三浮陀螺加速度計浮子六自由度運動分析

賀 宇，孫文利，馮毅博

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

0 引言

三浮陀螺加速度計屬于擺式積分陀螺加速度計 （Pendulous Integrating Gyroscope Accelerometer，PIGA），是一種利用陀螺力矩進行反饋的擺式加速度計［1］，具有陀螺儀和擺的雙重特性。為了消去干擾力矩的影響，需要利用伺服、磁懸浮、溫控等控制回路對浮子、框架的轉動等進行控制，保證儀表的正常工作狀態與輸出精度。對浮子的六自由度建模分析可更好地描述其在浮液內的運動狀態。穩定浮子質心位置，實現對浮子的六自由度控制，可提升儀表結構的穩定性，減小安裝誤差帶來的影響，對提升、發揮三浮儀表的精度優勢具有重要意義［2?3］。 在有橫向加速度時，浮子的運動數據也對分析儀表輸出方程中的各非線性項具有重要意義。

王雪等［4?5］對三浮陀螺的浮子進行了磁懸浮控制系統建模，并對其磁懸浮與溫控回路進行了一體化設計，其模型涉及到陀螺儀浮子的五個自由度。唐哲［6］對三浮陀螺的浮子運動規律進行了建模與仿真分析，其分析主要涉及陀螺儀磁懸浮控制系統的五個自由度。吳遼等［7］在對三浮陀螺的磁懸浮結構進行優化設計時，對陀螺的浮子進行了動力學分析。

轉子陀螺儀的浮子具有對稱性，無偏心質量，在上述提到的已有工作中，對其建模分析僅包含磁懸浮系統所能控制的五個自由度。而三浮陀螺加速度計的浮子具有偏心質量，目前并未有此類對其浮子運動狀態的理論建模。對三浮陀螺加速度計工作原理的動力學分析往往將其簡化為帶偏心質量的雙框架二自由度陀螺儀，內外框架間只存在內環軸的旋轉角度一個自由度，并主要分析雙框架繞各自旋轉軸的角運動。針對上述分析中陀螺儀的浮子動力學模型僅有五個自由度的不足以及未有對三浮陀螺加速度計帶有偏心質量的浮子模型進行建模的不足，本文考慮了三浮陀螺加速度計的浮子在浮液內有平動與轉動共六個自由度的相對運動，從而可建立更為完整的三浮陀螺加速度計工作原理模型，以更好地描述運動狀態，并可據此實現對浮子的六自由度調整，從而穩定了浮子位置，確保了模型的準確性，提升了整表精度。因此，本文以可六自由度運動的浮子以及包含浮子組件在內的外框架為研究對象，建立了完整的動力學模型。在無橫向加速度時，對模型進行線性化，根據線性化模型，通過互相解耦的控制回路與一體化的控制系統對浮子進行了六自由度調整試驗；在有橫向加速度時，對浮子的非線性耦合運動進行了分析，并通過試驗獲取了相關數據。

1 動力學分析

如圖1所示，分別建立固連在浮子的坐標系O2X2Y2Z2（內框系）、固連在外框架上的坐標系O1X1Y1Z1（外框系）、固連在加速度計外殼體的坐標系O0X0Y0Z0（基座系）。陀螺角動量為H，浮子組件質量為m，在浮液內可自由運動，其質心位于O2X2Y2Z2坐標系的l＝［0 0l］T處，將其在浮液內的運動分解為以O2為基點的平動和定點轉動，浮子組件長度為L（沿O2Y2軸），浮液浮力Ff等效作用于O2處。

圖1 三浮陀螺加速度計原理圖Fig.1 Principle diagram of PIGA

根據三浮陀螺加速度計的工作環境，設外殼體相對慣性空間保持固定姿態即無相對角速度［8］。設外框架繞外框軸的進動角速度為，浮子在浮液中相對外框架的轉動角度分別為θx、β、θz，轉動角度角秒量級，對轉動順序無要求，在O2X2Y2Z2與O1X1Y1Z1的投影相同。從O1X1Y1Z1坐標系到O2X2Y2Z2坐標系的姿態轉換矩陣為Cnw， 同理由于3個轉動角度均較小，對正余弦做近似處理可以得到，無論在何種轉動順序下均有

理想狀況下，浮子組件在O2X2Y2Z2坐標系的轉動慣量為：J2＝diag（J2x，J2y，J2z）； 外框架在O1X1Y1Z1坐標系的轉動慣量為：J1＝diag（J1x，J1y，J1z）。浮子組件整體的角動量投影在O2X2Y2Z2上為：為浮子組件相對慣性空間的角速度；外框架的角動量Hw投影到外框系O1X1Y1Z1時：為外框架相對慣性空間的角速度，

首先以浮子為研究對象，將浮子運動分解為相對外框架坐標系O1X1Y1Z1的平動與繞自身固連系O2X2Y2Z2原點O2的定點轉動，根據動量守恒與角動量守恒定理，列出的矢量表達式為

式（2）中的第一個矢量方程為平動方程，投影在外框系O1X1Y1Z1上，x為浮子相對外框架的位移矢量。F為浮子的外力矢量和，浮子組件受到浮液的浮力Ff、磁懸浮磁拉力（左端徑向磁力Fxl、Fzl，軸向磁力Fy，右端徑向磁力Fxr、Fzr）、 慣性加速度a0產生的力（a0為外殼體的視加速度在O0X0Y0Z0坐標系的投影）、浮液阻尼的作用力。還應考慮外框架轉動帶來的牽連加速度以及科氏加速度產生的慣性力-MA1，其加速度

式（2）中的第二個矢量方程為以基點O2為中心的定點轉動方程，投影在內框系O2X2Y2Z2上，Mn為磁懸浮拉力產生的力矩、相對角運動浮液阻尼力矩、各慣性力矩（基座加速度a0引起的慣性力矩Mn1，外框架轉動、浮子與外框架的相對運動產生的慣性力矩Mn2）的矢量和，由于浮心位于原點O2處，因此浮力不產生力矩。其中，磁懸浮拉力產生的力矩在O1X1Y1Z1上的投影Mcxf＝可轉換到O2X2Y2Z2坐標系，外框架轉動、浮子與外框架間的相對運動帶來的慣性力矩Mn2可展開寫為

同理，以外框架（包含內部浮子組件）為研究對象可得轉動矢量方程

式（4）中，Mw應包含基座的加速度帶來的慣性力矩Mw1、沿O1X1軸的干擾力矩MX1以及電機力矩-MD。此處使用自由剛體的運動模型，不考慮內部浮液流動的干擾，則將上述浮子的2個矢量方程展開，并求出外框矢量方程沿OX1的分量，可得

ABS樹脂的增韌機理為多重銀紋及剪切帶，橡膠粒子誘發銀紋并阻止銀紋的發展，多個橡膠粒子互相作用形成多重銀紋，吸收能量，材料表現出韌性。當溫度提高到一定程度，高分子之間自由空間加大，分子鏈段運到能力提高，分子鏈更加容易取向，在外力作用下更多的分子參與形變，形成剪切帶，提高材料抵抗外力的能力。

式（5）中，c為浮液對浮子做相對線運動的阻尼系數，cθ為浮液、 浮子做相對角運動的阻尼系數，a1＝［a1xa1ya1z］T為基座加速度a0在O1X1Y1Z1的投影。

2 基座加速度對模型的影響分析

2.1 非線性耦合運動分析

在基座加速度a0＝［a0xa0ya0z］T即有橫向加速度a0y、a0z時，內框架慣性力矩Mn1為

外框架慣性力矩Mw1為

由于浮子與外框架間的位移為微米量級，浮子在浮液內的角運動為角秒量級，與其他量相比相對微小，且采用了阻尼系數c與cθ較大黏稠浮液，故舍去式（5）中等式右側含有與x或［θxβθz］T乘積的力與力矩，且可忽略式（5）中等式左側的角度變量二階及高階乘積小量，則可得內框架慣性力矩為

外框架慣性力矩沿O1X1的分量為

可得方程組

由于外框架的進動，式（10）中的輸入力矩為式（7）、式（9）中的周期性力矩，無法線性化。由于平動方程與轉動方程右側受力、力矩項與外框架進動項有關，同時各自由度間有較強的相互耦合［9］，因此在輸入加速度固定時，浮子最終將呈現出周期性的運動，各自由度運動周期與進動周期一致。

2.2 模型線性化與靜態解耦分析

考慮到浮液可在溫控回路的控制下保持溫度穩定［10］，則在浮子的平動方程中，浮力將與各慣性力達到平衡，于是浮子的外力矢量和F可簡化為磁懸浮拉力與相對線運動引起的浮液阻尼力的矢量和。在基座無橫向加速度即慣性力只有沿O0X0的分量時有由上述分析可得內框架慣性力矩因此，可實現對方程組的線性化

據此建立整個控制系統的狀態方程

選取13維狀態變量和7維輸入量

可得系統矩陣A13×13和矩陣B13×7

選取7個方便觀測的輸出量

各變量分別為：浮子左右端沿X1軸的位移xl和xr、沿Y1軸的位移y、左右端沿Z1軸的位移zl和zr、內環軸轉動角β、外環軸進動角速度?α，可得輸出方程

則有

對上述系統進行分析，可求得

因此對應矩陣滿秩，則式表明上述系統滿足靜態解耦條件，7個輸出量在一定條件下，穩態時由對應的輸入量所控制。輸入輸出量中的前5個與磁懸浮回路相關，其余2個輸入輸出量與伺服回路相關，此外為保證浮液提供的浮力以及相對運動、相對角運動的阻尼系數穩定，需要溫控回路控制浮液溫度。因此，通過三浮陀螺加速度計的溫控、磁懸浮與伺服三條回路相互配合控制，可實現對上述7個變量的調整。浮子的六自由度通常為3個平動自由度與3個轉動自由度，即狀態變量中的以下六維

通過可逆轉化矩陣

可將其轉換為輸出量中的前六個變量

即Y6＝C6X6， 由于轉化矩陣可逆-L2/2），因此上述兩種六自由度完全等價。而Y6中的前5個變量即磁懸浮回路所控制的浮子徑向、軸向的位移，第6個變量對應伺服回路中的內環角度。因此在溫度穩定的條件下，通過發送通信指令可對上述6個自由度進行調整。

3 試驗結果與分析

3.1 斜置試驗

圖2 橫向加速度造成的浮子周期性運動Fig.2 Periodic motion of floater caused by lateral acceleration

由該浮子位置可得表1。

表1 浮子斜置試驗狀態分析Table 1 State analysis of floater inclined experiment

根據式（10），由于其非線性耦合性較強，此處僅分析由于外框架進動產生的周期力矩、周期力而導致浮子各自由度呈現的周期運動是否一致的問題。進動周期的設計值為6.60s，顯然各自由度運動周期基本與外框架進動周期一致，測試結果與該方程組特性一致。

3.2 六自由度調整試驗

為驗證在無橫向加速度時的線性化模型以及靜態解耦特性，對浮子進行六自由度調整試驗，試驗使用上述進行了小型一體化控制回路設計的某型號三浮陀螺加速度計以及程控多齒分度臺ZDFT?720。為驗證靜態解耦與六自由度調整，利用分度臺使得儀表輸入軸O1X1與當地水平面夾角為180°，此時加速度輸入a0＝［-g0 0］T， 通過上位機對一體化控制系統發送指令，對浮子6個自由度進行調整，可得到如圖3所示結果。在整個測試過程中，在不同時間分別使用上位機對一體化控制系統發送相應的調整指令，觀察各自由度的調整結果，判斷是否可實現靜態解耦以及對六自由度的調整，調整自由度時發送的指令內容以及調整后的狀態分析如表2所示。

圖3 浮子六自由度調整試驗結果Fig.3 Results of floater 6?DOF adjustment experiment

表2 浮子六自由度調整試驗指令、狀態分析Table 2 Command and status analysis of floater 6?DOF adjustment experiment

分析浮子六自由度位置狀態的圖表可知：在過渡過程中，浮子各徑向位移之間有耦合作用；各平動位置變量在過渡時間后與其穩態誤差大部分均小于0.06μm，該值小于磁懸浮控制回路的死區范圍，轉動位置的誤差小于5″，該值接近內環角度傳感器的死區范圍。因此，在穩態時浮子徑向軸向位移、內環角度共6個自由度均能達到設定值，可實現靜態解耦對浮子的六自由度調整。

4 結論

本文以可六自由度運動的浮子與外框架為分析對象，建立了三浮陀螺加速度計的工作原理動力學模型，根據有無橫向加速度輸入，對浮子的六自由度運動特性進行了分析。在有橫向加速度輸入時，可得由于進動導致的周期性力矩、周期力，浮子各自由度均將做周期運動，通過斜置試驗得到了浮子的周期性運動數據，驗證了浮子各自由度均呈現出與陀螺擺進動周期一致的簡諧運動的結論。在無橫向加速度輸入時，可對動力學方程組進行線性化，分析可知模型具有靜態解耦特性，據此通過小型一體化控制系統對儀表進行試驗，試驗實現了對浮子的六自由度調整，驗證了浮子六自由度運動的可靜態解耦特性。