是一個動態的過程，是一個逐漸接近客觀規律的過程.可見，數學建模從建模意識到思想的感悟，從體驗建模過程到自主建構，從簡單實踐過程的體驗到經驗的積累，單純依賴教師的課堂講授是不行的，更主要的是依賴學生的自主參與探究和同伴間的合作.教師應注意引導學生經歷完整的建模過程，從感知經驗上升到方法經驗與思維經驗.

1.建模過程動態的思維特征：數學模型是有邏輯的抽象化

構建急剎車距離的數學模型是對現實物理背景本身進行抽象.傳統的科學研究可以從觀察結果中歸納出結論，通過現象歸納模型，通過演繹描述模型，通過現象驗證模型，有邏輯地得到研究對象的性質，以及描述研究對象之間的關系.通過模型表達，人們用數學所創造的語言、符號和方法來描述現實世界中的故事，促進了數學內部的發展.數學建模過程的思維特征是不斷的有邏輯的抽象與推理，是歸納與演繹的有機融合.

2.建模過程動態的經驗特征：數學模型是實踐經驗與思維經驗的復合

我們知道，數學模型的建立最初是對問題復雜性的洞悉和對變量關系的選擇.數學建模在本質上可以是活動經驗的積累，可以是思維活動經驗的積累，也可以是實踐活動經驗的積累.學生在不同階段積累不同的數學活動經驗，從經歷過的事物推斷未曾經歷過的選擇，既能夠從條件推斷結果，又能從結果探究成因，這是一種創造性思維活動.數學建模意識、經驗和數學思想的感悟是一種隱性知識，因此，通過構建急剎車距離模型既要突出各階段建模不同能力的培養和活動經驗的積累，又要注重學生的自身體驗、感悟和創造.教師通過融合的建模數學課程設計和引導，全方位立體化地落實數學模型素養的實施，能有效提升數學建模素養.

3.數學模型課程設計的融合特征：進階與結構化設計

融合的課程設計是指在核心知識單元既有單元知識融合，又有獨立的課題設計；既有小綜合，又有大綜合；既有課內探究活動，又有課外探究活動.數學建模是過程化、綜合性與實踐性融合一體的教育,是落實學生數學素養的有效載體，因此，數學建模素養的進階評價還是要回歸數學建模的核心特征，改變傳統的“目標、成就、評價”的線性單元結構設計及終結性評價，提倡以“主題、經驗、表達”的非線性單元結構設計，這樣既能夠突出各階段不同能力的培養和活動經驗的積累，又能夠全方位立體化地突出數學模型的地位，落實數學模型素養的實施.

4.數學模型課程評價的形成特征：個性差異與價值認知

數學建模是過程的教育,是學生數學素養的集中體現，因此，數學建模的評價還是要回歸數學建模的核心特征，改變傳統的終結性評價，提倡“主題、經驗、表達”的非線性單元結構設計和形成性評價，并且采用科學客觀的方法判斷課程實施質量.不同階段數學建模的內容要求對建模過程、活動經驗和數學思維都有所表述，但沒有系統化的闡述和表征.因此，我們試圖建立更清晰的行為表現界定，注重學生的體驗過程，在體驗的基礎上構建自己的價值認知；關注學生的個性差異，拓寬學生實踐的智慧時空；關注學生數學思維能力與活動經驗的生成與積累，以此來全方位提升學生的數學核心素養.