法理并重，落實運算能力

苗二亮

【摘 要】計算教學由計算原理教學和技能訓練兩部分組成，算理和算法相輔相成，算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括。計算不應該是單純的算法演練，教學中要關注已有經驗，借助直觀模型，給學生留足時空，搭建認知的腳手架，使學生在操作、比較、遷移、類比等活動中，建立算理間關聯，加深對算理的理解，搭建算法和算理橋梁，發展學生數學素養。

【關鍵詞】算理 算法 計算教學

一、緣起

筆者曾經參與一節《整數除以分數》研討課，執教教師通過“創設情境，列出算式—自主探索，交流算法—借助直觀，理解算理—抽象概括，形成算法”的線索，使學生掌握計算方法，課堂練習氣氛活躍，教學效果看似不錯。

隨后，聽課教師出了一道練習題（圖1）對執教班級學生進行后測，調研結果卻引發了筆者的思考。全班50個學生中有48個學生能夠正確列式計算，但僅有9個學生能夠正確畫圖表示結果。通過訪談得知：有的學生說，3÷的計算結果會算，但怎么表示計算過程不知道;有的學生認為，已經能夠正確計算結果，還需要畫圖表示干什么……當問及學生“整數除以分數為什么可以轉化為除數的倒數來解決”時，多數學生的回答是“老師教的”。

1.先畫圖表示3÷的計算結果，再計算驗證。

3÷=

筆者不禁重新審視這節課的教學，調研分析日常教學中暴露的問題：一是算理和算法混淆不清，教師錯誤地認為，計算中講清了怎么算也就講清了算理;二是算法和算理失衡，教師將大量時間用于算法技能的訓練，對算理蜻蜓點水，學生缺乏對算理進行自主探索上的體驗;三是算理和算法脫節，即算理和算法彼此孤立、形式單一，僅僅通過一個直觀模型讓學生理解算式的意義和結果，難以達到直觀和抽象的有效聯結。

二、課堂實踐

如何有效避免上述問題，實現算理和算法“比翼雙飛”呢？筆者深入思考，找出問題的癥結，重組教學流程。

（一）初步探究，激活經驗，探索算法

出示問題：把4個同樣大的橙子分給小朋友，每人個，可以分給幾個人？

師：怎樣列式，并說說你是怎么想的？

生：4÷，4是總個數，是每人得到的橙子數，4÷就表示可以分給幾個人。

師：4÷的結果是多少呢？能將你的想法清楚地表示出來嗎？

（學生獨立完成，展示交流）

生1：我是把轉化成小數0.5計算的，用4÷= 4÷0.5=8（人）。

生2：我是通過畫圖（圖2）來計算的，1個橙子可以分給2人，4個橙子就可以分給4×2=8（人）。

生3：4÷=4×2=8（人），4×2表示1個橙子分給2人，4個橙子就可以分給4×2=8（人）。

生4：4÷=（4×2）÷（×2）=8÷1=8，我運用商不變的規律，被除數和除數同時乘2，商不變。

【反思】計算教學的新知都是由舊知引出，并以舊知為原點探索新的算法。在新課學習前需喚醒已有經驗，將原有經驗重組和改造，充分體現個性化、多元化的算法。教師為學生搭建充分探究空間，點燃舊知火把，使學生在原有認知存儲上主動將分數化為小數，把除法轉化為乘法，將整數的運算規律遷移，通過圖形表征、算式表征、文字表征多種方式表達，活躍學生的思維，促進學生的發展，為優化算法、內化算法提供生長點。

（二）再度探究，理解算理，優化算法

出示問題：把4個同樣大的橙子分給小朋友，每人個，可以分給幾個人？

師：你準備怎樣計算呢？

生1：轉化成小數是除不盡的，而且運用商不變的規律計算太麻煩了。所以我選擇變成乘法計算4÷= 4×3=12。

師：這其中的道理誰來講一講？

生2：（指圖3）1個橙子平均分成3份，每份是個，正好可以分給3個人，4個橙子中有4個3，所以4×3。

師：把4個同樣大的橙子分給小朋友，每人分個，可以分幾個人？

生3：4÷=4×4=16（人）。

師：為什么不畫圖，你就可以直接算出結果了？

生4：1個橙子可以分給4個人，所以4個橙子就可以分給4×4=16（人）。

師：照這樣思考，你還能說出一個整數除以幾分之一的算式嗎？同桌說一說，算一算。

（學生列舉計算，歸納概括整數除以幾分之一的計算方法）

【反思】算法優化是學生自我反思、自我完善的過程。教學中為防止算法過度多樣化，需引導學生在變式中發現問題、找出差距，重構算理，產生優化算法的需求。學生經歷對比分析除數是和的計算，進一步加深幾何直觀對算理理解的認知。學生通過對比優化，保留簡潔、共性的算法，有利于溝通算理和算法，初步形成法則并拓展到除數是的計算，形成基本的運算技能。這樣，學生經歷不斷的內省和調控，找到最簡潔的方法，初步形成選擇策略進行計算的意識，發展正確、合理、靈活進行計算的能力，培養思維的嚴謹性、深刻性、靈活性，提升思維品質。

（三）深度探究，積累經驗，內化算法

出示問題：把4個同樣大的橙子分給小朋友，每人分個，可以分給幾個人？

師：現在你還能畫圖，表示出計算過程和結果嗎？

生1：（如圖4）4÷=4×3÷2=6。表示把1個圓平均分成3份，4個圓就是4×3=12份，每人取其中的2份就可以分給12÷2=6（人）。

生2：我們組想法和生1的差不多，因為3÷2=，因此4÷=4×3÷2=4×=6（人）。

生3：我們利用4÷=4×3的結論，和互為倒數，所以我們推出4÷=4×=6（人）。

師：（追問）現在如果讓你選擇你最喜歡的算法，你會選擇哪種算法？

生：我喜歡生3的做法，因為很簡便。

師：是的，計算時我們一般會選擇比較簡潔的方法。但是，我們不僅要會算，還要知道為什么這樣算。如果用一條直條圖（圖5），你能畫圖表示出4÷計算過程和結果嗎？

（生畫圖，交流分享計算和思考過程）

生：4÷=4×=6（人）。

師：如果把直條圖抽象成線段圖，還能表達出來嗎？

師：選擇你喜歡的圖形，如圓形、直條、線段等，表達出4÷的結果。

師：（小結）回顧剛才的過程，我們可以把橙子圖想象成圓形，然后抽象成直條圖、線段圖，都可以直觀地解釋除法轉化成乘法計算的合理性。

師：不畫圖你能計算出4÷的結果嗎？5÷呢？

師：你能用一句話概括出整數除以幾分之幾怎樣計算嗎？

生：整數除以分數就乘原來分數的倒數，不管分數是幾分之一還是幾分之幾都可以這樣計算。

【反思】算法是算理的提煉、概括和總結，簡化了復雜的思維過程，添加了程序化操作步驟，形成更具一般性的運算法則。從除以幾分之一過渡到幾分之幾，六年級的學生已具備自主遷移的能力和經驗，算法遷移須基于理解進行，學生能正確計算并不代表學生完成了知識的遷移，學生需要再次在現實情境下理解除以一個數等于乘這個數倒數的道理，通過合理選擇練習內容，提高練習要求，經歷直觀到抽象的提升，豐富感性體驗和理性認知，漸次完成對知識的完整建構。此時學生獲得的認知不再是單一的、孤立的認知，而是更具一般性、普適性、關聯性的有意義的建構，真正達到知識的內化。

三、教后思考

讓學生“探究方法—表征算法—明晰算理—形成算法的過程”是本節課教學的主要特征，本節課借助直觀圖形溝通算法聯系，幫助學生理解整數除以分數的筆算方法，感悟數形結合、轉化、推理等數學思想方法，使運算教學循法明理、法理兼備，逐步提升學生的運算能力。

（一）加強直觀，減緩學生認知坡度

幾何直觀主要是指利用圖形簡明、形象地描述和分析問題。幾何直觀是計算教學中促進學生理解算理的手段，也是發展學生數學思考的必要途徑。教學中，教師借助實物圖、圓形圖、直條圖、線段圖等，使學生在不同情境下豐富對算理的認知，加深對算理的理解，在注重發展學生思維能力的基礎上，借助幾何直觀建構整數除以分數的計算模型，深入理解運算的本質。這樣的活動使學生經歷了動作思維—表象思維—抽象思維過程，減緩了認知的難度，完成直觀到抽象的過渡，有利于在算法直觀和算法抽象之間建立有效的橋梁，為概括算法不斷豐富體驗;有利于在直觀認知中，呈現不同思維水平、不同角度思考解決問題的全過程，貫穿“數形結合”“轉化”“推理”等數學思想方法，實現了除法轉化成乘法、除數轉化為倒數的合理性、普適性、簡便性;有利于提升解決問題的能力，培養問題意識及數學問題的敏感性，最終促進思維能力的發展。

（二）注重關聯，構建完整認知結構

數學是一門抽象性、邏輯性、結構性很強的學科，數學知識之間有很強的關聯性，有效關聯有助于知識理解、內化、運用。從整數除以幾分之一過渡到整數除以幾分之幾，學生經歷了從特殊到一般的過程，在理解算理形成算法的過程中經歷了算法多樣化的建構、算法優化的解構和算法一般化的重構，這樣系列的活動建立在關聯上。首先，在舊知和新知中建立關聯。在初步接觸整數除以分數時，學生能主動調動已有的認知經驗進行創造加工，如將轉化成0.5、畫示意圖、列算式、運用商不變規律的自主遷移，將新知轉化成舊知，在多樣化算法中，尋求共性特征，優化算法，有效解決問題。其次，在直觀操作和算法抽象間建立關聯。在學生交流多樣化算法的基礎上，教師有意識地引導學生思考算法之間的關系。例如：在計算4÷時，對比畫圖和算式兩種方法的相同和不同的地方;計算4÷時，對比上面三種算法的異同。最后，在形式單一和多元表征中建立關聯。借助不同的直觀模型，即實物模型—圓形—直條—線段，逐步完成對算理理解和表征。變換不同除數，即除數是幾分之一到幾分之幾的變換，學生自然會推想出雖除數不同，但都可以將除號變乘號，除數變倒數，實現知識互聯，舉一反三。因此，通過不同算法間建立關聯，學生在“散中求聯”形成結構化思維，在“異中求同”理解運算本質，在“多中見優”實現深度學習，逐步提高數學思維能力。

（三）留足時空，體驗完整認知歷程

數學教學是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程，這一系列的活動必須建立在充分的時間和空間上。分數除法教學中，教師留足空間引導學生呈現多樣化的算法，在不同算法和算式間建立關聯，架構算法抽象和算理直觀之間的橋梁，進而形成表象，逐步抽象成一般算法，力求讓探索過程“慢”一些。經歷除數是，，的變化，學生在變化中尋不變，在變化中尋求運算的本質，借助運算模型反向加深算理的理解，彌補只會算卻說不清為什么這么算的缺陷，力求讓運算理解“透”一些。在新授和練習的設計上，教師借助直觀模型探索算法、概括算法，利用運算法則得到運算結果后，反向解釋每一步為什么這么算的合理性，讓學生的認知方式“耐扛”一些。因此，法理并重需要給學生充分的探究空間，使學生歷經合理的、簡潔的濾化過程，真正實現計算技能向運算能力的轉化，培養數學思維。