橋用支座橡膠材料的超彈性本構模型選取及參數確定

彭龍帆

中國建筑第二工程局有限公司華東公司 上海 200135

橡膠類材料因其優越的彈性和阻尼性能而在各種工程應用中得到了廣泛的應用[1-6]。余利丹[7]構造大變形超彈性材料本構模型的直接顯式模型，該模型可以精確地擬合橡膠在大變形情況下不同受力情況的試驗結果；李雪冰等[8]提出了一種改進的Yeoh超彈性材料本構模型，試驗證明該模型可以模擬橡膠在大變形應變狀態的應力-應變關系；桑建兵等[9]在高玉臣本構模型的基礎上，引入參數α和n，對橡膠類材料在單軸拉伸和內壓膨脹兩種受力狀態下的性能進行研究；錢勝等[10]對國內外橡膠超彈性本構模型的選擇進行了概述；楊海波等[11]采用有限元分析方法預測圓柱形橡膠試樣的壓縮變形，并與試驗數據進行對比，結果表明：對于應力-應變試驗，僅采用單軸拉伸試驗數據擬合本構方程時，不能單純依賴擬合精度判斷本構方程的優劣；張良等[12]通過對橡膠材料的力學特性進行試驗和分析，研究硬度對橡膠彈性模量的影響，得到硬度對Mooney-Rivlin模型參數的影響規律；趙子涵等[13]基于Seth應變張量不變量提出了一種適用于橡膠類材料的不可壓縮各向同性超彈性本構模型，結果表明，在同時使用單軸拉伸和等雙軸拉伸試驗數據情況下，該模型能夠更準確地擬合兩種橡膠材料的試驗數據，并較好地預測純剪切試驗。

本文基于橡膠的不可壓縮性，將單軸壓縮等效成等雙軸拉伸，結合單軸拉伸和單軸壓縮試驗結果，在常用的超彈性本構模型中選取合適的模型，通過有限元計算，驗證所選取的本構模型的正確性。

1 單軸拉伸和壓縮試驗

1.1 試驗材料與結果

橡膠材料由河北衡水東欣橡膠廠提供，橡膠單軸拉伸采用的是長條形矩形試樣，長條形矩形試樣的尺寸為35 mmh 5 mmh 2 mm，其中拉伸試驗部分為25 mm，上下兩端的5 mm用于夾具加持試樣；橡膠單軸壓縮試驗采用的是圓柱體試樣，圓柱形試樣直徑10 mm、高10 mm，如圖1所示。單軸拉伸和壓縮試驗均在電子萬能材料試驗機INSTRON5943上進行，如圖2所示。

圖1 試驗所用橡膠試樣

圖2 電子萬能材料試驗機

橡膠單軸拉伸和壓縮試驗在室溫（23 ℃）下進行，在試驗開始前對橡膠進行反復多次拉伸或壓縮以消除橡膠的Mullins效應。單軸拉伸的試驗速率為100 mm/min，單軸拉伸試驗結果如圖3所示。

圖3 單軸拉伸試驗結果

從試驗結果可以看到，橡膠表現出非常明顯的非線性特點：當位移較小時，荷載隨位移的變化是可以看作線性變化的，符合虎克定律；當位移達到10 mm左右時，荷載-位移曲線曲率發生明顯變化，這是由于橡膠在大變形時表現出的明顯超彈性，隨著位移的增大，曲線的斜率逐漸減小，并慢慢地再次趨近于線性變化。單軸壓縮的試驗速率為10 mm/min，試驗結果如圖4所示。

圖4 單軸壓縮試驗結果

1.2 試驗結果討論

對于不可壓縮材料，單軸壓縮與等效等雙軸拉伸的應力狀態相同，其應力-應變對應的等效關系如式（1）所示：

σET、εETü ü 等效等雙軸的拉伸應力和應變。

將單軸拉伸和單軸壓縮的試驗數據進行處理，分別得到單軸拉伸和等雙軸拉伸的名義應力-應變曲線，如圖5、圖6所示。

圖5 單軸拉伸名義應力-應變曲線

圖6 等雙軸拉伸名義應力-應變曲線

分別采用Neo-Hooke、Mooney-Rivlin、Yeoh、Polynomial等4種超彈性本構模型在單軸拉伸和等雙軸拉伸的模式下的名義應力-伸長比的計算公式對圖5、圖6中的試驗數據進行擬合，擬合曲線如圖7、圖8所示，擬合得到的本構模型參數如表1所列。

表1 超彈性本構模型擬合結果

圖7 單軸拉伸試驗數據擬合曲線

圖8 等雙軸拉伸試驗數據擬合曲線

從圖7可以看到，Neo-Hooke模型和Yeoh模型只能在小應變的狀態下模擬橡膠的單軸拉伸，當應變逐漸增大時，擬合誤差也會逐步增大，Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型則可以很好地模擬單軸拉伸。從圖8可以看出，4種超彈性本構模型的擬合精度從低到高依次是Neo-Hooke模型、Yeoh模型、Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型，雖然從圖中看到Polynomial（n＝2）模型的擬合曲線與試驗值還是存在些許的誤差，但是精度已經滿足要求，方差為0.97，可以用于表征等雙軸拉伸；綜合考慮，Polynomial（n＝2）模型可以很好地同時表征橡膠的單軸拉伸和等雙軸拉伸的力學特性。

2 數值模擬

在橡膠單軸試驗中，不難發現，橡膠會出現大變形現象。由于橡膠的不可壓縮性，當橡膠拉伸出現大變形時，其橫截面積與初始受力面積相比會出現明顯變換，因此，名義應力并不能很好地表示橡膠的受力狀態，需要對大變形狀態下的橡膠應力做出修正。

考慮到橡膠的不可壓縮性，橡膠在拉伸時的真實應力就可以寫為式（2）：

因此，應用式（2）對橡膠單軸拉伸的試驗數據進行處理，可以得到橡膠的真實應力-應變關系，如圖9所示。

圖9 真實應力-應變曲線

在有限元軟件中建立長條形矩形試樣，一端施加位移荷載，另一端給予固定約束。試樣的幾何形狀被離散成8節點六面體的混合單元（C3D8H），單元尺寸為1 mm，共350個單元，模型如圖10所示。

圖10 單軸拉伸試樣有限元模型

對于圓柱形壓縮模擬，基于試樣的幾何形狀和受力特點，按照軸對稱問題進行建模分析，用一條直線代表壓頭底面，并在直線上建立參考點，所有荷載均通過參考點進行加載，單元尺寸為0.5 mm，一共200個單元，單元采用CAX4H，模型如圖11所示。

圖11 單軸壓縮試樣有限元模型

單軸試驗計算結果如圖12所示。不難看出，相比在單軸拉伸的模擬中，Neo-Hooke模型在小變形時可以很好地模擬橡膠拉伸的受力特性。當應變達到0.75時，計算結果和試驗結果誤差為8.25%，在10%以內，還能較好地反應拉伸力學性能；當應變為1.00時，誤差達到了14.16%；之后隨著應變的增大，誤差也隨之增大，已無法描述橡膠在大變形時的力學性能。

圖12 單軸試驗計算結果

由于Yeoh模型的表達式為應變不變量的三次函數，應力隨位移整體呈S形變化，最大誤差為48.52%，不適合用作本文橡膠的超彈性本構模型。

Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型都能夠較好地模擬橡膠單軸拉伸的力學行為，雖然隨著應變的增大，計算值與試驗值之間的誤差會逐漸變大，但是仍然處在可以接受的范圍內，最大誤差分別為10.28%和9.44%，均在可以接受的范圍內。

在單軸壓縮的模擬中，Noe-Hooke模型、Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型的計算結果與試驗結果偏差非常明顯，最大誤差依次為52.55%、37.70%和31.65%，而Polynomial（n＝2）模型的計算結果與試驗值最為接近，最大誤差為13.67%。

綜合單軸拉伸和單軸壓縮的計算結果，與其他3個模型相比，Polynomial（n＝2）模型可以用來較好地表征橡膠的超彈性力學性能，而且其表達式簡單，僅為應變不變量的二次函數，物理意義明確。

3 結語

從橡膠材料的靜態角度出發，對橡膠進行單軸拉伸、壓縮試驗，在對試驗數據進行理論分析的基礎上，對本構模型進行研究。

利用單軸拉伸和單軸壓縮試驗結果，對4種超彈性本構模型的擬合情況進行對比分析，發現Polynomial（n＝2）模型具有較好的擬合精度，且表達形式較簡單。將擬合得到的超彈性模型參數代入有限元計算中，通過與試驗數據的對比，驗證了選用的本構模型的精準度。