基于問(wèn)題鏈的“空間兩條直線位置關(guān)系”的教學(xué)探索

余晨

摘要：“問(wèn)題鏈”是一種常見(jiàn)的問(wèn)題設(shè)計(jì)方式，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)生思維的活躍度，突破教學(xué)的重難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有著相當(dāng)重要的作用。本文主要利用《空間兩條直線的位置關(guān)系》這堂課對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)“問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)進(jìn)行探索。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}鏈;核心素養(yǎng);類比

一、基于數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的課例研究

在課堂教學(xué)中，教師如何喚起學(xué)生的積極性，讓學(xué)生能夠主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一直是教學(xué)設(shè)計(jì)努力的方向。“問(wèn)題鏈”是指在教學(xué)過(guò)程中，教師圍繞著一定的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)一連串層次分明、環(huán)環(huán)緊扣的問(wèn)題，以次引導(dǎo)學(xué)生積極思維，主動(dòng)探索知識(shí)，進(jìn)而提升能力。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”，以誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度、多層次的探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力[1]。

為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生提供高水平的數(shù)學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也為學(xué)生的獨(dú)立思考提供載體，我校在與浙江師范大學(xué)的合作中開(kāi)展了“基于數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的教學(xué)改革”系列探索活動(dòng)。本文正是其中的一個(gè)實(shí)踐案例。

二、“空間兩條直線位置關(guān)系”的教學(xué)連結(jié)點(diǎn)與問(wèn)題鏈

基于問(wèn)題鏈的教學(xué)也在一定程度上使教師的工作重心由課內(nèi)轉(zhuǎn)向了課外，如何構(gòu)建適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題鏈成為首要的工作，而在課堂上更多地讓學(xué)生去獨(dú)立或合作地探索問(wèn)題鏈中的相關(guān)問(wèn)題。

在構(gòu)建問(wèn)題鏈的過(guò)程中，一般經(jīng)歷了三個(gè)階段，即首先通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)主題結(jié)構(gòu)關(guān)系圖，尋找教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn);其次根據(jù)數(shù)學(xué)主題設(shè)計(jì)主干問(wèn)題;再次根據(jù)學(xué)生實(shí)際，構(gòu)建主干問(wèn)題鏈。當(dāng)然，由于在第一階段綜合地考慮了數(shù)學(xué)主題之間的關(guān)聯(lián)及其在學(xué)校課程中的順序關(guān)系，因此后兩個(gè)階段往往又是交叉重疊的。

（一）空間兩條直線位置關(guān)系的教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)

空間直線的三種位置關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，學(xué)生對(duì)它們已有一定的感性認(rèn)識(shí)。其中相交直線和平行直線都是共面直線，學(xué)生對(duì)它們已經(jīng)很熟悉。異面直線的概念是學(xué)生比較生疏的，也是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

如圖1展現(xiàn)了學(xué)生已經(jīng)掌握的直線位置的知識(shí)點(diǎn)和高中階段兩條直線位置關(guān)系的不同之處和相互關(guān)聯(lián)。

基于上述分析，從兩個(gè)文本框中的內(nèi)容中，我們可以看出初中和高中有很多內(nèi)容相似法的地方，因此在設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈的時(shí)候可以采用類比的方法，以此作為連結(jié)點(diǎn)入手。

（二）“空間中兩條直線位置關(guān)系”教學(xué)的問(wèn)題鏈

問(wèn)題1-1：同一平面中的兩條直線有什么位置關(guān)系？

該問(wèn)題是本節(jié)課的起點(diǎn)性問(wèn)題，目的是讓學(xué)生回憶初中已有的相關(guān)知識(shí)，為后面的問(wèn)題做鋪墊。同時(shí)讓學(xué)生總結(jié)歸納以下命題：平面內(nèi)有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線相交，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行。

問(wèn)題1-2：該命題在空間中是否成立？如果不成立請(qǐng)舉出反例，反例中的直線具有怎樣的特點(diǎn)？（學(xué)生歸納總結(jié)出既不相交也不平行的特點(diǎn)）

問(wèn)題1-3：符合上述特點(diǎn)的直線是什么直線？（由此引出異面直線的定義）

問(wèn)題1-4：若兩條直線分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，那么這兩條直線是什么位置關(guān)系？

（該問(wèn)題主要是在學(xué)生了解了異面直線的定義以后，對(duì)定義的進(jìn)一步加深理解，同時(shí)對(duì)原有的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固）

問(wèn)題2-1：同一平面內(nèi)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行嗎？

問(wèn)題2-2：空間中如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行嗎？

問(wèn)題2-3：平面內(nèi)的命題拓展到空間中是否都成立？

該組問(wèn)題從平面到空間，把平面的定理用類比的方法推廣到了空間，同時(shí)給出了公理4也就是平行公理，并為后面等角定理的證明奠定了基礎(chǔ)。問(wèn)題2-3讓學(xué)生了解并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來(lái)，對(duì)此可以用反例來(lái)適當(dāng)解釋，如垂直于同一條直線的兩條直線平行在空間中就不成立。一般來(lái)說(shuō)，要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到空間圖形，必須經(jīng)過(guò)證明。

問(wèn)題3-1：在平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)嗎？

問(wèn)題3-2：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)嗎？

該問(wèn)題組類比了問(wèn)題組2，主要還是從平面到空間，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，層層遞進(jìn)，把平面定理推廣到空間中，在復(fù)習(xí)平面內(nèi)容的同時(shí)給出了空間等角定理，而等角定理是定義異面直線所成角的理論基礎(chǔ)。

在已經(jīng)學(xué)習(xí)了等角定理的前提條件下，先利用平移得到平面內(nèi)兩條相交直線所成角，那么學(xué)習(xí)異面直線所成角可以采用如下問(wèn)題鏈：

問(wèn)題4-1：在平面幾何圖形中我們是否見(jiàn)過(guò)相似的圖形（角）？

問(wèn)題4-2：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在平面幾何中：“角”是怎樣定義的？

問(wèn)題4-3：通過(guò)類比，同學(xué)們能否給出異面直線所成角的定義？這兩個(gè)定義的共同點(diǎn)是什么？

問(wèn)題4-4：異面直線所成角是否有大小？所成角的大小如何確定？所成角的范圍是多少？

該問(wèn)題組通過(guò)類比問(wèn)題鏈，不僅深化鞏固了所學(xué)知識(shí)，而且使學(xué)生在類比過(guò)程中體會(huì)到思想方法的遷移，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移能力。

三、若干反思

空間兩條直線的位置關(guān)系，是在平面中兩條直線位置關(guān)系及平面的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。它既是研究空間點(diǎn)、直線、平面之間各種位置關(guān)系的開(kāi)始，又是學(xué)習(xí)這些位置關(guān)系的基礎(chǔ)。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)從平面圖形擴(kuò)展到空間圖形，是一個(gè)全新的內(nèi)容，從認(rèn)知上來(lái)說(shuō)是一個(gè)質(zhì)的飛躍。空間圖形需要學(xué)生有良好的空間想象能力，才能把學(xué)生已掌握的平面知識(shí)的內(nèi)容拓展到空間中。

因此，本節(jié)課從同學(xué)們已經(jīng)熟悉的初中平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系（即問(wèn)題1-1）入手吸引學(xué)生，從平面圖形拓展到空間立體圖形，引導(dǎo)學(xué)生找出異面直線。并設(shè)計(jì)了1-4讓學(xué)生對(duì)異面直線的定義進(jìn)行鞏固，符合最近發(fā)展區(qū)的理念。問(wèn)題2問(wèn)題3和問(wèn)題4層層遞進(jìn)，由淺入深，由易到難，通過(guò)問(wèn)題的層層推進(jìn)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生思維逐步深入，并且最終給出了異面直線所成角的定義。同時(shí)這些問(wèn)題組的各個(gè)問(wèn)題之間環(huán)環(huán)緊扣、相輔相成，形成了一個(gè)有機(jī)的整體。在問(wèn)題鏈的引領(lǐng)下，學(xué)生完成了從平面圖形到空間圖形的拓展，并利用類比的方式了解了平面和空間知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)和不同。問(wèn)題鏈在這堂課中扮演了至關(guān)重要的角色。

這是一堂數(shù)學(xué)概念的教學(xué)課[2]，它的目的是幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，并在這個(gè)過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)文化。本堂課以問(wèn)題鏈為載體，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，課堂上也充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維的，促進(jìn)了學(xué)生思維活動(dòng)的參與，較好地實(shí)現(xiàn)了概念教學(xué)的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐恒鈞.基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)—兼評(píng)陳柏良的《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考旬刊，2013（4）：64-64.

[2]曾盛.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種模式[J].中國(guó)教育教研，2013（4）：5-6.